全等三角形证明培优题精整理版.docx
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全等三角形证明培优题精整理版
模块一:
基本辅助线
1.如图,已知AC=BD,AD丄ACBC丄BD.求证:
AD=BC.
(2)
2.如图,AB=AE,ZABC=ZAED,BOED点F是CD的中点,
求证JAF丄CD.
(1)
在你连接BE后,还能得出什么新的结论?
请写出三个(不要求证明)A
3.如性hZB=ZE,ZC=ZDBODE,M为CD中点,求证:
AM丄CD・
4•如图,平而上有一边长为2的正方形ABCD,0为对角线的交点・正方形OEFG的顶点与0重合,0E、0G分别与正方形ABCD的边交于M、N两点.
1如图<1)
2如图
(2)你的结论•
5•如图所示,在AABC中,AB二AG在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,
肝交阮于6求证:
EG=FGo
6•如图,在△ABC中,AB=AC>E在线段AC上,D在AB的延长线,连DE交BC『F,过点E作EG丄BC于G.
(1)若ZA=50",ZD=30°,求ZGEF的度数:
(2)若BD=CE,求证jFG=BF+CG.
模块二:
碌子型
1已知:
如图,点C为线段AB上一点,AACM,ACBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CNF点E
⑴求证:
AN二BM;
(2)求证:
aCEF为等边三角形
2•如图,已知,等腰RtAOAB中,zAOB=90。
,等腰RtAE0F4^zEOF=90%连结AE、BFo求证:
(1)AE=BF;
(2)AE丄BF。
3•如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE.AG丄CE:
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否成立?
若成立,请给出证明:
若不成立,请说明理由;
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时,延长CE交AG于乩交AD于M.
①求证:
AG丄CH:
②当AD=4,DG=75时,求CH的长.
△AEC都是等边三角形,AF丄CD于点F,AH±BE于点H,问:
(1)BE为什么?
(2)AF、AH有何数量关系?
为什么?
5•已知:
如图①所示,在ZiABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE.ZBAC=ZDAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD.M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
®BE=CD:
②△AMN是等腰三角形:
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,英他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立:
(3)在(2〉的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P・求证:
△PBDs^aMX.
6.(2009?
丰台区一模)如图1,在△ABC中,ZACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,
1当点D在线段BC卜.时(与点B不重合〉,如图2,线段CF.BD所在直线的位置关系为,
线段CF、BD的数量关系为:
2当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由:
3
(2)如果ABHAC,ZBAC是锐角,点D在线段BC上,当ZACB满足什么条件时,CF丄BC(点C、F不重合〉,并说明理由.
2•已知,如图ZkABC中,AOAB,AM是BC边上的中线,求证:
一(AC-AB) 3.如图所示,已知△ABC中,AD平分ZBAC,E,F分别在BD,AD上,DE二CD,EF=AC,求证: EF" AB. 4•如图, AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上,且DE丄DF求证: BE乂F>EF・ 4. 证: CE=-CD. 如图,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,连接CD・求 14.如图,已知在^ABC中.AD平分BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证: AC二BE. 17.在△ABC中,分别以△ABC的边AB,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形 ACFG,点M为BC中点, (1)求证: AMLEG; (2)求证: EG=2AM, 模块四、截长补短 1. 使其和较短线段长度相等。 使其和较长线段长度相等• 截长: 截取较长线段, 2.补短: 延长较短线段,适用范围: 条件或题目中出现“a+b=c”或"a-b=c«目的: 构造全等三角形 L如图,在△ABC中,ZB=2ZC,AD丄BC于D,求证: CD=BD+AB・ 2•如图,在正方形ABCD中,M、X分别是BC、CD上的点,ZMAN=45"・ 3、如图所示,已知△ABC中,AD平分ZBAC.E.F分别在BD.AD匕DE二CD,已知ABCD是正方形,E、F分别在CB、CD的延长线上,ZEAF=135°,求证: BE^DF=EF. 4, 5.如图,五边形ABCDE中,AB=AE.BC+DE=CD,ZABOZAED=18(r.连接AD. . (1)同学们学习了图形的变换后知逍旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出△ABC绕着点A按逆时针旋转“ZBAE的度数”后的像; (2)试判断AD是否平分ZCDE,并说明理由- 5•如图,在四边形ABCD中,ZB二ZD=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点,且 BE+FXEF.