矩阵乘法分治法Word文档格式.docx
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C12=A11B12+A12B22
C21=A21B11+A22B22
C22=A21B12+A22B22
这样就将2个n阶矩阵的乘积变成计算8个n/2阶矩阵的乘积和4个n/2阶矩阵的加法。
当n=1时,2个1阶方阵的乘积可直接算出,只需要做一次乘法。
当子矩阵阶n>
1时,为求两个子矩阵的乘积,可继续对两个子矩阵分块,直到子矩阵的阶为1。
由此,便产生了分治降阶的递归算法。
但是这个算法并没有降低算法的时间复杂度。
由strassen矩阵乘法,
M1=A11(B12-B22)
M2=(A11+A12)B22
M3=(A21+A22)B11
M4=A22(B21-B11)
M5=(A11+A22)(B11+B22)
M6=(A12-A22)(B21+B22)
M7=(A11-A21)(B11+B12)
C11=M5+M4-M2+M6
C12=M1+M2
C21=M3+M4
C22=M5+M1-M3-M7
算法共进行7次举证乘法,算法效率得到降低
主要数据的定义:
intn;
n是方阵A,B,C的阶
int**A=newint*[n];
//矩阵A,B,C的定义,并为它们分配空间。
这里A,B是用//于相乘的矩阵,C用于存放AB的结果
int**B=newint*[n];
int**C=newint*[n];
inti,j;
for(i=0;
i<
n;
i++)
{
A[i]=newint[n];
B[i]=newint[n];
C[i]=newint[n];
}
程序中定义的函数:
1.voidDivide(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)
函数实现的功能是:
将n*n的矩阵A分块成四个大小相等的(n/2)*(n/2)的子矩阵A11,A12,A21,A22。
2.voidUnit(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)
将四个(n/2)*(n/2)的矩阵A11,A12,A21,A22合并成一个n*n的矩阵A。
4.voidAdd(intn,int**A,int**B,int**C)
函数的功能是:
实现C=A+B,A,B,C都是n*n矩阵。
3.voidMul(intn,int**A,int**B,int**M)
将n*n的矩阵A,B相乘,结果存放在n*n的矩阵M中。
算法设计:
整个算法的大致思想是:
在函数Mul(intn,int**A,int**B,int**M)中先判断n的值,若n==1,表示A,B,C均为一阶方阵。
则M[0][0]=A[0][0]*B[0][0];
否则,调用Divide(n,A,A11,A12,A21,A22);
和Divide(n,B,B11,B12,B21,B22);
将A和B都分为四个(n/2)*(n/2)的子矩阵。
然后递归调用
Sub(n,B12,B22,T1);
T1=B12-B22
Mul(n,A11,T1,M1);
Add(n,A11,A12,T2);
Mul(n,T2,B22,M2);
Add(n,A21,A22,T1);
Mul(n,T1,B11,M3);
Sub(n,B21,B11,T1);
Mul(n,A22,T1,M4);
Add(n,A11,A22,T1);
Add(n,B11,B22,T2);
Mul(n,T1,T2,M5);
Sub(n,A12,A22,T1);
Add(n,B21,B22,T2);
Mul(n,T1,T2,M6);
Sub(n,A11,A21,T1);
Sub(n,B11,B12,T2);
Mul(n,T1,T2,M7);
Add(n,M5,M4,T1);
Sub(n,T1,M2,T2);
Add(n,T2,M6,M11);
M11=M5+M4-M2+M6
Add(n,M1,M2,M12);
M12=M1+M2
Add(n,M3,M4,M21);
M21=M3+M4
Add(n,M5,M1,T1);
Sub(n,T1,M3,T2);
Sub(n,T2,M7,M22);
M22=M5+M1-M3-M7
Unit(n,M,M11,M12,M21,M22);
将上面得到的四个矩阵组合成一个n*n矩阵。
则这个n*n矩阵就是AB的结果C。
正确性证明:
由矩阵乘法的计算方法可知,上述计算方法显然正确
三、时间和空间复杂性分析:
时间复杂性:
Strassen矩阵乘法中,用了7次对于n/2阶矩阵乘法的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。
由此可知,该算法所需的计算时间T(n)满足如下递归方程
解此递归方程得
。
由此可见,strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通乘法有较大改进。
空间复杂性:
程序中定义了一些整型变量和若干个二维数组。
因此算法的时间复杂度是O(n*n)。
四、程序实现和测试过程:
程序测试过程
(1)
测试过程
(2)
