一元线性回归模型习题与解答docxWord下载.docx
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为什么?
(1)
儿=a+0y
J/=Q+0T+“『
t=1,2,
t=1,2,…,幵
V/=运+0曲+几
(2)
其中带…”者表示“估计值”。
2-3.卜衣列出若干对自变最与因变最。
对每一对变氐你认为它们Z间的关系如何?
是正的、负的、还是无法确定?
并说明理由。
丙变虽
自变量
GNP
利率
个人储蓄
小麦产出
降雨量
美国国防开支
前苏联国防开支
棒球明星本垒打的次数
其年嶄
总统出誉
任职时间
学生计呈经济学成绒
其统计学成绩
口本汽车的进口呈
美国人均国民收入
(二)基本证明与问答类题型
24对于一元线性回归模型,试证明:
⑵D(yi)=a2
(3)Co”©
儿)=0i#j
2-5.参数估计届的无偏性和冇效性的金义是什么?
从参数估计吊的无偏性和仃效性证明过程说明,为什么说满足基本假设的计杲经济学模粮的普通堆小二乘参数估计帚才貝仃无偏性和有效性?
26対F过原点回归模型Y^p.X^u.,试证明
Va心)=
2-7.试证明:
(1)工et=09从ifu:
e=0
(2)工耳兀=0
(3)工>,2=0:
即残差©
与乙的估计值之积的和为零。
2-8.为什么在一元线性方程中,最小二乘估计最与极大似然估计最的表达式是一致的?
证
明:
八的ML估计最为<72=iy(T,2,并fl是有偏的。
nTZi
2-9.熟悉t统计讯的计算方法和査表判断。
2-10.证明:
R2=(rvl)2;
其中R?
是一尤线性回归模型的判定系数,是y与x的相关系数。
2-11.试根据置信区间的概念解释t检验的概率恿义,即证明:
对显著性水平a,当|厶|>似时,S的100(1-a)%的置信区间不包倉0。
2・12・线性回归模熨
yt=a+0旺+坷t=12…丿
的o均值假设是否可以表示为一y^z=o?
"
3•现代投资分析的特征线涉及如卜回归方程:
儿=0o+卩I,其中:
r农示股栗或债券的收益率:
临表示有价证券的收益率(用市场指数表示,如标准普尔500指数);
t表乐时间。
在投资分析屮,Bi被称为债券的安全系数B,是用来度杲市场的风险程度的,即市场的发展对公司的财产仃何影响。
依据19531976年间240个刀的数据,Fogler和Ganpathy得到IBM股栗的冋归方程:
市场指数是在芝加哥大学建工的市场冇价证券指数:
rt=0.7264+1.0598/;
n/r2=0.4710
(03001)(00728)
要求:
(1)解释回归参数的意义;
(2)如何解释P?
(3)安全系数卩>1的证券称为不稳定证券,建立适当的零假设及备选假设,并用t检验进厅检验(a=5%)o
A"
1—
2-14.已知模型乙+证明;
估计虽a可以表示为;
a=^(--AW)y.这
.=1n
里W:
=二-
E-v
2-15.已知两个杲X和Y的一组观察值(x,,yx),1=1,2,…,n。
证明:
Y的冀实值和拟合值有共同的均值。
2-16.-个消费分析者论证了消费函数C^a+bY^无用的,因为散点图上的点(C,,匕)不在直线+上。
他还注意到,冇时Y,上升但C,卜降。
因此他下结论:
C,不是Y,的函数。
请你评价他的论据(这里C,是消费,Y’是收入)。
2-17.证明:
仅当R2=l时,y对x的线性冋归的斜率估计鼠等j-x对y的线性回归的斜率估计量的倒数。
AQA
2-18.证明:
相关系数的另一个表达式是:
「=—其中“为一元线性回归模型一次项
系数的估计值,Sx、Sy分别为样本标准差。
2-19.对于经济计量模型:
Y产bo+bX+Uj,其OLS估计参数%的特性在下列情况下…2到什么影响:
(1)观测值数目n增加:
(2)Xi各观测值差额增加;
(3)Xi各观测值近似相等;
(4)E(u2)=0・
2・20.假定仃如I、•的回川结果:
£
=2.6911-0.4795X,,其中,Y表示萸国的咖啡的消费
量(每天每人消费的杯数),X表示咖啡的零售价格(美元/杯),t表示时间。
要求:
(1)这是一个时间序列回归还是横截面序列回归?
