黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷理科Word版含解析.doc

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2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（　　）

A．[﹣1，2） B．[﹣1，2] C．[﹣4，1] D．[﹣1，4]

2．的虚部为（　　）

A．i B．﹣1 C．﹣i D．1

3．已知向量，满足•=1，||=2，||=3，则|﹣|=（　　）

A． B．6 C． D．5

4．已知x，y满足：

，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是（　　）

A．0 B．﹣1 C．±1 D．1

5．椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

7．《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：

“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？

”如右图是解决该问

题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为（　　）

A．81 B．74 C．121 D．169

8．已知函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+5x﹣5，则曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为（　　）

A．y=x B．y=﹣2x+3 C．y=﹣3x+4 D．y=x﹣2

9．一条光线从点（1，﹣1）射出，经y轴反射后与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

10．在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为（　　）

A． B． C． D．

11．正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

12．定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1] B． C．[1，+∞） D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知，则a1+a2+a3+a4的值是　　．

14．函数y=sin2x﹣cos2x的图象可由函数的图象至少向右平移　　个单位长度得到．

15．下列共有四个命题：

（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；

（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；

（3）a，b∈R，，则p是q的充分不必要条件；

（4）已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）xm为偶函数，则f（﹣2）=4．

其中正确的序号为　　．（写出所有正确命题的序号）

16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1=3．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求证：

．

18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：

分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

4

19

周做题时间不足15小时

合计

45

（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；

（Ⅱ）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；

（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差．

附：

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

19．如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．

（Ⅰ）求证：

平面AB1C⊥平面BB1D；

（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．

20．已知抛物线G：

y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．

（Ⅰ）当直线l的倾斜角为时，|AB|=16．求抛物线G的方程；

（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G，是否存在x轴上一定点N，使得|AB|﹣2|MN|为定值，若存在求出点N的坐标及定值，若不存在说明理由．

21．已知函数f（x）=x3﹣x2+logax，（a＞0且a≠1）为定义域上的增函数，f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x）的最小值小于等于0．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设函数，且g（x1）+g（x2）=0，求证：

．

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.

22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）设l1：

θ=，若l1、l2与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积．

23．设函数．

（Ⅰ）证明：

f（x）≥5；

（Ⅱ）若f

（1）＜6成立，求实数a的取值范围．

2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（　　）

A．[﹣1，2） B．[﹣1，2] C．[﹣4，1] D．[﹣1，4]

【考点】1E：

交集及其运算．

【分析】分别求出关于M、N的不等式，求出M、N的交集即可．

【解答】解：

M={x|y=ln（2﹣x）}={x|x＜2}，

N={x|x2﹣3x﹣4≤0}={x|﹣1≤x≤4}，

则M∩N={x|﹣1≤x＜2}，

故选：

A．

2．的虚部为（　　）

A．i B．﹣1 C．﹣i D．1

【考点】A5：

复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．

【解答】解：

==﹣i（1﹣i）=﹣1﹣i的虚部为﹣1．

故选：

B．

3．已知向量，满足•=1，||=2，||=3，则|﹣|=（　　）

A． B．6 C． D．5

【考点】9R：

平面向量数量积的运算．

【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长|﹣|即可．

【解答】解：

向量，满足•=1，||=2，||=3，

∴=﹣2+=22﹣2×1+32=11，

∴|﹣|=．

故选：

C．

4．已知x，y满足：

，若目标函数z=ax+y取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是（　　）

A．0 B．﹣1 C．±1 D．1

【考点】7C：

简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

【解答】解：

作出不等式组对应的平面区域如图：

（阴影部分）．

若a=0，则y=z，此时满足条件最大值不存；

若a＞0，由z=ax+y得y=﹣ax+z，

若a＞0，∴目标函数的斜率k=﹣a＜0．

平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=2平行时，

此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，

此时a=1满足条件；

若a＜0，目标函数的斜率k=﹣a＞0．

平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知直线y=﹣ax+z，此时目标函数取得最大值只有一个，

此时a＜0不满足条件．

故选：

D

5．椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】K4：

椭圆的简单性质；KC：

双曲线的简单性质．

【分析】求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．

【解答】解：

椭圆的焦点坐标（±1，0），离心率为：

，

双曲线的焦点（±1，0），c=1，双曲线的离心率为2．

可知a=，则b=，

双曲线渐近线y=±的倾斜角的正弦值为：

．

故选：

D．

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

【考点】L!

：

由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图还原原几何体，再由柱体的体积减去三棱锥的体积得答案．

【解答】解：

由三视图还原几何体如图，

是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥．

直三棱柱的体积为．

截去的三棱锥的体积为．

∴几何体的体积为32﹣．

故选：

D．

7．《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：

“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？

”如右图是解决该问

题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为（　　）

A．81 B．74 C．121 D．169

【考点】EF：

程序框图．

【分析】由已知中的程序语句可知：

该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：

模拟程序的运行，可得

a=1，S=0，n=1

满足条件a≤40，执行循环体，S=1，n=2，a=8

满足条件a≤40，执行循环体，S=9，n=3，a=16

满足条件a≤40，执行循环体，S=25，n=4，a=24

满足条件a≤40，执行循环体，S=49，n=5，a=32

满足条件a≤40，执行循环体，S=81，n=6，a=40

满足条件a≤40，执行循环体，S=121，n=7，a=48

不满足条件a≤40，退出循环，输出S的值为121．

故选：

C．

8．已知函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+5x﹣5，则曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为（　　）

A．y=x B．y=﹣2x+3 C．y=﹣3x+4 D．y=x﹣2

【考点】6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+5x﹣5，运用赋值法，令x=1和两边对x求导，求出y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率，切点坐标，根据点斜式可求切线方程．

【解答】解：

∵函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+5x﹣5，

∴f

（1）=2f

（1）﹣1+5﹣5，

∴f

（1）=1，

∵函数f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+5x﹣5

∴f'（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+5，

∴f'

（1）=﹣2f′

（1）﹣2+5，

∴f'

（1）=1，

∴y=f（x）在（1，f

（1））处的切线斜率为y′=1．

∴函数y=f（x）在（1，f

（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1，

即y=x．

故选：

A．

9．一条光线从点（1，﹣1）射出，经y轴反射后与圆（x﹣2）2+y2=1相交，