高考数学全国卷2理数.doc
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2卷)
数学(理科)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={0,1,2},N=,则=()
A.{1}
B.{2}
C.{0,1}
D.{1,2}
【答案】D
【解析】
把M={0,1,2}中的数,代入不等式经检验x=1,2满足。
所以选D.
2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则()
A.-5
B.5
C.-4+i
D.-4-i
【答案】B
【解析】
3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()
A.1
B.2
C.3
D.5
【答案】A
【解析】
4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()
A.5
B.
C.2
D.1
【答案】B
【解】
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
【答案】A
【解析】
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
9.设x,y满足约束条件,则的最大值为()
A.10B.8C.3D.2
【答案】B
【解析】
10.设F为抛物线C:
的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,
则BM与AN所成的角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
12.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题
13.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
【答案】
【解析】
14.函数的最大值为_________.
【答案】1
【解析】
15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
16.设点M(,1),若在圆O:
上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列满足=1,.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)证明:
.
【答案】
(1)无
(2)无
【解析】
(1)
(2)
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:
PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
【答案】
(1)无
(2)无
【解析】
(1)
设AC的中点为G,连接EG。
在三角形PBD中,中位线EG//PB,且EG在平面AEC上,所以PB//平面AEC.
(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系,则
19.(本小题满分12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
【答案】
(1)
(2)约6800元
【解析】
(1)
20.(本小题满分12分)
设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
(2)
21.(本小题满分12分)
已知函数=
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;
(Ⅲ)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)
【答案】
(1)
(2)2
【解析】
(1)
(2)
(3)
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(本小题满分10)选修4—1:
几何证明选讲
如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:
(Ⅰ)BE=EC;
(Ⅱ)ADDE=2
【答案】
(1)无
(2)无
【解析】
(1)
(2)
23.(本小题满分10)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,
.
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
所以D点坐标为或。
24.(本小题满分10)选修4-5:
不等式选讲
设函数=
(Ⅰ)证明:
2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
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