小学的奥数面积计算Word文档下载推荐.docx

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　例2右图中，ＢＤ,DＥ，EC的长分别是2,４,2.F是线段AＥ的中点，三角形AＢC的高为4．求三角形DFＥ的面积.

　　解：

BC=２+４＋2=8。

　三角形ABＣ面积=8×

4÷

2=１６。

　我们把A和D连成线段，组成三角形ＡDE,它与三角形ABＣ的高相同，而DE长是4,也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，ＥF是AE的一半，三角形DＦE面积是三角形ADＥ面积的一半.

　三角形　DFE面积=１6÷

4=４.

　　例3右图中长方形的长是２0，宽是１2,求它的内部阴影部分面积。

　解：

ＡBＥF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BＥ一样长。

而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是

　FE×

BE÷

2，

它恰好是长方形ABEF面积的一半.

　同样道理，ＦＥCD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半．

　因此所有阴影的面积是长方形AＢCD面积的一半，也就是

　20×

１2÷

２=12０。

　通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解。

当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形AＢCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABＣD面积的的一半.

　例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角，那么四边形ＡBＣD（阴影部分）的面积是多少？

把Ａ和C连成线段,四边形AＢＣD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.

　　对三角形AＢＣ来说，AB是底边,高是１０,因此

　　面积＝4×

10÷

2=　20。

　对三角形AＤＣ来说，DC是底边，高是　8，因此

　　面积=７×

8÷

2=28.

　四边形ABCD面积=2０＋28=４8．

　这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.

　　例５在边长为6的正方形内有一个三角形ＢＥＦ,线段AE=３,DF=２，求三角形BEF的面积.

　　解:

要直接求出三角形ＢＥF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积

三角形ABE面积=3×

6×

2=9.

　　三角形　ＢCF面积＝6×

（6－2）÷

2＝12．

　三角形DEF面积=2×

（6-３）÷

２=　3.

　我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

　三角形ＢEF面积=6×

6－9-1２-3＝12．

　　例6在右图中，ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ＡBＭD（阴影部分）的面积。

　解:

四边形ABＭD中,已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形ＤCE与三角形MＢE的面积,然后用长方形ＡＢCＤ的面积减去它们，由此就可以求得四边形ＡBＭD的面积。

把M与Ｃ用线段连起来，将三角形DCＥ分成两个三角形.三角形　DＣE的面积是7×

２÷

２＝7。

　　因为Ｍ是线段DＥ的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形ＭCE面积是7÷

2＝３.５。

　　因为BE=8是　ＣE＝　２的4倍，三角形MBＥ与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是

　３.５×

4＝14。

　　长方形AＢCD面积＝７×

（８+２）=７0。

　四边形　ABＭD面积=70－７-1４=４9。

二、有关正方形的问题

　先从等腰直角三角形讲起。

　一个直角三角形，它的两条直角边一样长,这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度）,还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中。

有一个就是等腰直角三角形。

　两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形,如图（ａ）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（ｂ）。

　　一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（ａ）知，它的面积是

　直角边长的平方÷

　当知道它的斜边长,从图（b）知，它的面积是

　斜边的平方÷

４

例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是８。

后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积。

从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形．因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×

2=３2.

　这一个图形的面积是

３２＋16+8＋4+　2+1＝63．

　例８　如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是２,Ａ点是大长方形一边的中点,并且三角形AＢC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？

为了说明的方便，在图上标上英文字母D，E,F,Ｇ.

三角形ABC的面积=2×

2÷

2=2。

　　三角形ＡBC，AＤE,ＥFG都是等腰直角三角形。

三角形AＢC的斜边,与三角形AＤＥ的直角边一样长，因此三角形ＡDＥ面积＝AＢC面积×

2=4.

　三角形EFG的斜边与三角形AＢC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷

2＝1．

　阴影部分的总面积是4+1=5。

　例９如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度ＡD＝7，BC=3，三个角的度数：

角B和D是直角,角A是45°

.求这个四边形的面积。

这个图形可以看作是一个等腰直角三角形AＤＥ，切掉一个等腰直角三角形BCE．

　因为

　A是45°

角D是90°

，角E是

　１80°

—45°

-90°

=4５°

，

　　所以ADＥ是等腰直角三角形，BＣE也是等腰直角三角形．

四边形AＢＣD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即

　7×

7÷

2—3×

3÷

2=20.

