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教案3
【复习】条件概率与全概率公式
【导入】在第一章里,我们主要研究了随机事件及其概率,同学们可能会注意到在随机现象中,有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。
例如,在产品检验问题中,我们关心的是抽样中出现的废品数;在车间供电问题中,我们关心的是某时期正在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等
【新课】
一、随机变量的概念
对于这类随机现象,其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值。
然而,有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。
比如,在投硬币问题中,每次实验出现的结果为正面或反面,与数值没有联系,但我们可以通过指定数“1”代表正面,“0”代表反面,为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了,从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。
一般地,如果为某个随机事件,则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系:
这就说明了,不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系,使之与数值发生联系。
为了全面的研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念。
引例:
随机试验E1:
从一个装有编号为0,1,2,…,9的球的袋中任意摸一球。
则其样本空间={,,…,},其中“摸到编号为的球”,=0,1,…,9.
定义函数:
,即()=,=0,1,…,9。
这就是和整数集{0,1,2,…,9}的一个对应关系,此时表示摸到球的号码。
从上例中,我们不难体会到:
①对应关系的取值是随机的,也就是说,在试验之前,取什么值不能确定,而是由随机试验的可能结果决定的,但的所有可能取值是事先可以预言的。
②是定义在上而取值在R上的函数。
同时在上例中,我们可以用集合{:
()5}表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事件,因而可以计算其概率。
习惯上我们称定义在样本空间上的单值实函数为随机变量。
这就有了如下定义:
定义:
设随机试验E的样本空间为,=(e)是定义在上的单值实函数,若对任意实数,集合{:
()x}是随机事件,则称=()为随机变量(RandomVariable)。
定义表明随机变量=()是样本点的函数,为方便起见,通常写为,而集合{:
()x}简记为{x}。
如在上例中,摸到不大于5号球的事件可表示为{5},则其概率为P{5}=3/5。
随机变量的引入,使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。
正因为随机变量可以描述各种随机事件,使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件,而通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究其全部。
今后,我们主要研究随机变量和它的分布。
随机变量的分类
二、离散型随机变量的概率分布
1.定义:
设是上的随机变量,若的全部可能取值为有限个或可列无限个(即的全部可能取值可一一列举出来),则称为离散型随机变量。
若的取值为,把事件的概率记为,则称为的分布律。
【注】:
由定义可知,若样本空间是离散的,则定义在上的任何单值实函数都是离散型随机变量。
2.离散型随机变量的分布律满足下列性质:
(1)非负性:
(2)规范性:
分布律也可用表格形式表示出来
X
如抛硬币试验
X
01
例1:
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以的概率允许或禁止汽车通过。
以X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的盏数(设各信号灯的工作是相互独立的),求X的分布律。
解:
以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为
X
01234
或写成
以代入得
X
01234
0.50.250.1250.06250.0625
下面介绍三种重要的离散型随机变量的概率分布
1.(0—1)分布
设随机变量X只可能取0和1两个值,它的分布律是
则称X服从(0—1)分布.
(0—1)分布的分布律也可写成
X
01
满足(0—1)分布的试验应该只有两个结果。
2.二项分布:
设试验E只有两个可能的结果:
A及,.将E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验,简称贝努利试验
例:
用X表示n次试验中A发生的次数,用表示A在第i次试验中发生
应共有种,它们是两两不相容的,故在n次试验中A发生k次的概率为,即
显然
注意到刚好是二项式的展开式中出现的一项。
故我们称随机变量X服从参数为n,的二项分布,记为
特别,当时二项分布化为
这就是(0—1)分布
三、分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示,随机变量取值不大于实数的概率称为随机变量的分布函数,记作,即
.
2.分布函数的性质
(1)
(2)是非减函数,即当时,有;
(3);
(4)是右连续函数,即.
由已知随机变量的分布函数,可算得落在任意区间内的概率
也可以求得
.
