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在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块“隔板”.如图:
×
×
一种插法对应于一种分法,则共有
=84种分法.
五、先分组后排列
对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和.
例5由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()
(A)210个(B)300个(C)464个(D)600个
由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有
个、
个,合计300个,所以选B
例6用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?
【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有
种,其中0居首位的有
种,故符合条件的五位数共有
=11040个.
【解法2】按元素分类:
奇数字有1,3,5,7,9;
偶数字有0,2,4,6,8.
把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:
①不含0的;
②含0的.
①不含0的:
由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有
个;
②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有
种排法,再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有
种排法.
综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有
+
六、间接法
如果一个问题直接考虑,比较复杂,很难得出结论,可考虑采用“间接法”.
例7(97年高考题)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有()
(A)144种(B)147种(C)150种(D)141种
从10个点中任取四点,总数为
.其中四点共面的有三种情况:
①共面的6个点中任意4点,共有4
种;
②任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种;
③相邻两面三角形中位线的4个端点共面,共有3种.所以适合条件的取法有
-4
-6-3=141(种),因此选D.
七、交叉问题——韦恩图
例8由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3的自然数?
【解】设A={满足题设条件,且百位数字是3的自然数},B={满足题设条件,且比20000大的自然数},则原题即求
,画韦恩图如图,阴影部分
即
,从图中看出
又
,由性质2,有
即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字,且比20000大的自然数的个数,易知
即由数字1,2,3,4,5组成无重复数字、比20000大,且百位数字是3的自然数的个数,易知
,
所以
=78.即可组成78个符合已知条件的自然数.
四.
定序问题用除法
对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。
解题方法是:
先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,则有种排列方法。
例4.
由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?
解:
不考虑限制条件,组成的六位数有种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有:
(个)
五.
分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。
例5.
9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?
9个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来处理,不同的坐标共有种。
六.
复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6.
四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有(
)
A.
150种
B.
147种
C.
144种
D.
141种
从10个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类。
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。
以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有:
(种)。
七.
多元问题用分类法
按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算总数。
例7.
已知直线中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
设倾斜角为,由为锐角,得,即a,b异号。
(1)若c=0,a,b各有3种取法,排除2个重复(,,),故有:
3×
3-2=7(条)。
(2)若,a有3种取法,b有3种取法,而同时c还有4种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有:
4=36(条)。
从而符合要求的直线共有:
7+36=43(条)
八.
排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。
例8.
将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种?
可分两步进行:
第一步先将4名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1),(1,2,1),共有:
(种),第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有:
因此共有36种方案。
九.
隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9.
有10个三好学生名额,分配到6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?
6个班,可用5个隔板,将10个名额并排成一排,名额之间有9个空,将5个隔板插入9个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有:
(种)
2006年全国高考数学试题分类汇编——排列组合
1.[2006年高考全国卷Ⅰ(河南,河北,广西等)理第12题]
设集合
。
选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
A.
B.
C.
D.
2.[2006年高考全国卷Ⅰ(河南,河北,广西等)理第15题,文第16题]
安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种。
(用数字作答)
3.[2006年高考全国卷Ⅱ(吉林,黑龙江,内蒙,贵州,云南等)文第12题]
5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
4.[2006年高考北京卷文第4题]
在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有
(A)36个(B)24个
(C)18个(D)6个
5.[2006年高考北京卷理第3题]
在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有
(A)36个(B)24个
(C)18个(D)6个
6.[2006年高考天津卷理第5题]
将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
7.[2006年高考天津卷文第16题]
用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有
个(用数字作答).
8.[2006年高考重庆卷理第8题]
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
(A)30种 (B)90种
(C)180种 (D)270种
9.[2006年高考重庆卷文第9题]
高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
(A)1800(B)3600(C)4320(D)5040
10.(2006年高考辽宁卷理第15题,文第16题)
5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种.(以数作答)
11.[2006年高考山东卷理第9题,文第11题]
已知集集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为
(A)33(B)34(C)35(D)36
12.[2006年高考湖南卷理第6题]
某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()
A.16种B.36种C.42种D.60种
13.[2006年高考湖南卷文第6题]
在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A.6 B.12 C.18 D.24
14.[2006年高考湖北卷理第14题]
某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是。
(用数字作答)
15.[2006年高考湖北卷文第14题]
安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的总数是.(用数字作答)
16.[2006年高考福建卷文第8题]
从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有
(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种
17.[2006年高考陕西卷文第15题]
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种.
18.[2006年高考陕西卷理第16题]
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种.
