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( )
(4)两数相乘,如果积为负数,则这两个因数异号。
( )
(5)两数相乘,如果积为0,则这两个数全为0 ( )
(6)两个数相乘,积比每一个因数都大。
( )
(7)如果ab>0,且a+b<0,则a<0,b<0 ( )
(8)如果ab<0,则a>0,b<0 ( )
(9)如果ab=0,则a,b中至少有一个为0 ( )
(10)如果
则
()
按有理数乘法法则判断
(1)F.同号两数相乘,符号为正。
(2)F.异号两数相乘,符号为负,与绝对值的大小无关。
(3)F.这两个因数也可以都为负数。
(4)T.
(5)F.两数相乘积为0,两数中可以有一个不为0
(6)F.不一定,例如异号两数相乘时,积就比正因数小。
(7)T.
(8)F.当ab<0时,也可以a<0,b>0
(9)T.
(10)T.
又
,
例3:
填空题:
(1)(-0.001)×
(-0.01)×
(-0.1)×
(-100)=_____;
(1)是4个不为0的数相乘,0.01×
100=1,要注意小数点的位置;
(2)是4个数相乘,其中有一个因数是0;
(3)因为
,三个分数的分子均为7,所以同时正用又逆用乘法分配律才是最佳的解题方法。
(-100)=0.0001
例4:
计算:
这是5个非0的数相乘,其中有3个负因数,应当先确定积的符号,然后把绝对值相乘。
绝对值相乘时,要注意运用乘法的交换律和结合律,此题把小数化为分数计算较简便。
=-8
几个不为0的数相乘时,确定积的符号是第一步,要使计算简便,关键在绝对值的计算.求积的绝对值时要注意运用乘法交换律和结合律;
当因数是小数时,一般要化为分数再相乘;
当因数是带分数时,要化为假分数再相乘;
在化简时,能约分的要约分.
例5:
本题可看成,前面是三个因数的积与
的差,按运算顺序,减
是最后一步运算,首先应当算的是小括号里面的,而
是一个复杂的计算,观察算式,发现
,这个问题迎刃而解。
1.“0”乘以任何数等于0,充分运用这一结论,能够简化数的计算,在含有乘法的计算中,寻找是否存在“0”的因数是经常用到的一种方法。
2.例5中先算
而使原式=0,是学生最容易犯的一种运算顺序上的错误,需引起重视。
例6:
这是含有带分数的乘,加混合运算,数字比较大,直接按运算顺序计算是很麻烦的。
如果把带分数的整数和分数部分拆开,运用乘法分配律,则计算必将简捷。
1.把带分数拆成整数和分数两部分参加计算,是做带分数计算时常用的一种方法。
2.拆带分数为整数和分数两部分时应注意:
3.对于有理数的运算,不能只满足运算的正确性。
计算前一定要认真分析题目,掌握题目的结构和特征,有意识地灵活运用运算律,寻求简便方法,提高计算的准确性和迅速性。
例7:
在遇有几个积的代数和,而每一个积里恰好有相同的因数,或可以化出相同因数时,可反过来应用分配律使计算简化。
二.有理数的除法运算
例8:
填空:
(1)-2.4的相反数是____,倒数是____;
(2)相反数是它本身的数是____,倒数是它本身的数是____;
(4)若a,b互为负倒数,则ab的相反数是____.
(1)求一个小数的倒数的方法是:
将小数化成分数,将带分数化成假分数,然后将分子,分母颠倒位置,符号不变;
(2)倒数是它本身的数,说明这个数的分子,分母相同,显然是+1和-1;
(4)若a,b互为负倒数,则ab=-1.
(4)∵a,b互为负倒数,∴ab=-1
∴ab的相反数是1
1.相反数与倒数是两个不同的概念,要注意区分,不要混淆;
2.一个数的负倒数,就是这个数的倒数的相反数。
若a,b互为倒数,则ab=1;
若a,b互为负倒数,则ab=-1;
例9:
计算下列各题:
(1)19÷
(-3)
(2)-2.7÷
(-15)
按有理数除法法则进行计算。
(2)-2.7÷
(-15)=0.18
1.有理数的除法法则有两个:
(1)除以一个数等于乘上这个数的倒数;
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都得0
对于有理数除法,以上两种法则都应掌握,在具体运用时适当选择.一般能整除时,常是将商的符号确定后,直接除;
在不能整除时,将除数转换成倒数,再用乘法求出结果。
2.当a≠0时,a÷
a=1,a÷
(-a)=-1
例10:
下列各等式中,不成立的是[]
因为分数线也代表除号,所以应当用除法的符号法则来判断等号是否成立.
A.∵异号两数相除,商为负.∴A成立
2.对于一个分数,可以有三个符号:
分子的符号,分母的符号和商的符号.这三个符号中,当负号个数为1个或3个时,分数的值为负;
当负号个数为2个时,分数的值为正.
3.此例题中,选项A,B,D给出的化简分数符号的方法,今后经常要用到,应熟练掌握.
