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二、问题的提出
在实际生产和科学研究中,我们需要通过一定的实验或观测来获取数据资料,对这些数据进行科学的分析与处理,可以帮助我们找出问题的主要矛盾及它们之间内在规律,从而获得问题的解决方法。
对单因素的试验,可以采用0.618、对分法、平行线法、交替法、调优法等方法解决。
而对于多因素方法,往往会认为对每个因素的各个方面的各个水平进行全面搭配的试验才是最好的方法,但是,这样全面试验虽然对于揭示事物的内部规律很清楚,却往往缺少实际应用价值。
全面试验只适用于因和水平数目不太多的问题。
因此,当实验因素较多时,既要考虑合理的实验处理及重复次数,又希望得出较全面的结论,就需要用科学的方法进行合理的安排。
要实现这个要求,必须对实验进行设计,而正交试验设计等方法是能够较好地实现这个要求的。
正交试验设计设计,既可对试验进行合理安排,挑选少数代表性的组合进行试验,又可对实施的少数个组合处理结果进行科学的分析,得出正确的结论。
在实际生产中,经常会遇到类似这样的问题:
某厂生产一种嵌板,用作商用飞机的内侧壁。
嵌板是在框架里嵌入的实木板、人造板、镜子、玻璃等。
嵌板是压制成型的,如今的生产工艺使每块嵌板上的平均瑕疵点数过高。
解决该问题的关键就是寻找减少平均瑕疵点数的工艺条件,因此我们可以通过试验设计的方法达到这一目的。
本文就是研究如何利用正交试验设计的方法来解决该问题。
三、试验设计原理
1、正交试验设计的基本思想
多因素试验遇到的最大困难就是试验次数太多,让人无法忍受。
如果有十个因子对产品质量有影响,每个因子取两个不同状态进行比较,那么就有1024个不同的试验条件需要比较,假定每个因子取三个不同状态比较的话,那么就有59049个不同的试验条件,这在实际中是办不到的。
因此在多因子试验中常常不可能对一切条件进行试验,而只能选择部分条件进行试验,再通过数据分析来寻找更好的条件,因此选择哪些方法就十分重要。
正交试验设计就是利用正交表来选择试验点,获得最佳或满意的试验条件的一种很好的办法,即利用正交表的特点,既使使试验点均匀分散,又使数据综合可比,最后达到实验目的。
2、正交试验设计的过程
1)确定试验因素及水平数;
2)选用合适的正交表;
3)列出试验方案及试验结果;
4)对正交试验设计结果进行分析,包括极差分析和方差分析;
5)确定最优或较优因素水平组合。
3、正交试验设计表
1)每一列中,不同的数字出现的次数是相等的。
例如在两水平正交表中,任何一列都有数码“1”与“2”,且任何一列中它们出现的次数是相等的;
如在三水平正交表中,任何一列都有“1”、“2”、“3”,且在任一列的出现数均相等。
2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。
例如在两水平正交表中,任何两列(同一横行内)有序对子共有4种:
(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)。
每种对数出现次数相等。
在三水平情况下,任何两列(同一横行内)有序对共有9种,1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3,且每对出现数也均相等。
4、方差分析
在完成试验收集完数据后,将要进行的是极差分析(也称方差分析)。
方差分析就是在考虑A因素时,认为其它因素对结果的影响是均衡的,从而认为,A因素各水平的差异是由于A因素本身引起的。
用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论:
1)在试验范围内,各列对试验指标的影响从大到小的排队。
某列的极差最大,表示该列的数值在试验范围内变化时,使试验指标数值的变化最大。
所以各列对试验指标的影响从大到小的排队,就是各列极差D的数值从大到小的排队。
2)试验指标随各因素的变化趋势。
3)使试验指标最好的适宜的操作条件(适宜的因素水平搭配)。
4)对所得结论和进一步研究方向的讨论。
5、条件选择
各因素的好水平加在一起,是否就是较优试验条件呢?
