全等三角形中的热点问题.docx
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全等三角形中的热点问题
全等三角形中的热点问题
一:
条件开放与探索
给出问题的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是惟一的,这样的问题是条件开放性问题。
它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追求,多途寻求,这类题常以基础知识为背景加以设计而成,主要考查解题者对基础知识的掌握程度和归纳能力。
例1、(2005年玉溪).如图8,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)。
解:
∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE
例2、(2005年长沙).如图,AB=AC,要使,
应添加的条件是____________(添加一个条件即可)
解:
AD=AE或∠B=∠C或∠ADC=∠AEB
例3、(2005年金华)
如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE。
(1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明。
你添加的条件是:
___________
(2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形:
______________(只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出证明过程)
提示:
(1)∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD,证明略;
(2)△ADC≌△AEC
例4(2005年福州课改卷)
已知:
如图7,点C、D在线段AB上,PC=PD。
请你添加一个条件,使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为_______,你得到的一对全等三角形是△___≌△___。
提示:
所添条件为:
∠A=∠B(或PA=PB或AC=BD或AD=BC或∠APC=∠BPD或∠APD=∠BPC等)
全等三角形为:
△PAC≌△PBD(或△APD≌△BPC)
证明:
(略)
二:
结论开放与探索
给定问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断,甚至要求解题者探索条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性的问题,它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力
例5(2005年安徽).如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?
并任选其中一对给予证明.
解:
图中有3对全等三角形,分别:
△ABF≌△DEC。
△ABC≌△DEF,△BCF≌△EFC。
证明:
∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
又∵AB=DE,AF=DC,
∴△ABF≌△DEC。
例6(2005年宁波).如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.
E
A
G
D
F
H
C
B
提示:
△AGC≌△AFB。
△AGF≌△DFD。
△HBF≌△HDC。
△AFC≌△ADB。
证明略
例7.(2005年常州)
如图,已知为等边三角形,、、
分别在边、、上,且也是等边三角形.
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,
并证明你的猜想是正确的;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化过程.
提示:
(1)AE=BF=CD;AF=BD=CE;证明:
(略)
(2)绕E、D、F进行旋转,然后对折。
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
解:
(1)BE=CF.
证明:
在△ABE和△ACF中,∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF
例9.如图,A、B、C、D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:
△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图,B点与C点重合时,如图,B点在C点右侧时,其余条件不变,结论是否仍成立,如果成立,请予证明;如果不成立,请说明理由.
证明:
∵DE∥AF,∴∠A=∠D,
∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=DB,
在△AFC和△DEB中,
∵AC=DB,∠A=∠D,AF=DE,
∴△AFC≌△DEB.
例11.如图
(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,求证:
AC⊥CE.若将CD沿CB方向平移得到图
(2)(3)(4)(5)的情形,其余条件不变,结论AC1⊥C2E还成立吗?
请说明理由.
提示:
可证△ABC≌△CDE,得∠ACB=∠E,
∵∠ACB+∠ECD=∠E+∠ECD=90°,
∴∠ACE=180°-90°=90°,∴AC⊥CE.
图
(2)(3)(4)(5)四种情况,结论AC1⊥C2E仍然成立,证明同上.
例12.已知如图
(1),△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:
(1)BD=DE+CE;
(2)若直线AE绕A点旋转到
(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
请予证明.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时,(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
请直接写出结果,不须证明.(4)归纳
(1)、
(2)、(3),请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系.
证明:
(1)∵BD⊥AE,CE⊥AE(已知),∴∠BDA=∠AEC=90°(垂直定义)
∵∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD(同角的余角相等)
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE(全等三角形的对应边相等)
∵AE=AD+DE,∴AE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
(2)BD=DE-CE,证明方法与
(1)相同.
(3)BD=DE-CE.
(4)归纳
(1)
(2)(3)可知结论表述为:
当B、C在AE异侧时,BD=DE+CE;当B、C在AE同侧时,BD=DE-CE;
说明:
本题考查动态几何中的量的关系,其关键是猜想规律,再运用几何知识予以证明.
22.(本题6分)如图,在10×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为单位1.将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',再把△A'B'C'绕点A'逆时针旋转90°,得到△A'B"C".请你画出△A'B'C'和△A'B"C"(不要求写画法).