做出回归线;
(2)如何解释截距的意义,它仃经济含义吗?
如何解释斜率?
(3)能否求出真实的总体冋归换数?
(4)根据需求的价格弹性定义:
弹性=斜率X(X/Y),依据上述回归结果,你能求出对咖
啡需求的价格弹性吗?
如果不能,计算此弹性还需耍其他什么信息?
(三)基本计算类题型
2-21.卜面数据是对X和Y的观察值得到的。
LYX=111O:
LXx=1680:
EXMW04200
工X:
=315400;
LY?
=l33300
假定满足所仃的古典线性回归模型的假设,耍求:
(1)5和b?
?
(2)bi和b?
的标准差?
(3)r?
(4)对Bi、B?
分别建立95%的置信区间?
利用置信区间法,你可以接受零假设:
B2=0吗?
M2.假设王先生佔汁消费函数(用模型G=a+bY;
+%农示),并获门卜列结果:
C.=15+0.81Y;
n=19
(31)(187)R3=098这里括号里的数字表示相应参数的T比率值.
(I〉利用T比率值检验假设:
b=0(取显著水平为5%);
(2)确定参数估计量的标准
方差:
(3)构造b的95%的置信区间,这个区间包拈0吗?
2-23.卜表给出了每周家庭的消费支出Y(美尤)与毎周的家庭的收入X(美元)的数据。
毎周收入(X)
毎周消费支出(Y)
so
55,60,65,70.75
100
65,70,74,80,85,88
120
79,84,90,94,98
140
80,93,95,103.108>
113.115
160
102,107,110>
116.118»
125
180
110>
115,120.130,135,140
200
120.136.140>
144.145
220
135.137,140.152.157-160.162
240
137.145・155.165.175.189
260
150.152,175.178.180.185>
191
(1)对每一收入水平,计算平均的消费支出,E(Y|XQ,即条件期望值;
(2)以收入为横轴、消费支出为纵轴作散点图:
(3)在散点图中,做出
(1)中的条件均值点;
(4)你认为X与YZ间、X与Y的均值Z间的关系如何?
(5)写出其总体冋归函数及样本冋归隨数;
总体冋归旳数是线性的还是非线性的?
2-24.根据上题屮给出的数据,对每一个X值,随机抽収一个Y值,结果如卜•:
Y
70
65
90
95
110
115
155
150
X
SO
(1)以Y为纵轴、X为横轴作图,并说明Y与X之间是怎样的关系?
(2)求样本回归函数,并按要求写出计算步骤;
(3)在同一个图中,做出样本回归函数及从上题中得到的总体回归函数:
比较二者相同吗?
2-25.卜•表给出了1990-1996年间的CPI指数与S&
P500指数。
年份
CPI
S&
P500指数
1990
1307
33459
1991
1362
376.18
1992
1403
41574
1993
1445
45141
1994
14S2
460.33
1995
152.4
54164
1996
1596
67083
赍料*酥;
总统X济报皆.1997.CPI折牧址冀D60.第300:
;
:
故児衣D93.第406刃.
耍求:
(1)以CPI指数为横轴、S&
P指数为纵轴做图;
(2)你认为CPI指数与S&
P拆数之间关系如何?
(3)考虑下面的回归模型:
(S&
P)t=B]+B2CPI,+U,,根据表中的数据运用OLS
估计上述方程,并解释你的结來;
你的结呆仃经济盘义吗?
2-26.卜•表给出了美国30所知名学校的MBA学牛1994年基本年薪(ASP)、GPA分数(从
17共四个等级)、GMAT分数以及每年学费的数据。
学校
ASP/矣元
GPA
GMAT
学费/吳元
Harvard
102630
34
650
23894
Staiford
100800
33
665
21189
Columbian
100480
640
21400
Dartmouth
95410
660
21225
Wharton
89930
21050
Northwestern
84640
20634
Chicago
83210
21656
MIT
80500
35
21690
Virginia
74280
3.2
643
17839
UCLA
74010
14496
Berkeley
71970
647
14361
Cornell
630
20400
NUY
70660
20276
Duke
70490
623
21910
CarnegieMellon
59890
635
20600
NorthCarolina
69880
621
10132
Michigan
67820
20960
Texas
61890
625
8580
Indiana
58520
615
14036
Purdue
54720
32
581
9556
CaseWestern
57200
31
591
17600
Georgetown
69830
619
19584
MichiganState
41820
590
16057
PennState
49120
580
11400
SouthernMethodist
60910
600
18034
Ttilaiie
44080
19550
Illinois
47130
616
12628
Lowa
41620
9361
Minnesota
48250
12618
Washington
44140
617
11436
(1)用双变屋:
回归模型分析GPA是否对ASP有影响?
