中考数学压轴题及解析分类汇编Word下载.docx
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②当
图2图3
例2
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数
在第一象限内的图像与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
(2)当tan∠A=
时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在
(2)的条件下,如果△AEO与△EFP相似,求点P的坐标.
1.探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口.
2.第
(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD//x轴.
3.如果△AEO与△EFP相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况.
(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数
的图像上,所以
整理,得n=2m.
(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=
,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).
已知△BDE的面积为2,所以
.解得m=1.因此D(4,1),E(2,2),B(4,3).
因为点D(4,1)在反比例函数
的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解析式为
设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得
因此直线AB的函数解析式为
图2图3图4
(3)如图3,因为直线
与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD//x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP相似存在两种情况:
①如图3,当
.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1).
②如图4,当
.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题
(二)
例3如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;
图1图2
1.第
(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.
2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.
3.第(3)题的示意图,不变的关系是:
直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.
(1)抛物线的对称轴为直线
,解析式为
,顶点为M(1,
).
(2)梯形O1A1B1C1的面积
,由此得到
.由于
,所以
.整理,得
.因此得到
当S=36时,
此时点A1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.
因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.
由于
图3图4
例4
如图1,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线
上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
图1
1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第
(1)题用在待定系数法中;
第
(2)题用来计算平移的距离;
第(3)题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长.
2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.
3.探求△ABC与△B′CD相似,根据菱形的性质,∠BAC=∠CB′D,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.
(1)因为点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线
上,所以
(2)如图2,由点A(-2,4)和点B(1,0),可得AB=5.因为四边形AA′B′B为菱形,所以AA′=B′B=AB=5.因为
,所以原抛物线的对称轴x=-1向右平移5个单位后,对应的直线为x=4.
因此平移后的抛物线的解析式为
图2
(3)由点A(-2,4)和点B′(6,0),可得AB′=
如图2,由AM//CN,可得
,即
.根据菱形的性质,在△ABC与△B′CD中,∠BAC=∠CB′D.
,解得
.此时OD=3,点D的坐标为(3,0).
.此时OD=
,点D的坐标为(
,0).
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)
例5
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.
2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.
3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.
4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为
,代入点C的坐标(0,-2),解得
.所以抛物线的解析式为
(2)设点P的坐标为
①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,
如果
,那么
不合题意.
此时点P的坐标为(2,1).
②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,
解方程
,得
.此时点P的坐标为
③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,
.此时点P与点O重合,不合题意.
综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或
或
(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为
设点D的横坐标为m
,那么点D的坐标为
,点E的坐标为
因此
当
时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
图5图6
例6
如图1,△ABC中,AB=5,AC=3,cosA=
.D为射线BA上的点(点D不与点B重合),作DE//BC交射线CA于点E..
(1)若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时,求DE的长度;
(3)当点D在AB边上时,BC边上是否存在点F,使△ABC与△DEF相似?
若存在,请求出线段BF的长;
图1备用图备用图
1.先解读背景图,△ABC是等腰三角形,那么第(3)题中符合条件的△DEF也是等腰三角形.
2.用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第
(2)题的先决条件,注意点E的位置不同,DE、MN表示的形式分两种情况.
3.求两圆相切的问题时,先罗列三要素,再列方程,最后检验方程的解的位置是否符合题意.
4.第(3)题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论,运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题.
(1)如图2,作BH⊥AC,垂足为点H.在Rt△ABH中,AB=5,cosA=
,所以AH=
=
AC.所以BH垂直平分AC,△ABC为等腰三角形,AB=CB=5.
因为DE//BC,所以
.于是得到
,(
(2)如图3,图4,因为DE//BC,所以
.因此
,圆心距
在⊙M中,
,在⊙N中,
①当两圆外切时,
或者
如图5,符合题意的解为
,此时
②当两圆内切时,
当x<6时,解得
,如图6,此时E在CA的延长线上,
;
当x>6时,解得
,如图7,此时E在CA的延长线上,
图5图6图7
(3)因为△ABC是等腰三角形,因此当△ABC与△DEF相似时,△DEF也是等腰三角形.
如图8,当D、E、F为△ABC的三边的中点时,DE为等腰三角形DEF的腰,符合题意,此时BF=2.5.根据对称性,当F在BC边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF=4.1.
