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如本金是100元,则一年利息数为
100×
4.8‰×
12=5.76(元).
[百分率] 见[百分数]
百分率在工农业生产中应用很广.例如:
上列式子中“×
100%”是表示其结果用百分数表示.
[物价指数]
也称“商品价格指数”.反映各个时期商品价格水平变动情况的指数.计算公式为:
式中,Σ为总计符号,p1为报告期的商品价格,p0为基期的商品价格,q1为报告期的商品销售量.小学数学教材里,一般不讲这个知识.
[复种指数]
一年内播种面积占耕地面积的百分数,叫做复种指数.用来表示复种程度的高低.
例如,耕地面积30公顷,一年内播种的总面积为75公顷,则
[百分数、小数的互化]
百分数、小数互化的方法是:
把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,就可把百分数化成小数;
把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号,就可把小数化成百分数.
教学时,通常先讲小数化百分数,再讲百分数化小数.小数化百分数,可联系小数化分数的方法.如:
引导学生观察比较,得出小数化百分数的方法.也可以扩展到整数化百分数,如把2化成百分数是200%.
百分数化小数可运用上例逆向分析,学生容易理解百分数化小数的方法.也可以让学生用分母100去除百分数的分子,36%=36÷
100=0.36,确信化的方法的可靠性.
练习中可安排0.6%,300%等化成小数或整数的题目,对于百分号前面是小数的,化成小数时,小数点移位方向容易弄错,要注意指导.
[百分数、分数的互化]
百分数化分数的方法是:
先把百分数改写成分数形式,然后能约分的要约成最简分数.分数化百分数的方法通常是,先把分数化成小数,再把小数化成百分数.遇到除不尽时,如没有特定要求,则通常除到小数第四位,四舍五入取三位小数,然后化成百分数.
教学时,通常先讲分数化百分数,再讲百分数化分数.分数化百分数,可以采取从特殊到一般的教学过程.例如,先讨论分母是100的约数或倍数的分数化成百分数.
再讨论任意一个分数化百分数,启发学生从分数化小数,再将小数化百
分子除以分母所得的商要保留三位小数,再化成百分数.书写时要注意等号的运用,因为
所以前面用约等号,后面用等号.如果把分数直接写成百分数,则应写
百分数化分数,学生容易理解,着重指导改写成分数后,能够约分的要约成最简分数,是假分数的一般要化成带分数或整数.如:
其中百分号前是小数的化成分数,通常运用分数的基本性质,使分子成为整数,能约分的再约成最简分数.
数的互化]).
(2)可以安排包括分数、百分数、小数等形式的几个数的大小比较的练习.例如:
①选择题.
和75%不相等的数是().
②把下面各组数,按从大到小的顺序排列,并用“>”连接.
[比]
两个数相除又叫做两个数的比.如3比2表示3÷
2,记作3∶2.其中“∶”是比号,读作“比”.比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项.比的前项除以后项所得的商叫做比值.比也可以写成
比的概念是从两个同类量之间比较倍数关系而产生的.在实际应用中,也需要把两个不同类量作比较,如路程与时间之比.但不论是同类量还是不同类量的比,总可以抽象为两个数的比.两数相比较,既可比较相差多少(差比),又可比较两者的倍数关系(倍比).比在数学中只是比较两数的倍数关系.在教学中,还要指出体育比赛中用的“比”,虽然也借用“∶”号,但只是表示对抗双方的成绩记录而已,与数学中的比有本质的不同:
(1)数学中,根据比的定义,比的后项不可为零,而体育比赛记分可出现2∶0、0∶0等情况;
(2)数学中比是可以化简的,而体育比赛的记分不可化简.
两个不同类量的比,形成一种新的量.如路程与时间之比,就是速度这个新的物理量.如:
100千米:
2时=50千米/时.在小学里只要求写出数值比,比式中不写单位名称.
两个数的比是一个有序概念,颠倒两个数的位置,就得到另一个比.如,甲数是5,乙数是7,甲数和乙数的比是5∶7;
乙数和甲数的比是7∶5.按语言叙述的顺序,可区分谁与谁比.在小学里,一般不出“反比”的名称.如,3∶5的反比是5∶3.
求比值时,如果题中没有直接给出比式,那么要注意根据题意确定比的前、后项.同类量相比要注意化成同单位后,再行计算.
不同类量相比,只要写出相应数值的比,再求值.比值可以用整数、小数或分数(百分数)来表示.应向学生说明比与比值的联系与区别.如5∶3
指出,当比值大于1时,表明前项大于后项,习惯上称前项是后项的若干倍,当比值小于1时,表明前项小于后项,习惯上称前项是后项的几分之几.目的是把比与分数意义、分数的应用联系起来.
练习组织:
1.认识比的意义的练习.
(1)填空.
①一项工作,甲独做8天完成,乙独做10天完成,甲乙两人工作时间的比是();
工作效率的比是().
