8631平面与平面垂直的判定教案学年高一数学人教A版必修第二册Word文件下载.docx
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题型一求二面角
例1 四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.
求:
(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2)二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)二面角B-PA-C的平面角的度数.
[跟踪训练1] 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
题型二用定义法证明平面与平面垂直
例2 如图所示,在四面体A-BCD中,BD=
a,AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证:
平面ABD⊥平面BCD.
[跟踪训练2] 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°
,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
证明:
平面AEC⊥平面AFC.
题型三利用判定定理证明面面垂直
例3 如图,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:
平面EFG⊥平面PDC.
[跟踪训练3] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
平面AEC⊥平面PDB.
题型四折叠问题
例4 如图,在矩形ABCD中,AB=
,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P.
(1)求证:
平面PDE⊥平面PAD;
(2)求二面角P-AD-E的大小.
[跟踪训练4] 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=
AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置,使A′C=A′D,求证:
平面A′BE⊥平面BCDE.
1.下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角的最小角.
其中正确的是( )
A.①③B.②
C.③D.①②
2.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°
,则二面角B-PA-C的大小为( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
3.(多选)在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
4.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则平面ADC与平面BDE的关系是____.
5.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E为AB上的点,且AD=AE=DC=2,BE=1,将△ADE沿DE折叠到点P,使PC=PB.
平面PDE⊥平面ABCD;
(2)求四棱锥P-BCDE的体积.
一、选择题
1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°
,则二面角的平面角的大小是( )
A.60°
B.120°
C.60°
或120°
D.不确定
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2
,CC1=
,则二面角C-BD-C1的大小是( )
A.30°
B.45°
D.90°
4.如图,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
C.平面ABD⊥平面BDC
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
5.(多选)如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下列结论中正确的是( )
A.平面EFG∥平面PBC
B.平面EFG⊥平面ABC
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
二、填空题
6.如图所示,一山坡的坡面与水平面成30°
的二面角,坡面上有一直道AB=20m,它和坡脚的水平线成30°
的角,沿这山路从A走到B后升高_____m.
7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°
,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC=____.
8.如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下面四个结论:
①三棱锥A-D1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的结论的序号是____(写出所有你认为正确结论的序号).
三、解答题
9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°
,∠PDC=90°
,E为棱AP的中点,且AD⊥CE.求证:
平面PAD⊥平面ABCD.
10.如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,点P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°
,直线AM与直线PC所成的角为60°
.
平面MAP⊥平面SAC;
(2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值.
1.将锐角A为60°
,边长为a的菱形沿BD折成60°
的二面角,则折叠后A与C之间的距离为( )
A.aB.
a
C.
aD.
a
2.(多选)如图,在四面体P-ABC中,AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,则下列结论中一定成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.PD⊥AE
3.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则二面角D-BC-A的大小为______.
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°
,AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面ABCD,PD与底面成45°
角,点E是PD的中点.
BE⊥PD;
(2)求二面角P-CD-A的余弦值.
5.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:
A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:
平面A1EM⊥平面B1CD1.
答案
(1)×
(2)√ (3)×
答案
(1)D
(2)无数 (3)l⊥平面AOB (4)平面ABD⊥平面BCD,平面ACD⊥平面BCD
[解]
(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD,
∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,
又CD⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°
(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意可得∠BAD=90°
,
∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°
(3)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°
即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°
[条件探究] 在本例中,若求二面角P-BC-D的平面角的度数又该如何解?
解 ∵PA⊥平面ABCD,
BC⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PA⊥BC,PA⊥AB.又BC⊥AB,且AB∩AP=A,
∴BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴BC⊥PB.
又AB⊥BC,∴∠PBA为二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PAB中,AP=AB.∴∠PBA=45°
∴二面角P-BC-D的平面角的度数为45°
1.确定二面角的平面角的方法
(1)定义法:
在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:
过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
2.求二面角大小的步骤
(1)找出这个平面角;
(2)证明这个角是二面角的平面角;
(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
解 由已知得PA⊥平面ABC,
BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC.
又BC是二面角P-BC-A的棱,
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,
∴∠PCA=45°
,即二面角P-BC-A的大小是45°
[证明] ∵AB=AD=CB=CD=a,
∴△ABD与△BCD是等腰三角形.