理论上,如果各因素都不受其它因素的水平变动影响的,那么,把各因素的优水平简单地组合起来就是较好试验条件。
但是,实际上选取较好生产条件时,还要考虑因素的主次,以便在同样满足指标要求的情况下,对于一些比较次要的因素按照优质、高产、低消耗的原则选取水平,得到更为结合试验实际要求的较好生产条件。
以上介绍如何分析各因素水平的变动对指标的影响。
讨论A因素时,不管其它因素处在什么水平,只从A的极差就可判断它所起作用的大小。
对其它因素也作同样的分析,在此基础上选取各因素的较优水平。
实践中发现,有时不仅因素的水平变化对指标有影响,而且,有些因素间各水平的联合指配对指标也产生影响,这种联合搭配作用称为交互作用。
而交互作用应该在试验设计时考虑到。
6、分析方法
1)直接对比法
直接对比法就是对试验结果进行简单的直接对比。
直接对比法虽然对试验结果给出了一定的说明,但是这个说明是定性的,而且不能肯定地告诉我们最佳的成分组合。
显然这种分析方法虽然简单,但是不能令人满意。
2)直观分析法
直观分析法是通过对每一因素的平均极差来分析问题。
所谓极差就是平均效果中最大值和最小值的差。
有了极差,就可以找到影响指标的主要因素,并可以帮助我们找到最佳因素水平组合。
四、试验设计的数据处理
对于前面所述问题目标:
寻找减少平均瑕疵点数的工艺条件。
特设计了一个试验,该试验含有四个两水平的因子,其因子与水平如下表:
表1因子水平表
因子
一水平
二水平
A:
温度(F)
295
325
B:
卡紧时间(分)
7
9
C:
树脂流量
10
20
D:
闭压时间(秒)
15
30
由于要考虑各因子及所有的二级、三级和四级交互作用,所以选用正交表
,表头设计与试验结果
见下表:
表2表头设计与试验结果
表头设计
A
B
*
C
*B
*C
D
*D
*B*C*D
yi
i
j
1
2
3
4
5
6
8
11
12
13
14
5.0
6.0
0.5
1.0
3.5
8.0
1.5
11.0
12.5
9.0
15.5
9.5
16
5.5
五、试验结果分析
1.显著性分析
1)方差分析
表3方差分析表
方差来源
自由度
1型平方和
3型平方和
均方
F值
P值
11.39
0.99
0.341
97.52
8.48
0.014
26.27
2.28
0.159
0.77
0.07
0.801
误差
126.55
11.5
合计
262.48
S=3.39179R-Sq=51.79%R-Sq(调整)=34.26%
表3结果表明,除卡紧时间所对应的P值为0.014小于0.1外,其他因素(温度、树脂流量、闭压时间)所对应的时间均大于0.1,可见只有卡紧时间是显著的,其他变量均不显著。
确定系数R-Sq为51.79%,R-Sq为34.26%,二者的差距比较大,说明模型有待改进。
2)图表分析
Pareto图是将各效应的t检验的t值的绝对值作为纵坐标,按照绝对值的大小排列起来,根据选定的显著性水平,给出t值的临界值,绝对值超过临界值的效应将被选中,说明这些效应是显著的。
正态效应图,凡是因子效应离直线不远者,就表明这些效应是不显著的;
反之,则是显著的。
图1Pareto图
从图1中可以看到,温度以及温度*树脂流量*闭压时间是显著的;
其他项均不显著。
图2正态效应图
从图2中可以看到,温度以及温度*树脂流量*闭压时间是显著的;
这与图1结果相同。
3)残差诊断
残差诊断的主要目的是基于残差的状况来诊断模型是否与数据拟合得比较好。
如果数据和模型拟合得比较好,则残差应该是正常的。
残差分析包括四个步骤:
①在“四合一”图的右下角图中,观察残差对于以观测值顺序为横轴的散点图,重点考察此散点图中,各点是否随机地在水平轴上下无规则的波动着。
②在“四合一”图的右上角图中,观察残差对于以响应变量拟合预测值为横轴的散点图,重点考察此散点图中,残差是否保持等方差性,即是否有“漏斗型”或“喇叭型”。
③在“四合一”图的左上角正态概率图(或右下角的直方图)中,观察残差的正态检验图,看残差是否服从正态分布。
④观察残差对于以各自变量为横轴的散点图,重点观察此散点图中是否有弯曲趋势。
图3残差诊断图
从图3结果可以看出,残差在水平轴呈现随机波动的趋势,大致满足等方差性,从正态概率图和直方图来看,残差满足正态性的假定。
2.模型改进
从上面的分析结果可以看出,温度、树脂流量、闭压时间的影响均不显著,只有卡紧时间的影响是显著的,但交互作用项温度*树脂流量*闭压时间是显著的,因此保留所有的主效应,删除其它交互作用后重新建立模型。