四、随机变量函数的概念
定理设是一个连续型随机变量,其密度函数为p(x),又y=严格单调,其反函数有连续导数,则也是一个连续型随机变量,且其密度函数为
其中
=min{,}
=min{,}(证明略)
五、离散型随机变量函数的分布
随机变量的函数在一定条件下仍是随机变量。
的分布可由的已知分布确定。
但在求的分布具体处理方法上,离散型和连续型是有区别的。
1.离散型随机变量的函数分布
设为一离散型随机变量,其分布律为
x1
x2
…
xn
…
pi
p1
p2
…
pn
…
则当诸的值互异时,的分布律为
…
…
pi
p1
p2
…
pn
…
如果中有某些值相同时,则将相应概率相加之后予以合并处理,必要时重新排序后写出的分布律。
可见,在离散型场合下,的分布律完全由的分布律确定。
六、随机变量的数学期望
定义1(一维离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{X=}=,k=1,2…
若级数绝对收敛,则称级数的和为随机变量X的数学期望,记作E(X)。
即
E(X)=
定义中要求级数绝对收敛,这一条件值得注意,绝对收敛是保证其和不会因各项的次序改变而发生变化。
而条件收敛的级数,若改变各项的顺序可使之发散或收敛到不同的和,这显然与实际意义不相符合。
正是因为要保证级数绝对收敛,因此有些随机变量就不存在期望值了。
七、随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
1设C是常数,则有E(C)=C
2设X是一个随机变量,C是常数,则有
E(CX)=CE(X)
3设X,Y是两个随机变量,则有
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4设X,Y是相互独立的随机变量,则有
E(X,Y)=E(X)E(Y)
上述性质中(3)非常重要,将一个随机变量分解成两个(或多个)随机变量之和,然后利用该性质可以很简便求出数学期望,这种处理方法具有实际意义。
八、随机变量的方差
定义4设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]}存在,则称为X的方差,记为D(X),或Var(X),即
D(X)=Var(X)=
而称为X的标准差或均方差。
方差的计算
对于离散型的随机变量;若其分布律为
则其方差为
对于连续型随机变量,其概率密度为f(x),则其方差为
方差除了利用上述公式计算外,也可以利用下面的公式来计算。
从方差的定义中,我们可以看到,方差实际上就是随机变量函数的数学期望,因此方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度,在实际问题中方差可以帮助我们更好地了解随机变量的取值情况,是分散还是集中。
方差的性质
1.设C是常数,则D(C)=0
2.设X是随机变量,C是常数,则有
D(CX)=D(X)
3.设X、Y是两个相互独立的随机变量,则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4.D(X)=0,的充分必要条件是X以概率1取常数C,即P{X=C}=1
九、随机变量的矩
定义5称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为随机变量X与Y的协方差,
记为Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
而称为随机变量X与Y的相关系数。
协方差的性质:
1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数。
3.Cov(,Y)=Cov(,Y)+Cov(,Y)
相关系数的性质
1.
2.若,则,说明X与Y之间以概率1存在着线性关系。
定义6设X和Y是随机变量,若,k=1,2,…存在,称它为X的K阶原点矩,
若,k=1,2,…
存在,称它为X的k阶中心矩。
若,k,l=1,2,…存在,称它为X和Y的k+l阶混合矩。
若}存在,称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
值得注意的是相关系数的大小,反映了两个变量X与Y之间是否存在线性关系的程度,当越接近1时,Y与X越有近似的线性关系。
当=0时X与Y之间不相关。
X与Y不相关和X与Y相互独立是两个不同的概念。
X与Y不相关是指X与Y之间不存在线性关系,不是说它们之间不存在其它关系。
即由X与Y不相关,推不出X与Y相互独立,反之,若X与Y相互独立,则X与Y一定不相关。
【巩固新课】
例1有甲、乙两个口袋,两袋分别装有3个白球和2个黑球。
现从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋任取4个球,求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数的分布律。
例2假设某射击运动员,其射击的命中率为0.7。
试求:
(1)该运动员进行1次射击,命中次数的分布律;
(2)该运动员进行4次射击,命中次数的分布律;
(3)顶多射击4次且命中即停止射击,该运动员停止射击时,射击次数的分布律。
例某人进行射击,设每次射击的命中律为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。
【作业】P906,8
【小结】随机变量的引入在概率论发展史中意义十分重大,这一概念的引入使得试验结果数量化了。
因此,随机变量与它的分布是概率统计讨论的核心内容。
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