高考数学解题技巧.doc
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高考数学解题技巧.doc
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2016高考数学解题方法
第1计芝麻开门点到成功
●计名释义
七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”.就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性.因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
[例题]将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出
,其中.
令,
则.
[分析]一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物.从何处破门呢?
我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点的主意.
[解Ⅰ]将等式与右边的顶点三角形对应(图右),自然有
对此,心算可以得到:
n=1,r=0,x=1
对一般情况讲,就是x=r+1这就是本题第1空的答案.
[插语]本题是填空题,只要结果,不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功.要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出x=r+1.
第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项.
[解Ⅱ]在三角形中先找到了数列首项,并将和数列中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an.这个an,就等于首项左上角的那个.因为在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.
因此得到这就是本题第2空的答案.
[点评]解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数,采用的方法是以点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.
事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质.例如从这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和(的极限)就是这个数的左上角的那个数.用等式表示就是
[链接]本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.
[法1]由知,可用合项的办法,将的和式逐步合项.
[法2]第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即
根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为,故,从而
[法3]
(2)将代入条件式,并变形得
取令得
,
………
以上诸式两边分别相加,得
[说明]以上三法,都是对解答题而言.如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.
●对应训练
1.如图把椭圆的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.
●参考解答
1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2、P2F2、…、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10
如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70
由椭圆的对称性可知,本题的答案是70的一半即35.
2.找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示,令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合,动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.
显然V棱柱.
∴∶=
于是奇兵天降——答案为.
[点评]“点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局.这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.
第2计西瓜开门滚到成功
●计名释义
比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球.因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的.一是知识内容,二是思想方法.基本的数学思想并不多,只有五种:
①函数方程思想,②数形结合思想,③划分讨论思想,④等价交换思想,⑤特殊一般思想.数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.
●典例示范
[题1]
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f¢(x)³0,则必有
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1)D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
[分析] 用五种数学思想进行“滚动”,最容易找到感觉应是③:
分类讨论思想. 这点在已条件(x-1)f'(x)≥0中暗示得极为显目.
其一,对f'(x)有大于、等于和小于0三种情况;
其二,对x-1,也有大于、等于、小于0三种情况.
因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.
[解一](i)若f'(x)≡0时,则f(x)为常数:
此时选项B、C符合条件.
(ii)若f'(x)不恒为0时.则f'(x)≥0时有x≥1,f(x)在上为增函数;f'(x)≤0时x≤1.即f(x)在上为减函数.此时,选项C、D符合条件.
综合(i),(ii),本题的正确答案为C.
[插语]考场上多见的错误是选D.忽略了f'(x)≡0的可能.以为(x-1)f'(x)≥0中等号成立的条件只是x-1=0,其实x-1=0与f'(x)=0的意义是不同的:
前者只涉x的一个值,即x=1,而后是对x的所有可取值,有f'(x)≡0.
[再析]本题f(x)是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中,又是一些具体的函数值f(0),f
(1),f
(2). 因此容易使人联想到数学⑤:
一般特殊思想.
[解二](i)若f'(x)=0,可设f(x)=1. 选项B、C符合条件.
(ii)f'(x)≠0.可设f(x)=(x-1)2又 f'(x)=2(x-1).
满足 (x-1)f'(x)=2(x-1)2≥0,而对f(x)=(x-1)2.有f(0)=f
(2)=1,f
(1)=0
选项C,D符合条件.综合(i),(ii)答案为C.
[插语]在这类f(x)的函数中,我们找到了简单的特殊函数(x-1)2.如果在同类中找到了(x-1)4,(x-1),自然要麻烦些.由此看到,特殊化就是简单化.
[再析]本题以函数(及导数)为载体.数学思想①——“函数方程(不等式)思想”.贯穿始终,如由f¢(x)=0找最值点x=0,由f¢(x)>0(<0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到.
[解三](i)若f(0)=f
(1)=f
(2),即选B,C,则常数f(x)=1符合条件.(右图水平直线)
(ii)若f(0)=f
(2) (1)对应选项A.(右图上拱曲线),但不满足条件(x-1)f¢(x)≥0 若f(0)=f (2)>f (1)对应选项C,D(右图下拱曲线).则满足条件(x-1)f¢(x)≥0. [探索]本题涉及的抽象函数f(x),没有给出解析式,只给出了它的一个性质: (x-1)f¢(x)≥0,并由此可以判定f(0)+f (2)≥f (1).自然,有这种性质的具体函 数是很多的,我们希望再找到一些这样的函数. [变题]以下函数f(x),具有性质(x-1)f¢(x)≥0从而有f(0)+f (2)≥2f (1)的函数是 A.f(x)=(x-1)3B.f(x)=(x-1)C.f(x)=(x-1)D.f(x)=(x-1) [解析]对A,f(0)=-1,f (2)=1,f (1)=0,不符合要求;对B,f(0)无意义; 对C,f(0)=-1,f (2)=1,f (1)=0,不符合要求; 答案只能是D.对D,f(0)=1,f (1)=0,f (2)=1. 且f¢(x)=(x-1)使得(x-1)f'(x)=(x-1)(x-1)≥0. [说明]以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f¢(x)=(x-1),其中m,n都是正整数,且n≥m. [点评]解决抽象函数的办法,切忌“一般解决”,只须按给定的具体性质“就事论事”,抽象函数具体化,这是“一般特殊思想”在解题中具体应用. [题2]已知实数x,y满足等式,试求分式的最值。 [分析]“最值”涉及函数,“等式”连接方程,函数方程思想最易想到. [解一](函数方程思想运用) 令y=k(x-5)与方程联立 消y,得: 根据x的范围应用根的分布得不等式组: 解得即≤≤即所求的最小值为,最大值为. [插语]解出≤≤,谈何易! 十人九错,早就应该“滚开”,用别的思想方法试试. [解二](数形结合思想运用) 由得椭圆方程, 0 看成是过椭圆上的点(x,y),(5,0)的直 线斜率(图右). 联立得 令得,故的最小值为,最大值为. [插语]这就是“滚动”的好处,解二比解一容易多了.因此,滚动开门,不仅要善于“滚到”,还要善于“滚开”. [点评]“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势. 解题时,要打破思维固化,在思想方法上要“滚动”,在知识链接上要“滚动”,在基本技能技巧上也要“滚动”.总之,面对考题,在看法、想法和办法上要注意“滚动”. ●对应训练 1.若动点P的坐标为(x,y),且lgy,lg|x|,lg成等差数列,则动点P的轨迹应为图中的() 2.函数y=1-(-1≤x<0)的反函数是() A.y=-(0 C.y=-(-1≤x<0)D.y=(-1≤x<0) 3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是() A.b2≤acB.b2>acC.b2>ac且a>0D.b2>ac且a<0 ●参考答案 1.【思考】利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像,选项D中无x>0的图像,均应否定;当x=y∈R+时,lg无意义,否定A,选C. 【点评】上面的解法中条件与选项一并使用,滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是: 当x≠0且
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