三角形及其性质基础知识讲解修订版Word格式.docx
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三角形内角和定理:
三角形的内角和为180°
.
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题:
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可以求出其内角的度数;
③求一个三角形中各角之间的关系.
要点三、三角形的分类
1.按角分类:
①锐角三角形:
三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形:
有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类:
①不等边三角形:
三边都不相等的三角形;
②等腰三角形:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形:
三边都相等的三角形.
要点四、三角形的三边关系
定理:
三角形任意两边之和大于第三边.推论:
三角形任意两边之差小于第三边.
(1)理论依据:
两点之间线段最短.
(2)三边关系的应用:
判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;
反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围.
(3)证明线段之间的不等关系.
要点五、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用,因此,我们需要从不同的角度弄清这三条线段,列表如下:
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段.
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D.
取BC边的中点D,连接AD.
作∠BAC的平分线AD,交BC于点D.
标示图形
符号语言
1.AD是△ABC的高.
2.AD是△ABC中BC边上的高.
3.AD⊥BC于点D.
4.∠ADC=90°
,∠ADB=90°
(或∠ADC=∠ADB=90°
)
1.AD是△ABC的中线.
2.AD是△ABC中BC边上的中线.
3.BD=DC=
BC
4.点D是BC边的中点.
1.AD是△ABC的角平分线.
2.AD平分∠BAC,交BC于点D.
3.∠1=∠2=
∠BAC.
推理语言
因为AD是△ABC的高,所以AD⊥BC.
(或∠ADB=∠ADC=90°
因为AD是△ABC的中线,所以BD=DC=
BC.
因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2=
用途举例
1.线段垂直.
2.角度相等.
1.线段相等.
2.面积相等.
角度相等.
注意事项
1.与边的垂线不同.
2.不一定在三角形内.
—
与角的平分线不同.
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点.
一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点.
一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点.
类型一、三角形的内角和
1.证明:
.
【答案与解析】
解:
已知:
如图,已知△ABC,求证:
∠A+∠B+∠C=180°
证法1:
如图1所示,延长BC到E,作CD∥AB.因为AB∥CD(已作),所以∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B=∠2(两直线平行,同位角相等).
又∠ACB+∠1+∠2=180°
(平角定义),
所以∠ACB+∠A+∠B=180°
(等量代换).
证法2:
如图2所示,在BC边上任取一点D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交AB于点F.
因为DF∥AC(已作),所以∠1=∠C(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠DEC(两直线平行,内错角相等).因为DE∥AB(已作).
所以∠3=∠B,∠DEC=∠A(两直线平行,同位角相等).
所以∠A=∠2(等量代换).又∠1+∠2+∠3=180°
所以∠A+∠B+∠C=180°
2.在△ABC中,已知∠A+∠B=80°
,∠C=2∠B,试求∠A,∠B和∠C的度数.
【思路点拨】题中给出两个条件:
∠A+∠B=80°
,∠C=2∠B,再根据三角形的内角和等于180°
,即∠A+∠B+∠C=180°
就可以求出∠A,∠B和∠C的度数.
由∠A+∠B=80°
及∠A+∠B+∠C=180°
,
知∠C=100°
.又∵∠C=2∠B,
∴∠B=50°
.∴∠A=80°
-∠B=80°
-50°
=30°
【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C=180°
.本题可以设∠B=x,则∠A=80°
-x,∠C=2x建立方程求解.
【变式】已知,如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
【答案】
已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°
解得:
x=36°
∴∠C=2x=72°
在△BDC中,BD是AC边上的高,
∴∠BDC=90°
,,∴∠DBC=180°
-90°
-72°
=18°
类型二、三角形的分类
3.一个三角形的三个内角分别是75°
、30°
、75°
,这个三角形是()
A锐角三角形B等腰三角形C等腰锐角三角形
【答案】C
【变式】一个三角形中,一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍,这个三角形是()三角形
A锐角B直角C钝角D无法判断
【解析】利用三角形内角和是180°
以及已知条件,可以得到其中较大内角的度数为120°
,所以三角形为钝角三角形.
类型三、三角形的三边关系
4.(四川南充)三根木条的长度如图所示,能组成三角形的是()
【思路点拨】三角形三边关系的性质,即三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.注意这里有“两边”指的是任意的两边,对于“两边之差”它可能是正数,也可能是负数,一般取“差”的绝对值.
