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四位分级法。
万以内的数:
例如:
4321,4001,4020,365
万以上的数:
5030010005读作五十亿三千零一万零五,410053000读作四亿一千零五万三千
9、整数的写法
“八十万三千二百”写作803200,“四十二亿三千万零三十”写作4230000030
10、整数的改写和近似数
(1)用“万”、“亿”作单位改写整数,划去4个0或8个0,同时加上“万”或“亿”字。
100000=10万,30200000000=302亿,43580=4.358万,1350000000=13.5亿
(2)近似数
①四舍五入法:
732890≈73万,1970084000≈20亿
②进一法:
一个油桶装油100千克,425千克需要多少个油桶?
(≈5桶)
③去尾法:
制一台机器用1.2吨钢材,现有39吨钢材,可以制作多少台机器?
(≈32台)
11、整数大小的比较
二、整数四则运算
1、整数加法:
a+b=c
性质:
加法交换律(a+b=b+a)、加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
2、整数减法:
a-b=c,则a=b+c,b=a-c,c=a-b
a+b-c=a-c+b,a-b-c=a-c-b,a+(b-c)=a+b-c,
a-(b+c)=a-b-c(a>
b+c),a-b-c=a-(b+c)(a>
b+c)
3、整数乘法:
a×
b=c
乘法交换律(a×
b=b×
a)、乘法结合律(a×
b)×
c=a×
(b×
c)、
乘法分配律(a+b)×
c+b×
c
4、整数除法:
a÷
b=c(b≠0)
0不能做除数,有余数除法(a÷
b=c……d,余数一定小于除数)
b÷
c=a÷
c÷
b,a×
c×
b,a÷
c)=a÷
c,a÷
(b÷
b×
(a+b)÷
c+b÷
c,(a-b)÷
c-b÷
5、整数四则混合运算:
加法和减法被称为第一级运算,乘法和除法被称为第二级运算。
先乘除,后加减,同级运算从左到右的顺序进行计算。
三、整数的整除性
整除:
在自然数范围内两个数相除,除得的商是整数而没有余数。
除尽:
两个数相除,所得的商是整数或有限小数,而没有余数。
整除只是除尽的一种特殊情况。
1、约数和倍数
数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。
2、能被2、5等整除的数的特征
(1)一个数的个位上的数字能被2整除,那么这个数
能被2整除。
(2)一个数的个位数能被5整除,那么这个数一定
能被5整除。
3、奇数和偶数
能被2整除的数叫偶数(双数),不能被2整除的叫奇数(单数)。
(1)任意两个奇数的和或差,一定是偶数。
(2)任意两个奇数的积一定是奇数。
(3)任意两个偶数的和或差,一定是偶数。
(4)任意两个偶数的积,一定是偶数。
(5)一个奇数与偶数的和或差,一定是奇数。
(6)一个奇数与一个偶数的积,一定是偶数。
4、质数、合数与分解质因数
质数:
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫质数,质数也叫素数。
合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫合数。
0和1既不是质数,也不是合数。
在自然数中,最小的质数是2,最小的合数是4。
质因数:
如果一个整数的约数是质数,这个约数就被称作这个整数的一个质因数。
每一个合数都可以写作几个质数相乘的形式,这个质数叫做这个合数的质因数。
分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。
5、最大公约数与最小公倍数
(1)几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
12和30的公约数有:
1、2、3、6;
12和30的最大公约数是6。
求最大公约数的一般方法:
分解质因数法。
例如18和24,18=2×
3×
3,24=2×
2×
3,共有的质因数2和3,所以它们的最大公约数2×
3=6
最大公约数性质:
两个数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
36和24的最大公约数是12
两个数的最大公约数的约数,都是这两个数的公约数。
例如36和48的最大公约数是12
互质数:
如果两个数的公约数只有1,那么这两个数叫做互质数(或互素数),或者说这两个数互质。
区分质数、质因数和互质数的含义。
①两个质数一定是互质数。
例如,2与7、13与19。
②一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数。
例如,3与10、5与26。
③1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。
