函数模型和数据拟合Word格式.docx
- 文档编号:21517812
- 上传时间:2023-01-30
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:298.64KB
函数模型和数据拟合Word格式.docx
《函数模型和数据拟合Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数模型和数据拟合Word格式.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,54°
72°
90°
,见下图.
2.在选好的五个位置上,分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量.
3.利用数据拟合函数,建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式.
4.利用函数解析式求最小用气量.
5.对结果的合理性作出检验分析.
二、实验
为了减少实验误差,要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以,在做实验之前,先用这只水壶烧开一壶水,然后把水倒掉,随即开始做实验,记录相关数据,得到下表.
表燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量
项目
位置
燃气表开始时
读数/m3
燃气表水开时
所用燃气量/m3
18°
9.080
9.210
0.130
36°
8.958
0.122
54°
8.819
0.139
72°
8.670
0.149
90°
8.498
0.172
用表内数据,在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点(如下图).
三、拟合函数
从上图可以看出,5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大,燃气用量有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图像中,二次函数的图像与之最接近,可以用二次函数近似地表示这种变化.设函数式为
,取三对数据即可求出表达式的系数,不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172),得方程组
解得
则函数式为
四、求最小用气量
求燃气用量最少时的旋钮位置,实际上是求函数
的最小值点.
即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39°
的位置.这时的用气量大约是
五、检验分析
取旋转39°
的旋钮位置,烧一壶开水,所得实际用气量是不是0.122m3?
如果基本吻合,就可以依此作结论;
如果相差大,说明三对数据取得不好,可以换另外的点重新计算,然后再检验,直至结果与实际比较接近就可以了.在这个建模中值得注意的是:
(1)可以想像,当旋钮旋转的角度非常小,有一点点火时,其火力是不能够将水烧开的,长时间燃火的燃气量却可以非常大,也就是说,图中贴近纵轴的点的位置会非常高,那么整个图像就不是二次函数图像了。
实际上,我们在前面说“用二次函数图像近似地表示这种变化”是有局限性的,尽管是近似地表示,也只能说在18°
~90°
这个局部比较适用,而燃气最少用量恰在这个局部取得,于是选用二次函数模型是可行的.
(2)在做实验时,每次烧水前的水壶温度真的完全一样吗?
读数真的准确吗?
我们在建立函数模型之前,主观上作了这样的假设:
实验是足够准确的,所得的实验数据是精确的.另外,尽管假设每次实验是准确的,但是实验都受客观环境的影响,不能保证环境是稳定的.仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大误差,可以重复做几次实验,取几次实验数据的平均值,误差就减少了.
六、进一步研究:
我们可以用MATLAB软件进行更简便更精确的计算,用多项式拟合工具polytool,对二次函数模型
进行最小二乘拟合,计算得
,最节省燃气的旋钮角度是x=28.57°
,并在图形界面内找出相应的燃气用量的估计值和95%预测区间是y=0.1267±
0.02621(m3).
案例3.4汽车刹车距离(参考江苏版高中必修1第93页)
问题:
司机在驾驶过程中遇到突发事件,会紧急刹车.从司机决定刹车到车完全停住,这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离,车速越快,刹车距离越长.那么,刹车距离与车速之间是线性关系还是更复杂的关系呢?
让我们建立一个刹车距离与车速之间的数学模型.
一、问题分析:
建模目标是找到车速与刹车距离之间的函数关系.
刹车距离=反应距离+制动距离.
刹车距离指从司机决定刹车到车完全停住时,汽车行驶的距离;
反应距离则是指从司机决定刹车到制动器开始起作用时,汽车行驶的距离;
制动距离是从制动器开始作用到车完全停住时,汽车行驶的距离.
我们引入符号:
d~刹车距离(m);
d1~反应距离(m);
d2~制动距离(m);
v~车速(km/h→m/s).
反应距离涉及许多因素,是许多变量的函数,我们只从其中两个变量开始,考虑反应距离的子模型:
反应距离=g(反应时间,车速).
反应时间取决于汽车制动系统的灵敏性和司机个人状况,汽车制动系统的灵敏性和司机的因素相比是相当小的,所以可以忽略;
司机个人状况包括反应、警觉、视力等,因人而异,一般的,可以考虑平均值.所以视反应时间为常数,而且假设在这段时间内车速没有改变。
引入符号:
k1~反应时间(s),于是d1=k1v.
制动距离与制动器作用力、车重、车速、以及车胎的类型、道路表面的状况、天气等因素都有关,我们可以把车胎、道路、天气等因素看成是固定的,于是有制动距离的子模型:
制动距离=h(制动器作用力,车重,车速).
F~制动器作用力(n);
m~车重(kg).
制动器是一个能量耗散装置,制动器作用力所做的功被汽车动能的改变所抵消.假设在急刹车的过程中起作用的是最大制动力,即F为常值,则在F作用下,行驶制动距离作的功使车速从v变成0,动能的变化为
于是
.推得
如果考虑不同的车型,按照牛顿第二定律F=ma,合理的汽车设计原则是:
最大制动力F和车重m大致成正比,使汽车大致做匀减速运动,避免司机和乘客在急刹车期间遭受危险的剧烈前冲。
这样,汽车刹车的减速度a基本上是常数.且
二、模型假设
1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和;
2.反应距离d1与车速v成正比,比例系数为反应时间k1;
3.刹车时使用最大制动力F,F做的功等于汽车动能的改变,且F与车重m成正比.
三、模型建立
由假设2,反应距离为
;
由假设3和前面的分析,制动距离为
由假设1,刹车距离为
.
四、参数估计
请根据由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据,估计本案例的数学模型的参数(车速的单位是英里/小时,距离的单位是英尺,时间的单位是秒,单位换算:
1英里=5280英尺)。
表 反应距离和制动距离的实际观测值
车速v
(英里/小时)
反应距离
(英尺)
制动距离
刹车距离
范围
平均值
20
22
18—22
40—44
42
25
28
25—31
53—59
56
30
33
36—45
40.5
69—78
73.5
35
39
47—58
52.5
86—97
91.5
40
44
64—80
72
108—124
116
45
50
82—103
92.5
132—153
142.5
55
105—131
118
160—186
173
61
132—165
148.5
193—226
209.5
60
66
162—202
182
228—268
248
65
196—245
220.5
268—317
292.5
70
77
237—295
266
314—372
343
75
83
283—353
318
366—436
401
80
88
334—418
376
422—506
464
车速v的单位是mile/h(英里每小时),刹车距离d、反应距离
和制动距离
的单位是ft(英尺)。
单位换算
刹车距离为
,其中
1.反应距离为
,比例系数
为反应时间,单位是s(秒),既然实测数据有反应距离的数据,我们由此估计反应距离的参数
v=20:
5:
80;
d1=[22283339445055616672778388];
k1=(v*5280/3600)'
\d1'
计算结果
=0.7528(s).
2.制动距离为
,既然实测数据有制动距离的数据,我们由此估计制动距离的参数
d2=[202840.552.57292.5118148.5182220.5266318376];
k2=(v*5280/3600)'
.^2\d2'
=0.0252(
).
因此刹车距离的数学模型是
我们编程绘制图形,由图分析结果
1.反应距离对车速的图形是过原点的直线,拟合得到的结果非常好;
2.制动距离对车速的图形是过原点的抛物线,在车速不算高的时候,拟合得到的结果比实际数据略微偏高;
在车速较高的情况,拟合得到的结果比实际数据偏低.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 模型 数据 拟合