五、总结:
源程序:
#include<
iostream>
math.h>
fstream>
usingnamespacestd;
ifstreaminfile("
123.txt"
ios:
:
in);
voidInput(intn,int**A)
{
//infile>
>
for(inti=0;
for(intj=0;
j<
j++)
infile>
A[i][j];
voidOutput(intn,int**A)
cout<
<
A[i][j]<
'
\t'
;
endl;
cout<
voidDivide(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)
for(j=0;
A11[i][j]=A[i][j];
A12[i][j]=A[i][j+n];
A21[i][j]=A[i+n][j];
A22[i][j]=A[i+n][j+n];
}
voidUnit(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)
A[i][j]=A11[i][j];
A[i][j+n]=A12[i][j];
A[i+n][j]=A21[i][j];
A[i+n][j+n]=A22[i][j];
voidSub(intn,int**A,int**B,int**C)
C[i][j]=A[i][j]-B[i][j];
voidAdd(intn,int**A,int**B,int**C)
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];
voidMul(intn,int**A,int**B,int**M)
if(n==1)
M[0][0]=A[0][0]*B[0][0];
else
n=n/2;
int**A11,**A12,**A21,**A22;
int**B11,**B12,**B21,**B22;
int**M11,**M12,**M21,**M22;
int**M1,**M2,**M3,**M4,**M5,**M6,**M7;
int**T1,**T2;
A11=newint*[n];
A12=newint*[n];
A21=newint*[n];
A22=newint*[n];
B11=newint*[n];
B12=newint*[n];
B21=newint*[n];
B22=newint*[n];
M11=newint*[n];
M12=newint*[n];
M21=newint*[n];
M22=newint*[n];
M1=newint*[n];
M2=newint*[n];
M3=newint*[n];
M4=newint*[n];
M5=newint*[n];
M6=newint*[n];
M7=newint*[n];
T1=newint*[n];
T2=newint*[n];
inti;
A11[i]=newint[n];
A12[i]=newint[n];
A21[i]=newint[n];
A22[i]=newint[n];
B11[i]=newint[n];
B12[i]=newint[n];
B21[i]=newint[n];
B22[i]=newint[n];
M11[i]=newint[n];
M12[i]=newint[n];
M21[i]=newint[n];
M22[i]=newint[n];
M1[i]=newint[n];
M2[i]=newint[n];
M3[i]=newint[n];
M4[i]=newint[n];
M5[i]=newint[n];
M6[i]=newint[n];
M7[i]=newint[n];
T1[i]=newint[n];
T2[i]=newint[n];
Divide(n,A,A11,A12,A21,A22);
Divide(n,B,B11,B12,B21,B22);
//cout<
"
A11,A12,A21,A22"
//Output(n,A11);
Output(n,A12);
Output(n,A21);
Output(n,A22);
Sub(n,B12,B22,T1);
B12-B22"
//Output(n,T1);
Mul(n,A11,T1,M1);
Mul(n,A22,T1,M4);
Add(n,B11,B12,T2);
intmain()
intn;
pleaseinputnumbern"
cin>
int**A,**B,**C;
A=newint*[n];
B=newint*[n];
C=newint*[n];
Input(n,A);
AMatrixis"
Output(n,A);
Input(n,B);
BMatrixis"
Output(n,B);
Input(n,C);
//Output(n,C);
Mul(n,A,B,C);
TheProductofAandBis"
Output(n,C);
n<
infile.close();
return0;
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- 矩阵 乘法 分治