高考数学经典题题精选----平面向量解答题精选.doc
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平面向量解答题精选
1.设x,y∈R,、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量,若=x+(y+2),=x+(y-2)且2+2=16.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过定点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设,是否存在直线l使四边形OAPB为正方形?
若存在,求出l的方程,若不存在说明理由.
解:
(1)由2+2=16得x2+y2=4…………………………4分
(2)假设直线l存在,显然l的斜率存在
设A(x1,y1)B(x2,y2)
由………………6分
∴若OAPB为正方形只有即x1x2+y1y2=0
y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分
……10分
∴存在l且l的方程为y=x+3…………………………12分
2.
(1)已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角θ;
(2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使
,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵(2-3)·(2+)=61,∴…(12分)
又||=4,||=3,∴·=-6.…………………………………………(4分).
………………………………………………(5分)
∴θ=120°.………………………………………………………………(6分)
(2)设存在点M,且
…………………………(8分)
∴存在M(2,1)或满足题意.……………………(12分)
3.设、是两个不共线的非零向量()
(1)记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?
(2)若,那么实数x为何值时的值最小?
解:
(1)A、B、C三点共线知存在实数
即,…………………………………………………4分
则………………………………………………………………6分
(2)
……………………………9分
当…………………………………………12分
4.设平面内的向量,,,点P是直线OM上的一个动点,求当取最小值时,的坐标及ÐAPB的余弦值.
解设.
∵点P在直线OM上,
∴与共线,而,
∴x-2y=0即x=2y,有.………………4分
∵,,
∴
=5y2-20y+12
=5(y-2)2-8.………………8分
从而,当且仅当y=2,x=4时,取得最小值-8,此时,,.
于是,,,
∴.……………12分
5.已知向量向量与向量夹角为,且.
(1)求向量;
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为,求|2+|的值.
解:
(1)设,有①………………2分
由夹角为,有.
∴②………………4分
由①②解得∴即或…………6分
(2)由垂直知…………7分
…………10分
∴…………12分
6.已知定点
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程。
(Ⅱ)当的最大值和最小值.
解:
(I)设动点的坐标为P(x,y),则
(3分)
若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线.(4分)
若k≠1,则方程化为:
为半径的圆.(5分)
(II)当k=0时,方程化为x2+y2=1.
7.在平行四边形ABCD中,A(1,1),,点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.
(1)若,求点C的坐标;
(2)当时,求点P的轨迹.
解:
(1)设点C坐标为(……1分
又……3分
即……4分即点C(0,6)…5分
(2)解一:
设,则
……6分
……8分
ABCD为菱形……9分
……11分
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半圆去掉与直线的两个交点……12分
解法二:
D的轨迹方程为……7分
M为AB中点的比为
设……9分
的轨迹方程
整理得……11分
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线的两个交点……12分
8.已知向量=(2,2),向量与向量的夹角为,且·=-2,
(1)求向量;
(2)若,其中A、C是△ABC的内角,若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|+|的取值范围.
解:
(1)设=(x,y),则
∴解得
(2).∴
∴
=1+
∴∴
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