如图9,当DE为等腰三角形DEF的底边时,四边形DECF是平行四边形,此时
图8图9图10图11
例7
如图1,在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b).平移二次函数
的图象,得到的抛物线F满足两个条件:
①顶点为Q;
②与x轴相交于B、C两点(∣OB∣<
∣OC∣),连结A,B.
(1)是否存在这样的抛物线F,使得
?
请你作出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=
,求抛物线F对应的二次函数的解析式.
1.数形结合思想,把
转化为
.
2.如果AQ∥BC,那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形,数形结合得到t=b.
3.分类讨论tan∠ABO=
,按照A、B、C的位置关系分为四种情况.A在y轴正半轴时,分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况;
A在y轴负半轴时,分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况.
(1)因为平移
的图象得到的抛物线
的顶点为
(t,b),所以抛物线
对应的解析式为
因为抛物线与x轴有两个交点,因此
令
所以
)(
)|
.即
.所以当
时,存在抛物线
使得
(2)因为AQ//BC,所以t=b,于是抛物线F为
时,由
如图2,当
.此时二次函数的解析式为
如图3,当
+
②如图4,如图5,当
,将
代
可得
-
图4图5
2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题
(一)
例1
如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).
1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.
2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.
3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?
Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.
(1)因为PC//DB,所以
.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以AD=4-m.于是得到点D的坐标为(2,4-m).
(2)在△APD中,
①当AP=AD时,
(如图3).
②当PA=PD时,
(如图4)或
(不合题意,舍去).
③当DA=DP时,
(如图5)或
综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为
图3图4图5
(3)点H所经过的路径长为
如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数
的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;
同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求t的值;
图1
1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.
2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.
3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.
(1)解方程组
得
所以点A的坐标是(3,4).
.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由
.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,∠B=45°
,∠AOB>45°
,OB=7,
,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°
保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中,
为定值,
如图5,当AP=AQ时,解方程
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程
如7,当PA=PQ时,那么
.解方程
综上所述,t=1或
或5或
时,△APQ是等腰三角形.
考点伸展
当P在CA上,QP=QA时,也可以用
来求解.
2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题
(二)
例3
如图1,在直角坐标平面内有点A(6,0),B(0,8),C(-4,0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P.
(1)求证:
MN∶NP为定值;
(2)若△BNP与△MNA相似,求CM的长;
(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的长.
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”,拖动点M在CA上运动,可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变.双击按钮“△BNP∽△MNA”,可以体验到,此刻两个三角形都是直角三角形.分别双击按钮“BP=BN,N在AB上”、“NB=NP”和“BP=BN,N在AB的延长线上”,可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况.
1.第
(1)题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计算提供了方便.
2.第
(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角,通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似.
3.第(3)题探求等腰三角形,要两级(两层)分类,先按照点N的位置分类,再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上时,钝角等腰三角形只有一种情况.
4.探求等腰三角形BNP,N在AB上时,∠B是确定的,把夹∠B的两边的长先表示出来,再分类计算.
(1)如图2,图3,作NQ⊥x轴,垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.
在Rt△ANQ中,AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.
在图2中,QO=6-3t,MQ=10-5t,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.
在图3中,QO=3t-6,MQ=5t-10,所以MN∶NP=MQ∶QO=5∶3.
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角,因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形,要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.
如图4,△BNP∽△MNA,在Rt△AMN中,
.此时CM
(3)如图5,图6,图7中,
①当N在AB上时,在△BNP中,∠B是确定的,
(Ⅰ)如图5,当BP=BN时,解方程
(Ⅱ)如图6,当NB=NP时,
(Ⅲ)当PB=PN时,
,得t的值为负数,因此不存在PB=PN的情况.
②如图7,当点N在线段AB的延长线上时,∠B是钝角,只存在BP=BN的可能,此时
如图6,当NB=NP时,△NMA是等腰三角形,
,这样计算简便一些.
如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若
,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图像,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图像,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.
拖动点A可以改变m的值,再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.
1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第
(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;
一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;
第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°
,所以△DCE∽△EBF.因此
.整理,得y关于x的函数关系为
(2)如图2,当m=8时,
.因此当x=4时,y取得最大值为2.
(3)若
.解得x=2或x=6.要使△DEF为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y=2代入
,得m=6(如图3);
将x=y=6代入
,得m=2(如图4).
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:
由第
(1)题得到
那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第
(2)题m=8是第
(1)题一般性结论的一个特殊性.
再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程
总有一个根
的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性.
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三
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