《大学物理学》第二版上册课后答案Word格式文档下载.docx
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avet2
dx
t时刻的瞬时速度为:
v(t)==4-4t
2s末的瞬时速度为:
v
(2)=4-42=-4m/s
(2)1s末到3s末的平均加速度为:
aave=v=v(3)-v
(1)=-8-0=-4m/s2avet22
(3)3s末的瞬时加速度为:
a=dv=d(4-4t)=-4(m/s2)。
dtdt
1.3质点作直线运动,初速度为零,初始加速度为a0,质点出发后,每经过时间,加速度均匀增加b。
求经过t时间后,质点的速度和位移。
解:
由题意知,加速度和时间的关系为b
a=a+t
0
利用dv=adt,并取积分得
再利用dx=vdt,并取积分[设t=0时x0=0]得
rrrr
1.4一质点从位矢为rr(0)=4j的位置以初速度vr(0)=4i开始运动,其加速度与时间的关系
rrr
为ar=(3t)i-2j.所有的长度以米计,时间以秒计.求:
(1)经过多长时间质点到达x轴;
(2)到达x轴时的位置。
vr(t)=vr(0)+ar(t)dt=4+3t2i-(2t)j
rr(t)=r(0)+vr(t)dt=4t+1t3i+(4-t2)j
1)当4-t2=0,即t=2s时,到达x轴。
rr
2)t=2s时到达x轴的位矢为:
rr
(2)=12i
即质点到达x轴时的位置为x=12m,y=0。
1.5一质点沿x轴运动,其加速度与坐标的关系为a=-2x,式中为常数,设t=0时刻的质点坐标为x0、速度为v0,求质点的速度与坐标的关系。
1.6一质点的运动方程为r(t)=i+4t2j+tk,式中r,t分别以m、s为单位。
试求:
(1)质点的速度与加速度;
(2)质点的轨迹方程。
(1)速度和加速度分别为:
vv==(8t)j+k,a==8j
(2)令r(t)=xi+yj+zk,与所给条件比较可知x=1,y=4t2,z=t
所以轨迹方程为:
x=1,y=4z2。
1.7已知质点作直线运动,其速度为v=3t-t2(ms-1),求质点在0~4s时间内的路程。
在求解本题中要注意:
在0~4s时间内,速度有时大于零,有时小于零,因而运动出
44现往返。
如果计算积分vdt,则求出的是位移而不是路程。
求路程应当计算积分vdt。
00
令v=3t-t2=0,解得t=3s。
由此可知:
t3s时,v0,v=v;
t=3s时,v=0;
而t3s时,v0,v=-v。
因而质点在0~4s时间内的路程为
43434
s=vdt=vdt+(-v)dt=(3t-t2)dt-(3t-t2)dt
00303
32
13
3
t2-
t3
2
3
1.8在离船的高度为h的岸边,一人以恒定的速率v0收绳,求当船头与岸的水平距离为x时,船的速度和加速度。
建立坐标系如题1.8图所示,船沿X轴方向作直线运动,欲求速度,应先建立运动方程,由图题1.8,可得出
=r2-h2
22
hv0
负号表明船速与x轴正向反向,船速与x有关,说明船作变速运动。
将上式对时间求导,可得船的加速度为
dva=
负号表明船的加速度与x轴正方向相反,与船速方向相同,加速度与x有关,说明船作变加速运动。
1.9一质点沿半径为10cm的圆周运动,其角坐标(以弧度rad计)可用下式表示
=2+4t3
其中t的单位是秒(s)试问:
(1)在t=2s时,它的法向加速度和切向加速度各是多少?
(2)当等于多少时其总加速度与半径成45o角?
(1)利用=2+4t3,=d/dt=12t,=d/dt=24t,
得到法向加速度和切向加速度的表达式
a=r2=144rt4,a=r=24rt
在t=2s时,法向加速度和切向加速度为:
a=144rt4=1440.124=230.4(ms-2),
a=24rt=240.12=4.8(ms-2)
(2)要使总加速度与半径成45o角,必须有an=at,即144rt4=24rt
解得t3=1/6,此时=2+4t3=2.67rad
1.10甲乙两船,甲以10km/h的速度向东行驶,乙以15km/h的速度向南行驶。
问坐在乙船上的人看来,甲船的速度如何?
坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何?
以地球为参照系,设i、j分别代表正东和正北方向,则甲乙两船速度分别为v=10ikm/h,v=-15jkm/h
根据伽利略变换,当以乙船为参照物时,甲船速度为v=v-v=(10i+15j)km/hv=102+152=18.1km/h,=arctg15=56.31
即在乙船上看,甲船速度为18.1km/h,方向为东偏北56.31同理,在甲船上看,乙船速度为18.1km/h,方向为西偏南56.31。
1.11
有一水平飞行的飞机,速率为v0,在飞机上安置一门大炮,炮弹以水平速度v向前射击。
略去空气阻力,
(1)
(2)
(3)
gx2
消去时间参数t,得到轨迹方程为:
2v2
y=-2(v+v0)2(若以竖直向下为y轴正方向,则负号去掉,下同)
(3)以炮弹为参照系,只需在
(2)的求解过程中用-x代替x,-y代替y,可得y=gx.2v2
1.12如题1.12图,一条船平行于平直的海岸线航行,离岸的距离为D,速率为v,一艘速率为uv的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。
试证明:
如果快艇在尽可能最迟的时刻出发,那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x=Dv-u;
快艇截u
住这条船所需的时间为t=uv2-u2
证明:
在如图所示的坐标系中,船与快艇的运动方程分别为
ì
x=vtì
x=x+ucos×
t
í
和í
y=Dy=usin×
拦截条件为:
vt=x+ucos×
D=usint
所以
D(v-ucos)x=
usin
x取最大值的条件为:
dx/d=0,由此得到cos=u/v,相应地sin=1-(u/v)2。
因此x的最大值为
Dv2-u2x=
u
x取最大值时对应的出发时间最迟。
快艇截住这条船所需的时间为
DDv
t==。
usinuv2-u2
习题二答案
习题二
2.1简要回答下列问题:
(1)有人说:
牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例,因而它是多余的.你的看法如何?
(2)物体的运动方向与合外力方向是否一定相同?
(3)物体受到了几个力的作用,是否一定产生加速度?
(4)物体运动的速率不变,所受合外力是否一定为零?
(5)物体速度很大,所受到的合外力是否也很大?
(6)为什么重力势能有正负,弹性势能只有正值,而引力势能只有负值?
(7)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量,而其中某一分力做的功,能否大于物体动能的增量?
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关?
功是否与惯性系有关?
质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关?
请举例说明.
(9)判断下列说法是否正确,并说明理由:
(a)不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统,当它所受的合外力为零时,其机械能守恒.
(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒.
(10)在弹性碰撞中,有哪些量保持不变,在非弹性碰撞中,又有哪些量保持不变?
(11)放焰火时,一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何?
为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大?
(忽略空气阻力)
2.2质量为m质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力F=-kv(k为常数)作用,
t=0时质点的速度为v0,证明:
1)t时刻的速度为v=v0e-ktm;
2)由0到t的时间内经过的距离为x=(mvk)[1-e-ktm];
3)停止运动前经过的距离为mvk。
(1)由ma=mdv=F=-kv分离变量得dv=-kdt,积分得dtvm
vk
=-t
v0m
(2)x=vdt=tve-kt/mdt=mv0(1-e-kt/m)
0k
(3)质点停止运动时速度为零,即t→,故有x=v0e-kt/mdt=mv0。
00k
2.3一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动,设t=0时,物体的速度为零,物体在力F=3+4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s,求它的速度和加速度.