(2)用介适的冋01模熨分析GMAT分数是否与ASP冇关?
(3)毎年的学费与ASP有关吗?
你是如何知道的?
如果两变鼠Z间正相关,是否意味看进到加高费用的商业学校足仃利的:
(4)你同意高学费的商业学校意味着高质杲的MBA成绩吗?
2-27.从某1•业部门抽取10个生产单位进行调査,紂到卜农所列的数据:
单位序号
年产虽(力吨)y
工作人员数(T•人)x
1
2108
7062
■
2101
7031
3
2115
7018
4
2089
6991
5
2074
6974
6
205.3
7953
7
1988
6927
8
192.1
6302
9
183.2
6021
10
1768
5310
假定年产最与匚作人员数Z间存在线性关系,试用经典I叫阳估计该匸业部门的生产皈数及边际劳动生产率。
2-28.卜•表给出了1988年9个匚业国的名义利率(Y)与通货膨胀率(X)的数据:
国家
Y(%)
X(%)
澳大利亚
11.9
77
加拿大
94
4.0
法国
75
3.1
德国
40
16
盘大利
113
48
噩西哥
663
510
瑞典
ro
■•■
20
英国
103
6S
美国
76
44
棗料来溯L原始数据來"
国5皈帀丛金细织出版的《国由、金融统计》
(1)以利率为纵轴、通货膨胀率为横轴做图;
(2)用OSL进行回川分析,写出求解步骤:
(3)如果实际利率不变,则名义利率与通货膨胀率的关系如何?
(四)口我综合练习类题型
2-29.综合练习:
门己选择研究对彖,收集样本数据(利用我国公开发表的统计资料),应
用计鼠经济学软件(建议使用Eviews3.1)完成建工计炭经济学模型的全过程,并写出详细
的研究报吿。
(通过练习,能够熟练应丿I]计量经济学软件Eviews31>
|«
的虽小二乘法)
二、习题参考答案
2-1.答:
⑴总体冋川换数是指在给定X」、-的Y的分布的总体均值与X,冇函数关系。
⑵样本冋山函数抬对应j•某个给定的x的y值的一个样本而建'
丫的冋山隨数.
⑶随机的总体I叫归曲数指含有随机误差项的总体冋归函数,形如:
⑷线性冋归模熨指对参数"
为线性的冋归,即。
只以它的1次方出现•对x可以是或不是线性的。
⑸随机误差项也称误差项,是一个随机变届,针对总体冋归换数而言。
⑹残羞项是一随机变就,针対样本回"
I函数而言。
⑺条件期望又称条件均值,指X取特定Xjfi时的Y的期望值。
⑼冋归系数(或冋归参数)指佚等未知但却是同定的参数。
(10)冋归系数的估计磺指用久、p2等表示的用U知样本所提供的信息去估计出來的氐
(⑶佔计彊的标准羞指度吊-个变彊变化人小的标准。
(14)总离差平方和用TSS表示,用以度碗被解释变起的总变动。
胸回归平方和用ESS表示,用以度量由解释变量变化引起的被解释变量的变化。
⑯残差平方和用RSS表示,用以度吊实际值与拟介值Z间的差异,是由除解释变届以外的其他因素引起的。
(17)协方差用Cov(X,Y)表示,是用來度GX、Y二个变晟同时变化的统计佩。
2-2.答:
错;
错:
错。
(理由见木章其他习题答案)
2-3.答:
仃)线性回01模型的圧木假设(实际足针对浮通加小二乘法的圧木假设)足:
解释变啟足确定性变気而H.解释变斎Z间耳不相关:
随机误差项H何0均值和同方差;
随机误差项在不同样本点Z间是独立的,不存在序列和关:
随机谋差项与解释变彊Z间不相关:
随机谋差项服从0均值、同方差的正态分布。
违背某本假设的计帚经济学模熨还是可以估计的,只是不能使用普通最小二乘法进行估计。
⑸判定系数宀裟八裟,含义为由解释变紳起的被解释变酗变化占榊
释变帚总变化的比忆用来判定冋归肖线拟合的优劣。
该值越人说明拟合得越好。
(10)不是。
2-8.证明:
由心号,因此
W)=如•(寮s畑(工箒)=E
=V—住—Var(/t)=<
r3工乂;
=丐Z(工X:
)2S“(》X;
)2工X;
2-9.证明:
⑴根据定义得知,
=S(y.-y.)=z(乙-a-民xj二工乙一aSXi
=nY-npx-np2X=n(Y一0】一fl2X)
•.•r=Z?