例11:
这是有理数(含分数)的乘,除混合运算,一般把“除”转化为“乘”来做,先确定积的符号,算式中有3个负数,确定积为负,然后进行绝对值计算.在求绝对值的积时,要注意应用乘法的交换律和结合律使计算简便。
1.在进行分数乘、除混合运算时,一般先把“除”转化为“乘”,然后做乘法运算,这样也便于应用乘法运算律。
2.若干个不等于0的数相乘时,应当先确定积的符号。
例12:
(2)(-170000)÷
(-16)÷
(-25)÷
(-25)
(1)把小数化为分数,除法转化为乘法,带分数化为假分数后,
(2)按从左到右的顺序做除法.
(2)方法一
(-170000)÷
=10625÷
=-425÷
=17
方法二
=(-170000)÷
(-4×
4×
25×
25)
(-10000)
1.有理数的乘除运算是同一级运算,因此应按照从左到右的顺序进行运算。
学生容易出现的错误是:
(1)题,原式
,错在先乘后除;
(2)题,原式=(-170000)÷
1=10625,错在先做右边的除法;
都是运算顺序的错误.
2.a÷
(bc)=a÷
b÷
c,这是除法的一个性质,有时运用这个性质能化简计算.要注意a÷
bc(即a÷
(bc))与a÷
b×
c二者是不相同的。
例13:
(1)题将除转化为乘的同时,化简中括号内的符号,然后用乘法分配律进行运算较简便;
(2)除式是一个代数和,需先求出这个和,然后再做除法。
=-45-35+42
=-38
1.比较
(1),
(2)这两个题,找出它们的区别:
题
(1)可以先求中括号内的和再做除法,也可以把除法转化为乘法后用乘法分配律计算;
题
(2)只能先求出除式括号中的和之后才能做除法。
2.第
(1)题也可以用除法的性质(a+b+c)÷
m=a÷
m+b÷
m+c÷
m计算。
例14:
进行有理数的加,减,乘,除混合运算时,运算顺序是先乘除,后加减,遇到括号时,应当先算括号里面的。
第
(1)题,先做除,再做减。
第
(2)题,先做中括号里的运算,然后做大括号里的乘、除等运算,最后做大括号外的除法。
在进行有理数计算时,首先应当分析算式,确定运算顺序,然后再正确、合理地进行计算。
三.有理数的乘方
1.对于乘方,同学们在学习时首先应明确幂、底数、指数这几个概念的意义,还应明确乘方是一种运算,是几个相同因数的积的运算,而幂是乘方运算的结果。
2.要明确括号在确定幂的底数时所起的作用。
例15:
填空(计算下列各题):
(1)-312=_______,(-31)2=_______;
(2)(+0.3)4=_______,(-0.3)4=_______;
(4)设n是正整数,则1n=______,0n=______;
(5)设n是正整数,则(-1)2n=______,(-1)2n+1=______;
(6)()2=64,()3=64
按有理数乘方的意义和乘方运算的符号法则进行计算。
当n是正整数时,2n表示偶数,2n+1表示奇数.第(6)题中,找平方(或立方)等于64的数时,先找绝对值,再考虑符号。
(1)-312=-961,(-31)2=961;
(2)(+0.3)4=0.0081,(-0.3)4=0.0081;
(4)当n为正整数时,1n=1,0n=0;
(5)当n为正整数时,(-1)2n=1,(-1)2n+1=-1;
(6)∵82=64,(-8)2=64
∴(±
8)2=64,43=64
1.有理数的乘方运算与有理数乘法有着密切的内在联系.在理解这种联系之后,重要的是掌握好判断有理数乘方的结果──幂的符号,在计算中要注意掌握如下一些关系:
2.平方得正数的数有两个,它们是互为相反数,没有平方得负数的有理数,这一点与一个数的绝对值有类似之处.立方等于某一个数的数只有一个。
例16:
(2)(-2.5×
4)3
*(3)(-0.125)7×
88
在有乘方及乘除的算式中,一定要注意运算顺序,应先做乘方,再做乘
=(-10)3
=-1000
应用乘法的交换律和结合律:
设n为正整数.
这个性质后面才学到,目前不要求学生掌握.
例17:
这是有理数乘、除、乘方的混合运算,注意到算式中含有数“0”,要充分运用“0”的运算法则简化计算。
“0”具有独特的运算法则,在计算中要充分发挥它的作用.
a+0=0+a=a
a-0=a,0-a=-a
0=0×
a=0
0÷
a=0(a≠0)
0n=0(n为自然数)
例18:
设a、b、c、d都是非零有理数,那么,在-ab,cd,ac,bd这四个数中,正数有[]
A.4个;
B.2个
C.1个或3个D.无法确定
要知道这四个数中正数的个数,只要知道这四个数中负数的个数就可以了.因为这四个数都是用字母(代数式)表示的,所以只能通过它们的乘积的符号来判断负因数的个数。
∵(-ab)·
cd·
ac·
bd=-a2b2c2d2
又a,b,c,d都是非零有理数,有
a2>0,b2>0,c2>0,d2>0,
∴-a2b2c2d2<0
这四个数中负因数的个数为奇数,有1个或3个.
