含有绝对值的不等式的解法Word文档下载推荐.docx
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2W2v6或一4v2x<
0.
解得:
1Wv3或—2vxW0.
1Wxv3}
故原不等式的解集为{xI—2vx<
0或
误区点评:
在进行原不等式等价转化时,容易发生以下失误.
在第一种解法中,将不等式转化为K2—1V5或—1W2—1V5,
在第二种解法中,将不等式转化为
52x15
2x11
2•含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法.
[例2]解不等式丨x+3|+|x—3|>
&
这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式,应进行分类讨论.
令x+3=0,x—3=0,得x=—3或3.
x
3
•••①
8,解得:
x>
4
②X
8
,解得:
.
③
xv—
取①②③的并集得原不等式的解为x>
4或xv—4.
点评:
解这类绝对值符号里是一次式的不等式如:
|x—a|+|x—b|>
c或|x—a|—|x—b|v
c,|x—a|>
|x—b|或|x—a|>
x—b常用"
零点分段法”.其一般步骤为:
(1)分别求出每个绝对值为零的根,称之为零点;
(2)将各零点在数轴上标出来,它们将数轴分成若干段;
(3)依次对各段上的x进行讨论,求出相应所得不等式的解集;
(4)取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集.
思路二:
利用函数的图象解题.
分别画出y1=|x+3|+|x—3|与y2=8的图象.
1
\
/
口
6
-4-3
34埼
图1—12
2xx3
63x3
yi=
由图象观察可知:
要使yi>
y2,只须xv—4或x>
4.
原不等式的解集为{x|xv—4或x>
4}.
思路三:
利用绝对值的几何意义解题.
|x+3|+|x—3|>
8
川S1
-4-303i戈
图1—13
表示数轴上与A(—3),B(3)两点距离之和大于8的点,而|AB|=6,如图1—12.
因此,要找与A、B距离之和为8的点,只须由点B右移1个单位,或点A左移一个单位,如图1—13.由图象可得:
原不等式的解集为{x|xV—4或x>
对于形如|x—a|+|x+b|>
c,|x—a|—|x—b|vc,或|x—a|>
|x—b|的不等式,
利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等式,更为直观,简捷.
3.解关于x的绝对值不等式|ax+b|>
c(az0).
[例3]解不等式|ax+b|>
c(az0)
当cv0时,解集为R.
当c>
0时,得ax+b>
c或ax+bv—c,即:
ax>
c—b或axv—c—b.
cbbc
(i)a>
0时,不等式的解集为{x|x>
a或xv—a}
bccb
(ii)av0时,不等式的解集为{x|x>
—a或xva}.
b
当c=0时,不等式的解集为{x|x€R且x—a}
在解含有字母的绝对值不等式时,要讨论字母的取值范围,考虑全面.
[例4]解不等式|x+1|>
2—x.
对2—x的取值分类讨论.
(1)当2—x>
0时,(x+1)2>
(2—x)2得2vxw2
(2)当2—xv0时,不等式恒成立.•••x>
2.
•不等式的解集为{x|x>
2}
对x+1的取值进行分类讨论.
原不等式等价于:
或(x1)2x
利用等价形式.
原不等式等价于X+1>
2—x或x+1vx—2,得x>
2或
•不等式解集为{x|x>
2}.
a€R,贝V
1.如何理解绝对值的几何意义?
实数的绝对值,设
Ia|=a
因而,|x—2|v3的解集是数轴上到
|x—2|的几何意义是x在数轴上的对应点之间的距离,
2的对应点的距离小于3的点所对应的数组成的集合.
即{x|—1Vxv5}如图1—14.
对于这类题,关键在于正确地揭示问题的背景,实施正确的转化,还应注意端点是否能取到.
2.|ax+b|vc和|ax+b|>
0)的解有何区别?
类型
化去绝对值后
集合上解的意义区别
|ax+b|vc
—cvax+bvc
{x|ax+b>
—c}A{x|ax+bvc},交集
|ax+b|>
c
ax+bv—c或ax+b>
{x|ax+bv—c}U{x|ax+b>
c},并集
3.利用数轴时应注意的几个问题:
•”表示;
或w”端点值
注意端点值能否取到.“>
或<
”,端点值取不到,对应在数轴上用“能取到,对应在数轴上,用“•”表示,反之亦然.
v3且丨x—2|>
1,最后两个不等式的解集应取交集.而丨3x—2|>
3等价于3x—2v—3或3x—2>
3,
最后应取其并集.
W.思维拓展
[例6]若不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集,求a的取值范围.
直接进行分类讨论.
①当aw0时,不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集.
2当a>
0先求不等式|x—4|+|3—x|va有解时a的取值范围.
令x—4=0,3—x=0,得x=4,x=3.
(i)当x>
4时,x—4+x—3va,即:
2x—7va.
a7
4W<
w2a>
1.
(ii)当3vxv4时,有4—x+x—3va,即卩a>
1.