19.[2006年高考江苏卷第13题]
今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答)。
参考答案
1.B 2.2400 3.A 4.A 5.B 6.A
7.24 8.B 9.B 10.48 11.A 12.D
13.B 14.20 15.78 16.B 17.1320 18.600
19.1260
数量关系中排列组合问题的七大解题策略
排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型,并且随着近年公务员考试越来越热门,国考中这
部分题型的难度也在逐渐的加大,解题方法也趋于多样化。
解答排列组合问题,必须认真审题,明确是
属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题;
同时要抓住问题的本质特征,灵活运用
基本原理和公式进行分析,还要注意讲究一些策略和方法技巧。
一、排列和组合的概念
排列:
从n个不同元素中,任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合:
从n个不同元素种取出m个元素拼成一组,称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题策略
1.特殊优先法
特殊元素,优先处理;
特殊位置,优先考虑。
对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:
先考虑
满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。
例:
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿
者都不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有()
(A)280种
(B)240种
(C)180种
(D)96种
正确答案:
【B】
解析:
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,所以翻译工作就是“特殊”位置,因此翻译工
作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法,再从其余的5人中任选3人从事导游、导
购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法,所以不同的选派方案共有C(4,1)×
A(5,3)=240
种,所以选B。
2.科学分类法
问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先元素(即组合)后排列。
对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地
进行解答,避免重复或遗漏现象发生。
同时明确分类后的各种情况符合加法原理,要做相加运算。
某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议,其中甲,乙两位不能同时参加,则邀请的不同方法有
()种。
A.84
B.98
C.112
D.140
正确答案【D】
按要求:
甲、乙不能同时参加分成以下几类:
a.甲参加,乙不参加,那么从剩下的8位教师中选出5位,有C(8,5)=56种;
b.乙参加,甲不参加,同(a)有56种;
c.甲、乙都不参加,那么从剩下的8位教师中选出6位,有C(8,6)=28种。
故共有56+56+28=140种。
3.间接法
即部分符合条件排除法,采用正难则反,等价转换的策略。
为求完成某件事的方法种数,如果我们分
步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有
效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.
从6名男生,5名女生中任选4人参加竞赛,要求男女至少各1名,有多少种不同的选法?
A.240
B.310
C.720
D.1080
正确答案【B】
此题从正面考虑的话情况比较多,如果采用间接法,男女至少各一人的反面就是分别只选男
生或者女生,这样就可以变化成C(11,4)-C(6,4)-C(5,4)=310。
4.捆绑法
所谓捆绑法,指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个整体
参与排序,然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
注意:
其首要特点是相邻,其次捆绑法一般都
应用在不同物体的排序问题中。
5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?
B.320
C.450
D.480
采用捆绑法,把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有A(6,6)=6x5x4x3x2
种,然后3个女生内部再进行排列,有A(3,3)=6种,两次是分步完成的,应采用乘法,所以排法共
有:
A(6,6)×
A(3,3)=320(种)。
5.插空法
所谓插空法,指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相
邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
a.首要特点是不邻,其次是插空法一般应用在排序问题中。
b.将要求不相邻元素插入排好元素时,要注释是否能够插入两端位置。
c.对于捆绑法和插空法的区别,可简单记为“相邻问题捆绑法,不邻问题插空法”。
若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队,要求甲和乙两个人必须不站在一起,且甲和乙不能站在两
端,则有多少排队方法?
A.9
B.12
C.15
D.20
先排好丙、丁、戊三个人,然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中,因为甲、乙不
站两端,所以只有两个空可选,方法总数为A(3,3)×
A(2,2)=12种。
6.插板法
所谓插板法,指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数目少1
的板插入元素之间形成分组的解题策略。
其首要特点是元素相同,其次是每组至少含有一个元素,一般用于组合问题中。
例:
将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法?
A.24
B.28
C.32
D.48
解决这道问题只需要将8个球分成三组,然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此
问题只需要把8个球分成三组即可,于是可以将8个球排成一排,然后用两个板插到8个球所形成的空
里,即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中,第一个板和第二个板之
间的球放到第二个盒子中,第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球,因此
两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端,于是其放板的方法数是
C(8,2)=28种。
(注:
板也是无区别的)
7.选“一”法,类似除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排
列数除以这几个元素的全排列数。
这里的“选一”是说:
和所求“相似”的排列方法有很多,我们只
取其中的一种。
五人排队甲在乙前面的排法有几种?
A.60
B.120
C.150
D.180
正确答案【A】
五个人的安排方式有5!
=120种,其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形(这里没有提到
甲乙相邻不相邻,可以不去考虑),题目要求之前甲在乙前面一种情况,所以答案是A(5,5)÷
A(2,2)=60
种。
以上方法是解决排列组合问题经常用的,注意理解掌握。
最后,行测中数量关系的题目部分难度比
较大,答题耗时比较多,希望考试调整好答题的心态和答题顺序,在备考过程中掌握好技巧和方法,提
高答题的效率。
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