求证: ZEAF=-ZBAD. 7-已知J如图,在正方形ABCD中,M在CB延长线上,N在DC延长线上,ZMAN=45",AH (1)MX=DX-BM: (2)AH=AB. 7•已知: 如图,ABCD是正方形,ZFAD=ZFAE-求证: BE+DF二AE. &如图.△ABC是正三角形,ZADC=120°,求证: BD=AD+CD. 2. 3. 模块五角平分线的性质与判定 如图,BE=CF,DE丄AB的延长线于点E.DF±AC于点F,且DB=DC求证: AD是ZBAC的平分线・ 5. △ABC的而积是 如图,已知^ABC的周长是22,0B、0C分别平分ZABC和ZACB,OD丄BC于D,且0D=3, AD丄BC于D,且AB・BD=DC,那么ZC=(? ? ? ? )度. BDC 4•已知,如图,ABCD是正方形,ZFAD=ZFAE.求证: BE・DF=AE・ 5•如图△ABC是正三角形,△BDC是顶角ZBDC=120"的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MX.探究: (1)线段胡、MX、NCZ间的数量关系. (2)若点爪N分别是AB、CA延长线上的点,其它条件不变,再探线段別仁MX、XC之间的数量关系,在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明. 6•如图: 在△ABC中,ZC=90°,AD是ZBAC的平分线,DE丄AB于E,F在AC上,BD=DF: 说明: (1)CF=EB.? (2)AB=AF^2EB- 7•如图,已知: △ABC的ZB、ZC的外角平分线交于点D.求证: AD是ZBAC的平分线・ 模块六、角平分线的四大基本模型 1.角平分线+平分线,等腰三角形必呈现 2.・ 点垂线,垂两边,线等全等都出现 4. 5. 角平分线+垂线,中点全等必可见 角分线,分两边,对称全等要记全 如图,在△ABC中,BD、CD分别平分ZABC和ZACB.DE//AB,FD7AC,如果BC=6,求△DEF的周长 2.△ABC中. (1)如图1,若ZBAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。 (2)如图2.若ZBAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E作EF丄AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。 Z1=Z2,DA=DB・你能说明DC丄AC吗? 4•在^ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,BE平分ZABC,CE丄BE,求证: (1)BD•BE=AB•BC: ⑵心严 5•如图,已知△ABC中,AD平分ZBAC.ZC=20"•AB・BD二AC.则ZB的度数是 6•已知,等腰△AB: ZA=100",ZABC的平分线交AC于D,BD=BE, (1)求ZDEC; (2)求证: AD=EC. 7•如图,AD是△ABC的角平分线,H,G分别在AC,AB上,且HD=BD・ (2) 明・ 若ZB+2ZDGA=180^,请探究线段AG与线段AH、HDZ间满足的等量关系,并加以证 &⑴如图,在△ABC中,AD是ZBAC的外角平分线,P是ADt的任意一点,试比较PB+PC与ABMC的大小,并说明理由. AOPB-PC. 9•如图,△ABC中,ZBAC=90",AB=AC,AD丄BC,垂足是D,AE平分ZBAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA丄AE,FC丄BC. (1)求证jBE=CF: (2)在AB上取一点M,使B 10. (1)如图,在△ABC中,ZABC、ZACB的平分线相交于F,过F作DE〃BC,分别交AB.AC于点D、E.判断DE=DB-EC是否成立? 为什么? (2)如图,若点F是ZABC的平分线和外角ZACG的平分线的交点,其他条件不变,请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系? 证明你的猜想・ 如图,CD为RtAABC斜边上的高,ZBAC的平分线分别交CD、BC于点E、F.且FG丄AB, 模块七垂直平分线 1•如图,已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点,若AB=12cm,BC=10cm,ZA=50°,求△&€£ 的周长和ZEBC的度数。 2•电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设il要求,发射塔P到两城氛A.B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) 3如图,在四边形ABCD中,AD〃BC,E为CD的中点,连接AE、BE.BE丄AE,延长AE交BC的延长线于点F. 求证: (1)FC=AD; (2)AB=BC+AD. (3)若ZABC=50",求ZF・ 4.已知: 如图AB二CD,线段AC的垂宜平分线于线段BD的垂宜平分线柑交于点E,求iiE: ZABE=ZCDE・ 模块八大角夹半角 模型特征: 组成大角的两条线段相等,大角与半角具有公共顶点•方法: 旋转某个图形使大角的等线段重合在一起,利用全等三角形求解。 1•操作: 如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角ZBDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MX. 2.探尢: 线段创I、MX、NC之间的关系,并加以证明. 3.说明: (1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步): (2)在你经历说明 (1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明. 4.®AN=NC(如图②): ②DM〃AC(如图③〉• 5.附加题: 若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM.MX、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由・ ZDAB. (1) (2)
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