这是１９９4小学数学奥林匹克决赛试题。

原来试题图上并没有画出虚线三角形。

参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形。

因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线ＡC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了。

这样做，角A是45°

这一条件还用得上吗?

图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论．我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有４5°

和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.

　现在我们转向正方形的问题。

　例1０在右图11×

15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对）,每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少?

长方形的宽，是“一”与“二"

两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一"

、“三"

与“二”三个正方形的边长之和。

　　长—宽=15—11＝4

　是“三"

正方形的边长.

宽又是两个“三"

正方形与中间小正方形的边长之和，因此

　中间小正方形边长＝11－4×

2=3。

中间小正方形面积＝3×

3＝９.

如果把这一图形，画在方格纸上,就一目了然了。

　例１1从一块正方形土地中，划出一块宽为１米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米。

求划出的长方形土地的面积.

剩下的长方形土地，我们已知道

　长－宽＝1（米）。

　还知道它的面积是15。

75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？

　如果能求出,那么与上面“差"

的算式就形成和差问题了。

　我们把长和宽拼在一起，如右图.

　从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

　可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.

　　现在，我们就可以算出大正方形面积:

　15．7５×

４+１×

1=　６4（平方米）.

　64是8×

８，大正方形边长是8米，也就是说长方形的

　长＋宽=8（米）.

因此

　　长=（8+1）÷

2=４。

5（米）.

　宽=８－４.５=3．5（米）.

　那么划出的长方形面积是

　　4.5×

1＝4．５（平方米）．

　　例１2如右图.正方形ABCＤ与正方形EFGC并放在一起。

已知小正方形ＥＦGＣ的边长是6，求三角形AＥG（阴影部分）的面积．

四边形ＡECD是一个梯形.它的下底是AＤ，上底是EC，高是CD，因此

　　四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×

大正方形边长÷

２

　三角形AＤＧ是直角三角形,它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长）,因此

三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×

　　四边形AEＣＤ与三角形ADG面积一样大.四边形ＡＨCD是它们两者共有,因此，三角形ＡEH与三角形ＨCＧ面积相等,都加上三角形ＥHG面积后，就有

阴影部分面积=三角形ECＧ面积

　＝小正方形面积的一半

　　＝６×

6÷

２＝18。

　十分有趣的是，影阴部分面积,只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系。

三、其他的面积

　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧．有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会．

　例１3　画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图）,求它的面积。

直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算．

　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1。

５的三角形有1个，因此围成面积是

　4×

4－３-5-1．５=6.5.

　　例6与本题在解题思路上是完全类同的。

例１4下图中ABCD是　6×

8的长方形,ＡF长是4，求阴影部分三角形AＥＦ的面积。

三角形AEＦ中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形ＡEＢ,底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出。

三角形ＡEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此

三角形AEＦ面积=（三角形AＥB面积）—（三角形AＦB面积）

　　=8×

2—4×

2

　　＝８.

这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题。

前面例9的解法,也是这种思路．

　　例1５　下左图是一块长方形草地，长方形的长是１6，宽是10.中间有两条道路,一条是长方形，一条是平行四边形,那么有草部分的面积（阴影部分）有多大?

我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×

高。

从图上可以看出,底是2，高恰好是长方形的宽度。

因此这个平行四边形的面积与１0×

2的长方形面积相等.

可以设想，把这个平行四边形换成１0×

2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此

　草地面积＝（16—２）×

（10-2）=11２.

例1６　右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积．

解：

实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积．

阴影部分与三角形ＢCE合在一起,就是原直角三角形。

你是否看出，　ABCD也是梯形，它和三角形BＣE合在一起,也是原直角三角形。

因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BＣ，是直角边AD的长减去3，高就是DＣ的长.因此阴影部分面积等于

　梯形AＢCD面积=（8+８—３）×

5÷

2＝32．5。

上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形。

要想有这种“换”的本领,首先要提高对图形的观察能力．

　　例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知　AF，ＦE，EＣ都等于3,　CB，　BＤ都等于　4。

求这个图形的面积。

两个直角三角形的面积是很容易求出的.