∴这四个数中正因数有3个或1个,选C.
对于任意有理数a,a2是一个非负数.即a2≥0恒成立,并且仅当a=0时,a2=0,这是平方数的一个重要性质,在判断、证明、计算中都经常用到。
例19:
此题的运算顺序是:
1.解题时,应注意运算顺序,先进行第三级(乘方)运算,再进行第二级(乘和除)运算,最后进行第一级(加和减)运算;
在同一级运算中应从左到右依次运算。
2.分数、小数的乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数,计算较为简便.当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积的符号,若负数的个数是偶数时,积为正;
负数的个数为奇数时,积为负。
四.有理数的混合运算
进行有理数的混合运算,必须遵守“加法运算会计算,减法运算会转换,乘除主要把符号判,运算顺序严把关。
”这一原则。
实际做混合运算时,除开遵守以上原则,还需注意灵活使用算律,不断总结计算经验,只有这样才能更快捷,更准确。
例20:
这是有理数的加、减混合运算,若按括号顺序做加减,则通分非常麻烦。
应当把算式中的减法化成加法后,应用加法交换律重新结合,把分母为17的分数和分母为3、6的分数先分别相加,可简化计算。
在加减运算时,若把分母之间有倍数关系或相等的分数利用加法交换律,结合律先合并起来,运算就比较简便。
例21:
注意:
在计算本例题时,尤其要严格按照运算顺序进行,另外遇有小数和分数在一起运算时,最好将小数化为分数.
五.有理数运算方法种种
有理数运算是代数第一章的重点,又是难点.怎样突破这一难点,除了要正确理解概念、掌握运算法则和运算顺序外,还必须熟练有理数运算的一些方法。
现举数例说明如下:
1.正确运用运算律
例22:
计算21-49.5+10.2-2-3.5+19.
原式=21+19+10.2-49.5-3.5-2
=〔(21+19)+10.2〕+〔(-49.5-3.5)-2〕
=50.2-55=-4.8
说明运用加法的交换律、结合律,把正数和负数分别结合在一起再相加,比较简便。
正确应用乘法的分配律。
2.把小数化成分数
3.逆向应用运算性质
例24:
例4:
计算(-0.125)1991×
81992.
原式=〔(-0.125)1991×
81991〕×
8
=〔(-0.125)×
8〕1991×
8=-8.
说明(a×
b)n=an×
bn不仅可以从左端到右端也可以从右端到左端.
例25:
对于有括号的,通常先算括号内的再去括号,但有时可先去括号再算较为简便,此题应把分母有倍数关系的结合起来。
5.注意零的特殊作用
例27:
计算
注意零的作用能提高运算速度.
6.因式分解法
说明:
因式分解能使计算简捷.此题是公式=a2-b2=(a+b)(a-b)的应用.
7.拆项合并法
例29
例31:
(1995年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)
∴S的末四位数字的和为1+9+9+5=24
8.字母巧代数
例33:
计算1996×
-1994×
(1996年广西河池地区初中数学竞赛试题)
设1996=a,则1994=a-2,1993=a-3
原式=a[(a-2)×
10000+(a-3)]-(a-2)(a×
10000+a)
=a(a-2)×
10000+a(a-3)-a(a-2)×
10000-a(a-2)
=a2-3a-a2+2a=-a=-1996
实战模拟:
1.计算:
-17+17÷
(-1)17-52×
(-0.2)3
2.计算:
3.计算:
31999-5×
|-3|1998+6×
31997+1999×
(-1)1999
4.计算:
5.计算:
6.计算:
7.计算:
【试题答案】
1.分析:
此算式以加、减分段,应分为三段:
-17,17÷
(-1)17,52×
(-0.2)3.这三段可以同时进行计算,先算乘方,在算乘除。
式中的
化为
参加计算较为简便。
2.分析:
此题运算顺序是:
第一步,计算
和
;
第二步做乘法;
第三步做乘方计算;
第四步做除法。
3.分析:
要求31999、31998、31997的值,用笔算在短时间内是不可能的,必须另辟途径.
观察题目发现,31999=32·
31997,|-3|1998=3×
31997,逆用乘法分配律,前三项可以凑成含有0的乘法运算,此题即可求出.
原式=32×
31997-5×
3×
31997+6×
(-1)
=31997(9-15+6)-1999
=31997×
0-1999
=-1999
4.分析:
是
的倒数,应当先把它化为分数后再求倒数;
右边两项含绝对值号,应当先计算出绝对值内的算式的结果再求绝对值。
原式=
5.分析:
含有括号的混合运算,一般按小、中、大括号的顺序进行运算,括号里面仍然是先进行第三级运算,再进行第二级运算,最后进行第一级运算.
6.分析:
应先判断运算顺序:
中括号里的乘法应当先计算,大括号内的3次方和2次方可同时进行,最后计算大括号外的5次方。
由于中括号内各分数的最小公倍数是24,与
的绝对值相等,所以运用分配律能使计算简便。
7.
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