如1和9908。
④相邻的两个自然数是互质数。
如15与16。
⑤相邻的两个奇数是互质数。
如49与51。
⑥大数是质数的两个数是互质数。
如97与88。
⑦小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
如7和16。
⑧两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数。
如357与715,357=3×
7×
17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。
⑨两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数,这两个数是互质数。
如85和78。
85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数。
⑩两个数都是合数,大数除以小数的余数(不为“0”且大于“1”)的所有质因数,都不是小数的约数,这两个数是互质数。
如462与221,462÷
221=2……20。
(2)几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12和8
12的倍数有12、24、36、48、60、72……,8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72……
可知,12和8的公倍数有24、48、72……,12和8的最小公倍数是24。
两个数的公倍数的个数是无限的,最小的一个被称为它们的最小公倍数,两个数没有最大公倍数。
求最小公倍数的一般方法:
例如15和21,15=5×
3,21=3×
7,共有的质因数3,21独有的质因数是7、15独有的质因数是5,所以它们的最小公倍数3×
5×
7=105。
最小公倍数的性质:
两个数的最小公倍数和最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
4和10
两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
150是15和25的一个公倍数。
分数及其运算
一、分数的认识
1、分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数(单位“1”可以表示一个数、一个图形、一件物品、一个计量单位、也可以表示一个整体)。
在分数里,表示把单位“1”平均分成多少份的数,叫做分数的分母;
表示有多少份的数,叫做分数的分子;
表示其中的一份的数叫做分数单位。
2、分数的种类:
真分数:
分子比分母小的分数。
假分数:
分子大于分母的分数。
带分数:
一个自然数和一个真分数合并而成的分数。
一个假分数,当分子是分母的倍数时,假分数可化为自然数。
当分母不能整除分子时,可以化为带分数。
3、最简分数:
分子、分母互质的分数。
4、分数的性质:
(1)分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(2)分数的分子扩大(或缩小)若干倍,分母不变,那么分数值也扩大(或缩小)相同的倍数。
(3)分数的分母扩大(或缩小)若干倍,分子不变,那么分数值就缩小(或扩大)相同的倍数。
5、约分和通分:
(1)约分:
把一个分数化成同它相等的,但分子、分母都比较小的分数。
通常约分后应得到最简分数。
约分的方法:
①逐步约分:
用分子和分母的公约数(1除外)去除分子和分母,直到最简。
②一次约分:
用分子和分母的最大公约数去除分子和分母,直接得到最简分数。
说明:
分母是分子的倍数,约分后是几分之一。
分子分母末尾有0的,先划去同样多的0,再约分。
对假分数,可约分后化为带分数,或化成带分数后再约分,但注意不要漏写整数部分的数。
注意,约分时,不要把作为除数的公约数与约简的结果相混。
(2)通分:
分母相同的几个分数叫同分母分数。
分母不同的几个分数叫异分母分数。
通分就是不改变分数的大小,把几个异分母分数化成分母相同的分数,通分时所化成的相同的分母叫公分母,其中一个最小的叫做这几个异分母分数的最小公分母。
通分的方法:
先求出几个分数的分母的最小公倍数,用它作为这几个分数的公分母,然后依据分数的基本性质,把原分数化成以公分母为分母的分数。
6、分数大小的比较:
(1)整数部分相同的同分母分数,分子大的分数比较大。
(2)整数部分相同,分子也相同,分母小的分数比较大。
(3)分子、分母都不相同的分数,一般先通分再比较,也可以把各个分数分别化成小数再比较。
(4)比较假分数的大小,可以把假分数化成带分数或整数后再比较。
二、分数四则运算
1、分数的加法和减法:
①同分母分数相加减,分母不变,分子相加减。
②异分母分数相加减,先通分转化成同分母分数,再计算。
分数加减法的最后计算结果要约成最简分数。
如果是假分数的要化成带分数或整数。
整数加减法的运算定律和运算性质同样适用于分数加减法。