解.根据质点动量定理,
(3+4t)dt=mv
根据牛顿第二定律,F=ma
2.4一颗子弹由枪口射出时速率为v0ms-1,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为
F=(a-bt)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:
(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;
(2)求子弹所受的冲量;
(3)求子弹的质量。
a
(1)由题意,子弹到枪口时,有F=(a-bt)=0,得t=a
b
2
(2)子弹所受的冲量I=t(a-bt)dt=at-1bt2,将t=a代入,得I=a02b2b
2bv0
由动量定理可求得子弹的质量m=I
v0
2.5一质量为m的质点在xoy平面上运动,其位置矢量为r=acosti+bsintj,求质点
的动量及t=0到t=2时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。
解:
质点的动量为
pr=mvr=mrr&
=m(-asinti+bcostj)
将t=0和t=2分别代入上式,得
rrrrp=mbj,p=-mai
动量的增量,亦即质点所受外力的冲量为
rrrrrI=p-p=-m(ai+bj)
2.6作用在质量为10kg的物体上的力为F=(10+2t)ivN,式中t的单位是s。
(1)求4s后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体的冲量;
(2)为了使这力的冲量为200Ns,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和v
一个具有初速度-6jms-1的物体,回答这两个问题。
(1)若物体原来静止,则
rtr4rr
p=Fdt=(10+2t)idt=56i[kgms-1],沿x轴正向,
vr=p1=5.6i[ms-1],I=pr=56i[kgms-1]1m11
rv
若物体原来具有初速度vr0=-6jms-1,则
pr0=-mvr0,pr(t)
=-mvr+Fdt
于是
同理,
这说明,
pr2=pr(t)-pr0=pr1
vr2=vr1,Ir2=Ir1只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多
大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.
(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即I=t(10+2t)dt=10t+t2
令10t+t2=200,解得t=10s。
2.7一小船质量为100kg,船头到船尾共长3.6m。
现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时,船头将移动多少距离?
假定水的阻力不计。
又
S船=0V船dt,
s人=0v人dt=0mV船dt=mS船
如图,船的长度
L=S船+s人
S船=M=100=1.2m
1+船1+
m50
即船头相对岸边移动S=1.2m
内该力作的功。
解
而
2.8质量m=2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动,受力F=(12t)i(N),试求开始3s
A=Fdx=(12t)dx=(12tv)dt
vx=vx0+0axdt=0mdt=20tdt=3t
A=(12t×
3t2)dt=36t3dt=t4=729(J)
004
2.9一地下蓄水池,面积为s=50m2,水深度为1.5m,假定水的上表面低于地面的高度是5.0m,问欲将这池水全部抽到地面,需作功多少?
O
h0
h1
Y
习题2.9图
建坐标如习题2.9图,图中h0表示水面到地面的距离,h1表示水深。
水的密度为
=103kgm3,对于坐标为y、厚度为dy的一层水,其质量dm=sdy,将此层水抽到地面需作功
dA=dmgy=sgydy
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
A=dA=sgydy=1sg(h0+h1)-h02
=1sg(h12+2h0h1)
=1103509.8(1.52+25.01.5)=4.23106(J)
2.9一炮弹质量为m,以速度vv飞行,其内部炸药使此炮弹分裂为两块,爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的k倍,如两者仍沿原方向飞行,试证其速率分别为v+2kTm,v-2Tkm。
设一块的质量为m1,则另一块的质量为m2=km1。
利用m1+m2=m,有
mkmm=,m=
1k+12k+1
又设m1的速度为v1,m2的速度为v2,则有
-1mv2
T=1mv2+1mv2
211222
mv+mv=mv[动量守恒]
联立①、③解得
v+kv=(k+1)v,v=(k+1)v-kv
联立④、②解得
2T=(v2-v)2,于是有v2=v2Tkmkm
将其代入④式,有
又因为爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,当k1时只能取v1=v+
2.10一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L,求子弹射入前的速度v0.