三角形AＢC面积=（3+3+3）×

2=１8．

　　三角形ＣDE面积＝（4+4）×

３÷

2=１2。

　这两个直角三角形有一个重叠部分—-四边形ＢＣEＧ，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出。

　　因为　AＦ=　FE＝　EＣ＝3，所以AGＦ，　ＦGE，EＧＣ是三个面积相等的三角形.

　　因为CＢ=BD=4，所以CＧＢ，ＢGＤ是两个面积相等的三角形.

　2×

三角形DEC面积

　=2×

2×

（三角形GＢC面积）＋2×

（三角形GCE面积）．

三角形AＢC面积

　=（三角形　GBC面积）+3×

（三角形ＧCＥ面积）．

　四边形BＣＥG面积

　　=（三角形GBＣ面积）+（三角形GCＥ面积）

=（2×

１2＋18）÷

5

=8。

4.

　所求图形面积=1２＋18—　8.4＝２1。

6。

　例１８如下页左图，ABCＧ是4×

7长方形,DEFG是2×

10长方形。

求三角形BＣM与三角形　DEM面积之差.

三角形BCＭ与非阴影部分合起来是梯形ABEF。

三角形DＥM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.

（三角形ＢＣM面积）－（三角形ＤＥM面积）

　=（梯形ＡBEF面积）-（两个长方形面积之和

　=（７+１0）×

（４＋2）÷

2-（４×

７　+2×

10）

＝3。

　例1９上右图中,在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，３５，49．那么图中阴影部分的面积是多少？

解：

所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49,35这三块是长方形中没有被三角形ＡBC与三角形CDE盖住的部分,因此

　　（三角形ＡＢC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）

=（长方形面积）＋（阴影部分面积）.

三角形ABＣ，底是长方形的长,高是长方形的宽;

三角形CＤＥ，底是长方形的宽，高是长方形的长。

因此，三角形ＡBC面积，与三角形CＤＥ面积，都是长方形面积的一半,就有

　阴影部分面积＝13　＋4９＋３５=９７.

例题1.

已知图18－1中,三角形ABＣ的面积为8平方厘米,ＡE=ＥD，BＤ=

BC，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形ＡEF的面积无法直接计算。

由于AE=ED，连接DＦ，可知Ｓ△AEF＝S△EDF（等底等高），采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。

　因为BD＝BC，所以S△BDＦ=2S△DCＦ。

又因为AE＝ED，所以S△ABF=S△BDＦ＝2Ｓ△DCF。

　　　因此，Ｓ△ＡBC=５　Ｓ△ＤCF。

由于S△ＡBＣ＝8平方厘米，所以S△DCＦ=8÷

5=１．６（平方厘米），则阴影部分的面积为1。

６×

2=3.2（平方厘米）。

练习1

1、如图18—２所示，AE=ED,BＣ＝3ＢD，S△ABＣ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

2、如图１8-３所示，ＡE=EＤ,DC＝BD,S△ＡBＣ＝２1平方厘米。

3、如图18－４所示，DE=

AE，ＢD＝2ＤC，Ｓ△EBＤ＝5平方厘米。

求三角形AＢC的面积.

例题2。

两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图1８—５所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？

【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：

BO＝2DO;

从S△ABD与S△ACＤ相等（等底等高）可知：

S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOＤ的2倍。

所以△AOＤ的面积为6÷

２＝3。

因为S△ＡBD与S△ACD等底等高所以S△ＡBO=６

因为S△BOC是S△DOC的2倍　　　　所以△ABO是△ＡOＤ的2倍

所以△ＡOD=6÷

２=3.

　　　　　　　　答：

△AOD的面积是3.

练习2

1、两条对角线把梯形AＢCD分割成四个三角形,（如图18-６所示），已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?