结果如下:
表4Y的效应和系数的估计
项
效应
系数
系数标准误
T
P
常量
6.7188
0.5465
12.29
1.6875
0.8437
1.54
0.154
4.9375
2.4688
4.52
0.001
2.5625
1.2813
2.34
0.041
-0.4375
-0.2188
-0.4
0.697
温度(F)*树脂流量*闭压时间(秒)
4.4375
2.2187
4.06
0.002
S=2.18589PRESS=122.32
R-Sq=81.80%R-Sq(预测)=53.40%R-Sq(调整)=72.69%
表5方差分析表
SeqSS
AdjSS
AdjMS
F
主效应
135.94
33.984
7.11
0.006
3因子交互作用
78.77
78.766
16.48
残差误差
47.78
4.778
从方差分析表中可以看到,主效应和三阶交互作用对应的概率分别为0.006和0.002都小于显著性水平0.05,应该拒绝原假设,认为本模型总的来说是有效的;
即
再看删减后的模型是否比原来的有所改进。
从上述表2最后一行中可以看到,模型的项数减少了10项后,R-Sq由51.79%升高到81.80%,调整的R-Sq由34.26%提高72.69%,可见删除不显著的效应之后,回归的效果明显较好。
由此获得一个满意的回归方程:
3.对于选定模型的诊断与分析
对选定的模型进行分析,主要是在拟合选定模型后输出更多的图形和信息,并做出有意义的解释。
主要包括下面四个方面:
1)再次进行残差诊断。
图4残差诊断图
从图4结果可以看出,残差依然在水平轴呈现随机波动的趋势,大致满足等方差性,从正态概率图和直方图来看,残差满足正态性的假定。
即从得出的残差诊断图中可以看到,残差及所有残差数据都是正常的。
2)确认主效应及交互作用的显著性,并考虑最优设置
图5主效应图
图6交互作用图
从主效应图中可以看到,温度、卡紧时间和树脂流量三者的回归线比较陡,故主效应影响确实显著,而闭压时间的回归线较平,故主效应影响不显著;
为了使瑕疵点数达到最小,温度、卡紧时间和树脂流量这三因子都是取值越小越好,即温度应取下限295F,卡紧时间应取下限7分钟,树脂流量应取下限10。
从交互作用图可以看出,温度与树脂流量、温度与闭压时间、温度与卡紧时间的交互作用最为显著。
3)输出等值线图、响应曲面图等以确认最佳设置
图7等值线图
图8曲面图
从等值线图和曲面图可以看出,平均瑕疵点数的最小值确实在温度取295F、卡紧时间取7分钟、树脂流量取10时达到最小。
4)实现最优化
图9最优化结果
由图7可见,最优化结果:
最小值在温度取295F、卡紧时间取7分钟、树脂流量取10,平均瑕疵点数达到1.9076,合意度d为0.93740。
4.验证试验
通常的做法是在先算出在最佳点的观测值的预测值及其变动范围,然后再最佳点做若干次验证试验,如果验证试验结果的平均值落在事先计算好的范围内,则说明一切正常,模型是正确的,预测结果可信;
否则就要进一步分析发生错误的原因,改进模型,再重新验证,以求得符合实际数据的统计模型。
其中因素:
温度、卡紧时间和树脂流量均取定低水平值,闭压时间在区间[15,30]内依次取整数值,发现当闭压时间为30秒时,Minitab输出结果为:
拟合预测值是1.9076,就是将自变量值代入回归方程所得的结果,这与最优值的预测是一致的。
拟合值标准误为1.3237。
预测值平均值置信区间的结果是(0.0580,4.8569)。
即温度取295F、卡紧时间取7分钟、树脂流量取10,同时闭压时间为30秒时,我们有95%的把握断言,平均瑕疵点数将落入(0.0580,4.8569)之内。
六、结束语
通过全因子正交试验设计进行试验,找到了使得嵌板平均瑕疵点数减少的工艺条件,这对于飞机制造行业有重要的意义。
从本文来看,正交试验设计确实可有效地减少试验次数,同时还可得到与做大量试验等效的结论,可以节省大量的人力、物力,提高研究经费的使用效率。
因此将正交试验设计成功运用到寻找最佳工艺条件这一领域对国家科技的发展有着重要的意义。
[参考文献]
[1]马逢时,吴诚欧等.基于MINITAB的现代使用统计[M].北京:
中国人民大学出版社,2010.
[2]周纪芗,茆诗松.质量管理统计方法[M].北京:
中国统计出版社,2008.
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