1+Z?
2X••・D=0
Ve
从而使得:
歹=厶丄=0
//
证毕。
・・・》©
X,=^(K-r,)(x,-x)=工(XX,-XY,-xy+xr()=s[yA,-比-匕-勺)£
+x(rf-e,)]
=工(r(X(-Yr,-YiXi+e.x.+XYt-e,X
订(也一谊)
=工勺片(〃一1)
=0
.・.工£
疋=0
(3)
E议=Ej(A+(W=卩*+02工也
=卩工5+n邓远5
2-14.答:
线性冋归模些:
y,=a+fixt+/L,中的0均值假设E(//2)=0不可以表示为:
1“
詔,0,因赠者表示取完所的可能的样本组合訥平均状态,而后者只是-个样郴
平均值。
2-16.证明:
2-17.证明:
•・•诵/满足正规方程£
[y,-(a+A;
)]=o
yi=a+flxi
•••£
(X-刃)=0即农明Y的真实值与拟合值勺共同的均值。
2-18.答:
他的论据是错误的。
原因是他忽略了随机误差项坷,这个随机误差项可取正
值和负值,但是E(^)=0,将G与乙的关系表达为C严a十化是不准确的,而是一个
平均关系。
2-19.证明:
设:
刃=心+必乳门
=A+Ax-
2-20.证明:
苑薛又;
-层'
S,届
2-22.解:
⑴这是一个横截面序列回归。
(图略)
⑵截距2.6911表示咖啡零竹价在f时刻为每磅0美元时,美国平均消费磧为每犬每人
26911杯,这个数字没令经济意义;
斜率-04795表示囲啡零倂价与消费最负相关,在f时刻,价格上升1美尤/磅,则平均每人每人消费屉减少04795杯:
⑶不能:
⑷不能;
在同一条碍求曲线上不同点的价格弹性不同,杆要求出,须给出八体的X值及与之对应的rffto
2-23.解:
・•・X(X,-X)(r,-n=E(X,y--匕片+更)
=204200-1680x111-168x1110+10x168x111
=17720
又・・・工(X,-X)2=工(X;
-2XJ+X-)=》X:
-2xlO尹+100
=315400-10x168x168
=33160
=0.5344
工(X,-X)(匕-卩)17720~工(X(-乂尸-~33160
01=Y-p2X=111-0.5344x168=21.22
⑵&
2
f工匕-汗_工(严-2疙+尸)
一210-2F
vX=21.22+0.5344X,
...工亿2一2/X+严)=E(Y--2x21.22rz-2x0.5344X必+0:
+P;
X;
+2久0旳
=133300-2x21.22xlll0-2x0.5344x204200+10x21.22x21.22
+0.5344x0.5344x315400+2x21.22x0.5344x1680
=620.81
=1_E(^-n2
=620.81,
乂・・・工(匕一K)2=133300-123210=10090
⑷vp(|/|<
2.306)=95%,自由度为8
.*.-2.306<
2;
fS2.306,解得:
1.4085<
41.0315为人的95%的置信区间。
同理,/.-2.306<
°
5344<
2.306,解得:
0.4227<
6.<
0.646为Q的95%的迓
0.0484―・
信区间。
[11JA=°
不在0?
的宣信区间内,故拒绝零假设:
0厂0。
2-24.解:
(l)dJJ;
参数佔计彳“的T比率值的绝対值为18.7且明显人J:
2,故拒绝冬假设
H『卩=,从而0在统计上是显箸的;
⑵参数0的估计駅的标准方差为15/3.1=484,参数“的估计届的标准方差为
081/187=0043:
⑶由⑵的结呆,0的95%的置信区间为:
(0.81-/0975(n-2)0.043,0.81+r0975(n-2)0.043)=(0.81-0.091,0.81+0.091),显
然这个区间不包括0。
2-25.解:
⑴E(Y\Xt=80)=65
E(Y\Xi=120)=89
E(y|X(=160)=113
E(Y\Xt=200)=137
E(r|X,=240)=161
E(y|X.=100)=77
E(Y\Xt=140)=101
=180)=125
E(y|X,=220)=149
E(Y\Xt=260)=173
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