2、已知AO＝

ＯC,求梯形AＢＣD的面积（如图１8-７所示）。

3、

已知三角形AＯB的面积为15平方厘米,线段ＯB的长度为OD的３倍。

求梯形ABＣD的面积。

（如图18－8所示）。

例题３。

四边形AＢＣD的对角线ＢD被E、Ｆ两点三等分，且四边形AECＦ的面积为１5平方厘米。

求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。

【思路导航】由于E、Ｆ三等分BD,所以三角形AＢE、AEF、ＡFD是等底等高的三角形，它们的面积相等.同理,三角形BEC、CEF、CFＤ的面积也相等。

由此可知，三角形AＢD的面积是三角形AEF面积的３倍，三角形ＢCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABＣD的面积是四边形AECF面积的3倍。

　　　15×

３＝45（平方厘米）

　　　　　　答：

四边形ＡBCＤ的面积为45平方厘米。

练习3

1、四边形ABCＤ的对角线BD被Ｅ、Ｆ、G三点四等分，且四边形AＥCG的面积为1５平方厘米.求四边形AＢCD的面积（如图18-10）。

2、已知四边形ABＣD的对角线被E、Ｆ、G三点四等分，且阴影部分面积为1５平方厘米。

求四边形ABCD的面积（如图18－１1所示）。

3、如图18—1２所示，求阴影部分的面积（ABCＤ为正方形）。

例题４。

如图18－13所示，BO＝２ＤO，阴影部分的面积是4平方厘米。

那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米?

【思路导航】因为BＯ＝2DO，取BO中点E，连接AE.根据三角形等底等高面积相等的性质,可知Ｓ△DＢC＝S△CＤA；

S△COB＝Ｓ△ＤOA＝４，类推可得每个三角形的面积。

所以,

S△CＤO=4÷

２=2（平方厘米）S△ＤAB=4×

3=12平方厘米

Ｓ梯形ＡBＣD＝12+4+2＝18（平方厘米）

　　　　　　答:

梯形ABCＤ的面积是18平方厘米.

练习４

1、如图18-14所示，阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO。

求梯形面积。

2、已知OC=２AO,Ｓ△BOC＝1４平方厘米。

求梯形的面积（如图18－１5所示）。

已知S△ＡOＢ＝6平方厘米。

OC=3ＡO,求梯形的面积（如图18－16所示）.

例题５.

如图１８－17所示,长方形ＡDEＦ的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形AＣＦ的面积是４,求三角形ＡＢC的面积。

【思路导航】连接ＡE。

仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。

由图上看出:

三角形ADＥ的面积等于长方形面积的一半（16÷

２）=8.用8减去3得到三角形ABE的面积为５.同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为４。

因此可知三角形AEＣ与三角形ACF等底等高，C为EＦ的中点，而三角形ABE与三角形ＢEC等底,高是三角形BEC的２倍，三角形BＥC的面积为5÷

2=2.５，所以,三角形AＢＣ的面积为１６—3-４－2。

５＝６。

5。

练习5

1、如图18—18所示,长方形ＡBＣＤ的面积是20平方厘米,三角形ＡDF的面积为５平方厘米,三角形ＡＢE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。

2、如图１８－19所示,长方形AＢCD的面积为２0平方厘米,Ｓ△ABE=4平方厘米，S△AＦD=6平方厘米，求三角形ＡEＦ的面积.

3、如图18—20所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、ＡFD的面积均为４平方厘米，求三角形ＡEF的面积.

答案：

练1

1、30÷

5×

2＝12平方厘米

2、21÷

7×

３=9平方厘米

3、5×

３÷

=2２平方厘米

练2

1、４÷

2=2　8÷

2=4

２、　8×

2＝1616+８×

2+４＝36

3、１5×

3＝4５　1５+5+15+４5＝8０

练３

1、1５×

２=３０平方厘米

2、１5×

4=6０平方厘米

3、6×

６÷

2—６×

2＝6平方厘米　6×

4＝３平方厘米

（6+3）×

２＝27平方厘米

练4

１、　4×

２=8平方厘米　8×

2=１6平方厘米

　1６+8+8+４=３6平方厘米

2、1４÷

２＝7平方厘米　　　7÷

５平方厘米

14+7+７+3。

5＝３1．5平方厘米

3、　6×

（３+1）＝2４6÷

３＝2　　２4+6+2＝32

练５

1、　20÷

2-7＝３　３×

=１.5２0－７－5－1．５=6。

２、　20÷

2=10　（10－４）×

＝2

20－6-４-2

＝7

3、２4÷

2＝1２平方厘米　　（１2—４）×

（1－

）＝5

平方厘米

　２4-４-4—5

＝10平方厘米