必修二直线方程与圆题型归纳Word格式文档下载.docx
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考点三 直线方程的综合应用
【例3】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
【训练3】在例3的条件下,求直线l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程.
思想方法——分类讨论思想在求直线方程中的应用
【典例】在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合.将矩形折叠,使A点落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程.
【自主体验】
1.若直线过点P
且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程为( ).
A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-
C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0
2.已知两点A(-1,2),B(m,3),则直线AB的方程为________.
3.若直线l:
y=kx-
与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是.
4.已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.
5.(2014·
临沂月考)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
6.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,是否存在使△ABO面积最小的直线l若存在,求出直线l的方程;
若不存在,请说明理由.
第2讲 两条直线的位置关系
考点一 两条直线平行与垂直
【例1】已知直线l1:
ax+2y+6=0和直线l2:
x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
【训练1】(2014·
长沙模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( ).
A.-10B.-2C.0D.8
考点二 两条直线的交点问题
【例2】求经过直线l1:
3x+2y-1=0和l2:
5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:
3x-5y+6=0的直线l的方程.
【训练2】直线l被两条直线l1:
4x+y+3=0和l2:
3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),求直线l的方程.
考点三 距离公式的应用
【例3】已知三条直线:
l1:
2x-y+a=0(a>0);
l2:
-4x+2y+1=0;
l3:
x+y-1=0,且l1与l2间的距离是
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的
;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是
∶
.若能,求点P的坐标;
若不能,说明理由.
【训练3】
(1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为( ).
A.2x+3y-18=0
B.2x-y-2=0
C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0
D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0
(2)已知两条平行直线,l1:
mx+8y+n=0与l2:
2x+my-1=0间的距离为
,则直线l1的方程为________.
思想方法——对称变换思想的应用
【典例】已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
1、(2013·
湖南卷)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ).
A.2B.1C.
D.
2.(2014·
金华调研)当0<
k<
时,直线l1:
kx-y=k-1与直线l2:
ky-x=2k的交点在( ).
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若直线l1:
y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( ).
A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)
4.若直线m被两平行线l1:
x-y+1=0与l2:
x-y+3=0所截得的线段的长为2
,则m的倾斜角可以是:
①15°
②30°
③45°
④60°
⑤75°
其中正确答案的序号是________.
5.求过直线l1:
x-2y+3=0与直线l2:
2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.
第3讲 圆的方程
考点一 求圆的方程
【例1】根据下列条件,求圆的方程.
(1)求过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4
的圆的方程.
(2)已知圆的半径为
,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4
【训练1】
(1)(2014·
济南模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( ).
A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1
(2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________.
考点二 与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求
的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
规律方法与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
(1)形如μ=
形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【训练2】(2014·
金华十校联考)已知P是直线l:
3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( ).
A.
B.2
C.
D.2
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2
,在y轴上截得线段长为2
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为
,求圆P的方程.
规律方法求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法:
(1)直接法:
根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:
根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:
利用圆的性质列方程;
(4)代入法:
找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
方法优化——利用几何性质巧设方程求半径
【典例】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程.
1.圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=
,则该圆的标准方程是________.
2.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为________.
一、选择题
1.(2014·
东莞调研)已知圆C:
x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为( ).
A.8B.-4C.6D.无法确定
烟台二模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点F的距离为5,则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为( ).
A.(x-1)2+(y-4)2=1B.(x-1)2+(y+4)2=1C.(x-1)2+(y-4)2=16D.(x-1)2+(y+4)2=16
3.(2014·
银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( ).
A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0
4.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是( ).
B.
∪(1,+∞)C.
D.
∪[1,+∞)
东营模拟)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ).
A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1
二、填空题
6.已知点M(1,0)是圆C:
x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
7.(2014·
南京调研)已知直线l:
x-y+4=0与圆C:
(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为______.
8.若圆x2+(y-1)2=1上任意一点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是________.
三、解答题
9.求适合下列条件的圆的方程:
(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:
x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
10.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
【例1】
(1)已知点M(a,b)在圆O:
x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ).
A.相切B.相交C.相离D.不确定
(2)(2013·
山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ).
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
【训练1】
1、(2014·
郑州模拟)直线y=-
x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m取值范围是( ).
A.(
,2)B.(
,3)C.
考点二 圆与圆的位置关系
【例2】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【训练2】
(1)圆O1:
x2+y2-2x=0和圆O2:
x2+y2-4y=0的位置关系是( ).
A.相离B.相交C.外切D.内切
(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( ).
A.4B.4
C.8D.8
考点三 有关圆的综合问题
【例3】(2013·
江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,
点A(0,3),直线l:
y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
【训练3】(2013·
江西卷)过点(
,0)引直线l与曲线y=
相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( ).
B.-
C.±
D.-
答题模板——与圆有关的探索问题
【典例】(12分)已知圆C:
x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?
若存在,写出直线AB的方程;
若不存在,说明理由.
1、在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.
2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是( ).
A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
威海期末考试)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( ).
A.k=
,b=-4B.k=-
,b=4C.k=
,b=4D.k=-
,b=-4
4.(2014·
安徽宣城六校联考)已知点P(x0,y0),圆O:
x2+y2=r2(r>0),直线l:
x0x+y0y=r2,有以下几个结论:
①若点P在圆O上,则直线l与圆O相切;
②若点P在圆O外,则直线l与圆O相离;
③若点P在圆O内,则直线l与圆O相交;
④无论点P在何处,直线l与圆O恒相切,其中正确的个数是( ).
A.1B.2C.3D.4
5.(2013·
重庆卷)已知圆C1:
(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:
(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ).
A.5
-4B.
-1C.6-2
6.(2014·
福建质检)已知直线l:
y=-
(x-1)与圆O:
x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l与y轴交于点A,则△MOA的面积等于________.
7、过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引切线的方程为________.
8.过点M
的直线l与圆C:
(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为________.
9.求过两圆x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程.
10.已知:
圆C:
x2+y2-8y+12=0,直线l:
ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2
时,求直线l的方程.
11.已知圆M:
x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.
(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;
(2)求四边形QAMB面积的最小值;
(3)若|AB|=
,求直线MQ的方程.
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