2、分数的乘法和除法:
①分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
②分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
③带分数乘法,先把带分数化成假分数,再计算。
计算分数乘法时,能约分的要先约分,然后再计算。
计算结果是假分数的要化成带分数或整数。
倒数:
乘积是1的两个数叫做互为倒数,a×
b=1(a≠0,b≠0),a叫做b的倒数,b叫做a的倒数。
④分数除法,甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
3、分数的四则运算:
运算顺序和整数四则运算顺序相同。
(1)整数运算定律对分数同样适用,它可以使一些分数四则混合运算变得简便。
(2)计算过程中,有时保留假分数计算比较简便,但最终的结果要化成最简分数。
小数及其运算
一、小数的认识
1、小数:
分母是10、100、1000、……的分数可以仿照整数的写法,写在整数个位的右面,用圆点隔开,用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫做小数。
2、小数的分类:
(1)按小数的整数部分是否为0,小数可分为纯小数和带小数。
一个整数部分是0的小数叫纯小数。
一个整数部分不是0的小数叫带小数。
(2)根据小数部分的位数是否是有限的,小数可分为有限小数和无限小数。
小数部分的位数是有限的小数叫有限小数。
小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。
小数部分从某一位起,一个或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫无限循环小数。
一个无限小数,小数部分各数位上的数字不是循环的,这样的小数叫无限不循环小数。
3、小数的性质:
小数点移动引起小数大小变化。
小数点向右移动,原数扩大。
反过来讲,把原数扩大,小数点向右移动。
数位不足,补0。
小数点向左移动,原数缩小。
反过来讲,把原数缩小,小数点向左移动。
4、小数大小的比较:
5、分数和小数的互化:
(1)分数化小数
①分母是10、100、1000……的分数,可以直接写成小数。
②把某些分数化成分母是10、100、1000……的分数。
③分数不能化成有限小数,可以用循环小数表示,也可以按精确度的要求,取近似值。
如三分之一。
辨别分数能否化成有限小数,看最简分数的分母除了2和5以外,不含有其它质因数,即可。
(2)有限小数化分数
根据小数的意义,可直接写成分母是10、100、1000……的分数,去掉小数点得到的数作分子。
(3)循环小数化分数
①纯循环小数化分数:
分子就是一个循环节的数字所组成的数,分母的各位数字都是9,9的个数等于一个循环节数字的个数,能约分的要约分。
②混循环小数化分数:
第二个循环节以前的数字组成的数,减去不循环的数字组成的数之差作分子;
分母的头几位数字是9,末几位数字是0,9的个数跟循环节的数位相同,0的个数跟不循环部分的数位相同,最后化为最简分数。
二、小数四则运算
小数的加、减、乘、除运算的意义与整数相同。
三、整数、分数、小数四则混合运算
运算顺序与整数四则混合运算顺序完全相同,整数四则混合运算的运算定律适用分数、小数。
一般地,分数、小数的加减混合运算,通常把分数化为小数计算,当题目中的分数不能都化成有限小数,则把小数化为分数计算;
分数、小数的乘除混合运算,可以直接按分数乘除混合运算进行,当除数是小数时,把它化成分数通常可使计算简便。
计算方法
一、常用的速算方法
1、分组法:
根据运算定律,运算性质,以及和差积商的一些性质,对算式中的运算进行重新整合,使之便于计算。
2、补数凑整法:
对于算式中接近整十、百……的数,通过补数,使其变成整十、百……的数,可简化计算。
3、基准数法:
若干个数都接近某数的数相加,可把某数作基准数,然后把基准数与相加数的个数相乘,再加上个数与基准数的差,就得到计算结果。
4、分解法:
5、转化法:
6、公式法:
二、常用的算式
25×
4=100,25×
6=150,125×
8=1000,1÷
2=0.5,1÷
4=0.25,1÷
8=0.125
三、审题分析的常用方法
认真审题,弄清数学名词、术语的含义,确认问题是什么(求什么),在理清题目中叙述的数量关系的基础上,正确列式解答。
有些题目没有直接给出数字,通过叙述的形式出现在题目中,如“最小的自然数与最小的合数乘积是多少?
”由自然数和合数的含义可知,最小的自然数是0,最小的合数是4。
1、综合法:
由已知的条件逐步推导出所求问题的分析方法,即“从已知,看未知,逐步推向问题”。
2、分析法:
从问题出发,逆向分析,逐步找出解决问题的条件,即“从问题,看需知,逐步推向已知”。
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