取BD的中点E,连接AE,CE,
则AE⊥BD,BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
在Rt△ABD中,AB=a,BE=
BD=
a,
∴AE=
=
a.同理CE=
a.
在△AEC中,AE=CE=
a,AC=a,
∴AC2=AE2+CE2,∴AE⊥CE,即∠AEC=90°
即二面角A-BD-C的平面角为90°
∴平面ABD⊥平面BCD.
用定义证明两个平面垂直的步骤
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直,判定的方法是:
①找出两个相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个平面互相垂直.
[跟踪训练2] 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°
证明 如图,连接BD,交AC于点G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.
由∠ABC=120°
,可得AG=GC=
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,
可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=
,且EG⊥AC.
同理可得FG⊥AC,所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角,
在Rt△EBG中,可得BE=
故DF=
在Rt△FDG中,可得FG=
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=
,DF=
可得EF=
从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
即二面角E-AC-F的平面角为90°
所以平面AEC⊥平面AFC.
[证明] ∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
∴PD⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.
在△PBC中,G,F分别为PB,PC的中点,
∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PDC.
证明面面垂直的方法
说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.
(3)性质法:
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
[跟踪训练3] 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
证明 ∵四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥BD,AC⊥PD,
又PD,BD为平面PDB内两条相交直线,
∴AC⊥平面PDB.
又AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面PDB.
[解]
(1)证明:
由AB⊥BE,得AP⊥PE,
同理,DP⊥PE.
又AP∩DP=P,∴PE⊥平面PAD.
又PE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如图所示,取AD的中点F,连接PF,EF,
则易知PF⊥AD,EF⊥AD,
∴∠PFE就是二面角P-AD-E的平面角.
又PE⊥平面PAD,PF⊂平面PAD,∴PE⊥PF.
∵EF=AB=
,∴PF=
=1,
∴cos∠PFE=
∴二面角P-AD-E的大小为45°
折叠问题,即由平面图形经过折叠成为立体图形,在立体图形中解决有关问题.解题过程中,一定要抓住折叠前后的变量与不变量.
[跟踪训练4] 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=
证明 如图所示,取CD的中点M,BE的中点N,
连接A′M,A′N,MN,则MN∥BC.
∵AB=
AD,E是AD的中点,
∴AB=AE,即A′B=A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D,∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中,CD⊥MN,
又MN∩A′M=M,∴CD⊥平面A′MN,
又A′N⊂平面A′MN,∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE=
BC,∴BE必与CD相交.
又A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N⊂平面A′BE,∴平面A′BE⊥平面BCDE.
答案 B
解析 由二面角的定义知,①错误;
a,b分别垂直于两个平面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;
③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误.故选B.
答案 A
解析 因为PA⊥平面ABC,BA⊂平面ABC,CA⊂平面ABC,所以BA⊥PA,CA⊥PA.因此,∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又∠BAC=90°
,所以二面角B-PA-C的平面角为90°
.故选A.
答案 ABD
解析 由平面与平面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.
答案 垂直
解析 易知BE⊥AC,DE⊥AC,
∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDE.
解
(1)证明:
如图,取BC的中点G,DE的中点H,连接PG,GH,HP.
∴HG∥AB,又AB⊥BC,
∴HG⊥BC.
∵PB=PC,∴PG⊥BC.
又HG∩PG=G,
∴BC⊥平面PGH.
又PH⊂平面PGH,∴PH⊥BC.
∵PD=PE,H为DE的中点,∴PH⊥DE.
∵BE∥DC,且DC=2BE,∴DE与BC必相交,
∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE,
∴平面PDE⊥平面BCDE,
即平面PDE⊥平面ABCD.
(2)连接EC,AH,由
(1)可知,PH为四棱锥P-BCDE的高.
∵DC∥AE,且AD=AE=DC=2,
∴四边形AECD为菱形.
∴CE=AD=2.而EB=1,EB⊥BC,
∴BC=
,DE=2.∴PH=AH=
∴VP-BCDE=
·
PH·
S梯形BCDE=
×
(1+2)×
答案 C
解析 若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°
;
若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°
解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β.
解析 如图,过点C作CE⊥BD于E,连接C1E,则∠CEC1为二面角C-BD-C1的平面角,由等面积公式得CE=
,tan∠CEC1=
,因为0
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