【答案】D
【解析】要构成一个三角形.必须满足任意两边之和大于第三边.在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边.A、B、C三个选项中,较短两边之和小于或等于第三边.故不能组成三角形.D选项中,2cm+3cm>4cm.故能够组成三角形.
【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是:
①判断出较长的一边;
②看较短的两边之和是否大于较长的一边,大于则能够成三角形,不大于则不能够成三角形.
举一反三:
【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
(1)3,4,5;
(2)3,5,9;
(3)5,5,8.
(1)能;
(2)不能;
(3)能.
5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-7│<
c<
2+7,即
5<
9.
【总结升华】三角形的两边a、b,那么第三边c的取值范围是│a-b│<
a+b.
【变式】
(浙江金华)已知三角形的两边长为4,8,则第三边的长度可以是________(写出一个即可)
【答案】5,注:
答案不唯一,填写大于4,小于12的数都对.
类型四、三角形中重要线段
6.(江苏连云港)小华在电话中问小明:
“已知一个三角形三边长分别为4,9,12,如何求这个三角形的面积?
”小明提示:
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是().
【答案】C;
【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对的顶点.然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高.
【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在的直线交于一点.这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部.
【变式】如图所示,已知△ABC,试画出△ABC各边上的高.
【答案】
解:
所画三角形的高如图所示.
7.如图所示,CD为△ABC的AB边上的中线,△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,BC=8cm,求边AC的长.
【思路点拨】根据题意,结合图形,有下列数量关系:
①AD=BD,②△BCD的周长比
△ACD的周长大3.
依题意:
△BCD的周长比△ACD的周长大3cm,
故有:
BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.
又∵CD为△ABC的AB边上的中线,
∴AD=BD,即BC-AC=3.
又∵BC=8,∴AC=5.
答:
AC的长为5cm.
【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD=BD是解答本题的关键,另外对图形中线段所在位置的观察,找出它们之间的联系,这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法.
【变式】如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、AD的中点,且
,则
为________.
【答案】1
一、选择题
1.一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形,其中符合三角形概念的是()
2.如图所示的图形中,三角形的个数共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.任何一个三角形至少有()个锐角
A.1B.2C.3 D.不能确定
4.已知三角形两边长分别为4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()
A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm
5.为估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是()
A.5mB.15mC.20mD.28m
第八题
6.三角形的角平分线、中线和高都是()
A.直线B.线段C.射线D.以上答案都不对
7.下列说法不正确的是()
A.三角形的中线在三角形的内部B.三角形的角平分线在三角形的内部
C.三角形的高在三角形的内部D.三角形必有一高线在三角形的内部
8.如图,AM是△ABC的中线,那么若用S1表示△ABM的面积,用S2表示△ACM的面积,则S1和S2的大小关系是()
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.以上三种情况都有可能
9.若△ABC的∠A=60°
,且∠B:
∠C=2:
1,那么∠B的度数为()
A.40°
B.80°
C.60°
D.120°
二、填空题
10.三角形的三边关系是________,由这个定理我们可以得到三角形的两边之差________第三边,所以,三角形的一边小于________并且大于________.
11.如果三角形的两边长分别是3cm和6cm,第三边长是奇数,那么这个三角形的第三边长为________cm.
12.已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm,则这个三角形的周长为________.
13.如图,AD是△ABC的角平分线,则∠______=∠______=
∠_______;
BE是△ABC的中线,则________=_______=
________;
CF是△ABC的高,则∠________=∠________=90°
,CF________AB.
14.如图,AD、AE分别是△ABC的高和中线,已知AD=5cm,CE=6cm,则△ABE和△ABC的面积分别为________________.
15.在△ABC中,
(1)若∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则∠A=_______,∠B=_______,∠C=_______,此三角形为_______三角形;
(2)若∠A大于∠B+∠C,则此三角形为________三角形.
三、解答题
16.判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?
(1)5cm,5cm,acm(0<a<10);
(2)a+1,a+2,a+3;
(3)三条线段之比为2:
3:
5.
17.如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线,BE、DE分别是哪两个三角形的中线AG是哪些三角形的高?
18题
18.如图所示,已知AD,AE分别是ΔABC的中线、高,且AB=5cm,AC=3cm,则ΔABD与ΔACD的周长之差为多少,ΔABD与ΔACD的面积有什么关系.
19.利用三角形的中线,你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?
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