习题2.10图
子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞,时间极短,木块获得了速度,
尚未位移,因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1,由动量守恒,
(m+M)v=mv
此后,弹簧开始压缩,直到最大压缩,由机械能守恒,
1(m+M)v2=1kL2
由两式消去v1,解出v0得
v=Lk(m+M)
0m
2.11质量m的物体从静止开始,在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B。
在B
处时,物体速度的大小为vB。
已知圆的半径为R,求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作
的功:
(1)用功的定义求;
(2)用动能定理求;
(3)用功能原理求。
习题2.11图
解方法一:
当物体滑到与水平成任意角的位置时,物体在切线方向的牛顿方程为
mgcos-f=ma=mdv
tdt
-f=-mgcos+mdv
注意摩擦力fr与位移drr反向,且|drr|=Rd,因此摩擦力的功为
vB
A=-mgcosRd+m|dr|dv
00dt
=-mgRcosd+mvdv=-mgR+1mv2
方法二:
选m为研究对象,合外力的功为
A=(mgr+f+N)×
drr
考虑到Nrdrr=0,因而
A=A+mgcos|drr|=A+mgRcosd=A+mgR由于动能增量为Ek=1mvB2-0,因而按动能定理有
11
A+mgR=mv2,A=-mgR+mv2。
方法三:
选物体、地球组成的系统为研究对象,以B点为重力势能零点。
2.12墙壁上固定一弹簧,弹簧另一端连接一个物体,弹簧的劲度系数为k,物体m与桌面
间的摩擦因素为,若以恒力F将物体自平衡点向右拉动,试求到达最远时,系统的势能。
fk
m
F
2.13一双原子分子的势能函数为
126
Ep(r)=E0
rr0-2rr0
式中r为二原子间的距离,试证明:
⑴r0为分子势能极小时的原子间距;
⑵分子势能的极小值为-E0;
⑶当Ep(r)=0时,原子间距离为r0;
62
(1)当dEP(r)=0、dEP(r)0时,势能有极小值EP(r)min。
由drdr2Pmin
所以r=r0,即r0为分子势能取极值时的原子间距。
另一方面,
ddErP2(r)=12E013rr014-7rr08
2.14质量为7.2×
10-23kg,速度为6.0×
107m/s的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒
子B相碰,假定这碰撞是弹性碰撞,碰撞后粒子A的速率为5×
107m/s,求:
⑴粒子B的速率及偏转角;
⑵粒子A的偏转角。
vA
习题2.14图
两粒子的碰撞满足动量守恒
写成分量式有
mAvA=mAv'
A+mBv'
B
mv=mv'
cos+mv'
cos
mv'
sin=mv'
sin
碰撞是弹性碰撞,动能不变:
121212mAvA2=mAv'
2A+mBv'
2B
利用
m=7.210-23kg,m=A=3.610-23kg,
v=6.0107m/s,v'
=5.0107m/s,
可解得
v'
=4.69107m/s,=544'
,=2220'
。
2.15平板中央开一小孔,质量为m的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为M1的
重物。
小球作匀速圆周运动,当半径为r0时重物达到平衡。
今在M1的下方再挂一质量为M2
的物体,如题2-15图。
试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径r为多少?
M1
习题2.15图
在只挂重物M1时,小球作圆周运动的向心力为M1g,即
M1g=mr002
挂上M2后,则有
2.16哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。
它离太阳最近距离为r=8.751010m时的速
率是v=5.46104ms-1,它离太阳最远时的速率是v=9.08102ms-1,这时它离太阳的
距离r2是多少?
(太阳位于椭圆的一个焦点。
)解:
哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;
又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
rmv=rmv
∴r=r1v1=8.7510105.46104=5.261012[m]
2v9.08102
2.17查阅文献,对变质量力学问题进行分析和探讨,写成小论文。
参考文献:
[1]石照坤,变质量问题的教学之浅见,大学物理,1991年第10卷第10期。
[2]任学藻、廖旭,变质量柔绳问题研究,大学物理,2006年第25卷第2期。
2.18通过查阅文献,形成对惯性系的进一步认识,写成小论文。
[1]高炳坤、李复,“惯性系”考,大学物理,2002年第21卷第4期。
[2]高炳坤、李复,“惯性系”考(续),大学物理,2002年第21卷第5期。
习题三答案
习题三
3.1简要回答下列问题:
(1)地球由西向东自转,它的自转角速度矢量指向什么方向?
作图说明.
(2)刚体的转动惯量与那些因素有关?
“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗?
(3)平行于z轴的力对z轴的力矩一定为零,垂直于z轴的力对z轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗?
(4)如果刚体转动的角速度很大,那么作用于其上的力是否一定很大?
作用于其上的力矩是否一定很大?
(5)两大小相同、质量相同的轮子,一个轮子的质量均匀分布,另一个轮子
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