22.如图所示,正确画出AA'B'c'
正确画出△'B"C"
(说明:
若画出的AA'B'C',的位置不正确,但在△'B'C'的基础上画出正确的△A’B"C"得3分)
三:
策略开放与探索
策略开放性问题,一般指解题者发不惟一或解题路径不明确的问题,这类问题要求解题者不因循守旧,不墨守成规,善于标新立异,追求一题多解,同时给解题者以广阔的思维空间,通过积极思考,创新求索、探索解题策略和思路,活用解题思路和方法,优化解题方案和过程。
例13(2005年十堰课改卷)如图,已知△ABC,请你增加一个条件,写出一个结论,并证明你写出的结论。
增加的条件为:
已知:
求证:
证明:
增加条件为BD=CE。
结论为∠B=∠C。
证明:
在Rt△BEC和Rt△CDB中
∵BD=CEBC=BC;
∴Rt△BEC≌Rt△CDB。
∴∠B=∠C
例14.(2005年扬州)如图,在△ABC和△DEF中,D、E、C、F在同一直线上,下面有四个条件,请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论,写一个真命题,并加以证明。
①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF。
已知:
求证:
证明:
提示:
答案不唯一,如已知:
①②④;求证:
③或已知:
①③④;求证:
②。
24(2005年漳州).如图,给出五个等量关系:
①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。
请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,写出一个正确命题(只需写出一种情况),并加以证明。
27.(本题9分)
如图,四边形ABCD中,点E在边CD上,连结AE、BE.给出下列五个关系式:
①AD∥BC;②DE=CE;③∠1=∠2;④∠3=∠4;⑤AD+BC=AB.将其中的三个关系式作为题设,另外两个作为结论,构成一个命题.
(1)用序号写出一个真命题(书写形式如:
如果×××,那么××),并给出证明:
(2)用序号再写出三个真命题(不要求证明);
(3)加分题:
真命题不止以上四个,想一想,就能够多写出几个真命题,每多写出一个真命题就给你加1分,最多加2分.
27.解:
(1)如果①②③,那么④⑤
证明:
如图,延长AE交BC的延长线于F
∵AD∥BC∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF,DE=EC∴△ADE≌△FCE
∴AD=CF,AE=EF
∵∠l=∠F,∠1=∠2.∠2=∠F
∴AB=BF∴∠3=∠4
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB
(说明:
其它真命题的证明可参照上述过程相应给分)
(2)如果①②④,那么③⑤
如果①③④,那么②⑤
如果①③⑤,那么②④
(3)若
(1)
(2)中四个命题含假命题(“如果②③④,那么①⑤’’),则不加分;若(3)中含假命题,也不加分.
21-(本题满分8分)如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
21.证明:
条件①AE=ADAB=AC②AB=AC∠B=∠C③AE=AD∠B=∠C
例15如图,已知AD=BC,AB=DC,DE=BF,试探究:
BE与DF是否相等?
.
剖析:
欲证BE=DF,需证△ABE≌△CDF,要证这两个三角形全等.已经具备了两组条件,AB=CD.AD+DE=CB+BF即AE=CF.只要再证∠A=∠C即可.那么再观察∠A、∠C还是哪两个全等三角形的对应角.
由条件AD=CB,AB=CD,很明显看出,若连结BD,那么△ABD与△CDB全等的条件已经具备,结论即可得证.
解:
相等。
理由:
连结BD在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).
∵AD=CB、DE=BF(已知),∴AD+DE=CB+BF,即AE=CF.
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴BE=DF(全等三角形的对应边相等).
说明:
(1)在解决有关问题时,经常遇到已知条件与结论无法沟通的状况,这时,便需添加辅助线,创造条件,为推出结论服务.
(2)利用全等三角形证明线段相等或角相等,常需添辅助线构造三角形,构造时有下面两种情况:
①待证的线段或角,在图形上不在两个可能全等的三角形中,需添辅助线构造三角形,使它们分别包括一个所要证的线段或角;②有些条件具备的全等三角形,图形中没能直接显示出来,需添辅助线才能发现,如本题中的△ABD和△CDB
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