(iii)当xw3时,有4—x+3—xva,即7—2xva.
7a
.2vaw3a>
1
综合(i)(ii)(iii)可知当a>
1时,原不等式有解.从而当0vawi时,原不等式的解集为
由①②两种情况可知不等式|x—4|+|3—x|va的解集是空集,a的取值范围是aw1点评:
对于a>
0的情况下,解答不等式|x—4|+|3—x|va解集为空集,求a的取值范围比较困难,常常转化为求不等式|x—4|+|3—x|va有解时a的取值范围”这样就转化为我们熟悉的问题,使难度大大降低,这是补集思想的一种体现.
利用图象来解,把|x—4|+|3—x|va的解集为问题转化为y1=|x—4|+|3—x|
的图象与y1=a的图象无交点问题.
图1—15
令
y1=|x—4|+|
3—x|
2x7
4
x4
则y1=
作出其函数的图象
由图象观察可知当aw1时
y2=a与yi=2x7x3的图象无交点.
即:
|x—4|+|3—x|va的解集为
这种把求解问题转化为图象的交点问题或转化成求丨x—3丨+|x+2丨的最小值问题,体现了
一种化复杂为简单,化一般为特殊的思想方法,这也是解决数学问题的一般方法.
利用绝对值的几何意义,转化为求数轴上两点间的最小距离.
令y=|x—4|+|3—x|=|x—4|+|x—3|.
'
——1>
34不
图1—16
则y表示数轴上x对应点与4,3对应点的距离之和.
•••y的最小值为|4—3|=1.
a>
y的解集为空集时,aw1.
V.探究学习
设A={x||2x—1|<
3},B={x||x+2|<
1},满足下列条件的集合C是否存在,若存在求出,不存在说明理由.
1C:
(AUB)CE];
2C中有三个元素;
3CQB工.
【同步强化练习】
一、选择题
1.当a<
0时,ax>
b的解集为
A.{x|x<
a}
B.{x|x>
C.R
D.
2.不等式|2—x
1<
1的解集是
A.{x|x>
3}
B.{x|x<
1或x>
C.{x|x<
1}
D.{x|1<
x<
3.若不等式|2x+b|wc的解集是{x|—4ww6},贝Ub、c的值分别为
5.不等式|x—2|+|x+3|>
7的解集是
6.不等式5w|2x—5|<
20的解集是.
|x|2
2
7.若x3有意义,则x的取值范围是.
三、解答题
&
已知集合A={x||x-1|vc,c>
0=,B={x||x-3|>
4}且AnB=,求c的取值范
围.
9.解关于x的不等式a|x-1|>
2+a.
【同步强化练习答案】
一、1.A提示:
因av0,所以ax>
b,除以a时要变号,所以{x|xva}.
2.D提示:
因|2—x|v1等价于|x-2|v1所以一1vx—2v1,即卩1vxv3.
3.A提示:
因为|2x+b|wc-c<
2x+b<
c,即:
cbcbcbcb
2<
xw2,所以2=6,2=-4,解之:
b=-2,c=10.
2x123x3
4.B提示:
原不等式等价于3x-2v2x-1v2-3x.即2x13x2解之:
xv5,
•••原不等式的解集为{x|xv5}.
二、5.{x|xv-4或x>
3}提示:
不等式|x—2|+|x+3|>
7的等价式为:
x23x2x3
x2x37,2xx37,2xx37
解之:
xv-4或x>
3,所以不等式的解集为:
{x|xv-4或x>
25_J5
提示:
原不等式等价于5W2-5v20或一20v2x-5W-5,
6.{x|5Wxv4或2vxw0}
25
5Wxv2或一
15
2vxW0所以原不等式的解集为{
些或
x|5Wxv2
2vxw0.
|x「2即x
x23x
所以x的取值范围:
{x|X》2或xW-■2且XM土3}
7.{x|x>
2或xw-2且x3}提示:
由题
-2或x■■2
三、&
解:
A=
={x|
x—1|
vc(c>
B={x||
x—
3|
>
4}
={x
|xv—1
•/anb=
L_
UJ
二1-c
1c
或x>
7}.
}={x|1—cvxV1+c,
Ovc<
9•解:
①当a>
0时,原不等式可化为|x—1|>
a+1
22
/•x—1>
a+1或x—1v—a—1
•••原不等式的解集为{x|x>
a+2或xv—a}
②当a=0时,原不等式化为0>
2,矛盾,
此时不等式的解集为
3当一2<
av0时,原不等式化为|
x—1|va+1(a+1>
0)
•••a+1v0,二原不等式的解集为
4当av—2时,原不等式可化为|
•—a—1vx—1va+1
•原不等式的解集为{x|—avxva+2}
综上可知:
当a>
2时,原不等式的解集为:
{x|x>
a+2或xv—a};
当av—2时,原不等式的解集为{
x|—avxva+2}
当一2WW0时,原不等式的解集为
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