②如果A∶B=C,那么A是比的(),B是比的(),C是比的().
(2)选择题.
1克白糖完全溶解在10克水中,白糖与糖水的比是()。
A.1∶10B.10∶1
C.1∶11D.11∶1.
2.求比值的练习.
(2)求下列各比的比值.
[比号] 见[比]
[比值] 见[比]
[比的前项] 见[比]
[比的后项] 见[比]
[反比]
把一个比的前项与后项颠倒位置后所得到的新的比,叫做原来这个比的反比.如a∶b是b∶a的反比,b∶a也是a∶b的反比(a≠0、
[比的基本性质]
比的前项和后项都乘以(或除以)相同的数(零除外),比值不变,这叫做比的基本性质.用式子表示是:
教学时,启发学生根据比和除法、分数三者之间的关系来推导比的基本性质.
比、分数与除法的关系如下表:
表中相应名称间只是“相当于”的关系,而非完全等同.三者还是有区别的:
“比”表示两个数间的倍比关系,比号是一种“关系符号”;
除法是一种运算,除号是一种“运算符号”;
分数是一个数.
由分数的基本性质可以推得比的性质:
比的前项和后项都乘以或者除以相同的数(零除外),比值不变.也可由除法里商不变的性质推出比的性质.从而进一步让学生理解除法、分数与比三者间的关系.要训练学生正确地叙述比的性质,分数的基本性质以及商不变的性质.
[比的化简]
前项、后项是互质数的比叫做最简整数比.把一个比化为最简整数比,叫做比的化简.化简比的依据是比的基本性质.
教学时,通常分三种情况:
(1)整数比的化简.联系分数中的约分和最简分数的概念,建立“最简整数比”的概念,得出化简的方法.
(2)含有小数的比的化简.引导学生运用小数点移动规律,把小数比化成整数比,再把整数比化简.(3)含有分数的比的化简.用分母的最小公倍数去乘比的前、后项,把分数比化为整数比,再把整数比化简.亦可用“前项+后项”来化简.如:
0.25等.让学生在比较中挑选最合理、灵活的方法.
学生容易把比的化简和求比值混淆,可用下表加以对照.
还可以通过以下的例子让学生掌握:
[最简整数比] 见[比的化简]
[求比的未知项]
已知比值和前项、后项中的一项,可以求出另一项.
根据比和除法的关系,学生容易理解求比的前项相当于求除法里的被除数,求比的后项相当于求除法里的除数,并概括出求比的未知项的关系式:
[单比]
两个数量所成的比,叫做单比.例如,7∶4,5∶11都是单比.现行小学数学课本里一般不出这个名称.
[复比]
有两个或两个以上的单比,把各单比的前项相乘的积作为前项,各单比的后项相乘的积作为后项,这样所得的新比,叫做复比.例如,7∶4和5∶11的复比是(7×
5)∶(4×
11).
复比的值等于各单比的值的连乘积.现行小学里一般不讲复比.
[连比]
表示三个(或三个以上)同类量的倍比关系的比式叫连比.如,甲∶乙∶丙=7∶3∶5表示:
甲∶乙=7∶3,乙∶丙=3∶5,甲∶丙=7∶5.
可以把几个比化为一个连比:
(1)第一个比的后项正好等于第二个比的前项时,可直接写出连比.如:
甲∶乙=7∶3,乙∶丙=3∶5,
则甲∶乙∶丙=7∶3∶5.
(2)第一个比的后项不等于第二个比的前项时,可运用比的性质,使它们变成相等.如:
甲∶乙=7∶3,乙∶丙=2∶5,
因为7∶3=14∶6,2∶5=6∶15,
所以甲∶乙∶丙=14∶6∶15.
目前小学里一般结合按比例分配应用题的教学对连比附带作些介绍.要注意,连比中的“∶”不能用“÷
”代替,连比不是连除.
[比例尺]
在绘制地图或机器零件的平面图时,需要把实际距离(长度)缩小或放大一定的倍数,画在图纸上.图上距离与实际距离的比就叫做这张图纸的比例尺.即
图上距离∶实际距离=比例尺,
或
地图是把实际距离缩小若干倍得到的,所以地图的比例尺的值是小于1的.为了计算的方便,绘制地图时通常选用前项为1的比例尺,如1∶5000、
比例尺的值是大于1的,如5∶1(表示放大5倍).
比例尺是一个比,但实际上它是表示图上距离和实际距离成正比例.所以它既可以作为比的知识的应用,放在比的部分教学,又可作为正比例的应用,放在正比例部分教学.前者,在求图距或实距时,把比例尺作为一个比值看,用求比的未知项的方法来计算;
后者,在求图距或实距时,把比例尺作为一个比看,用解比例来计算.目前小学里一般采用前者的编排方法,并以地图比例尺为重点.为了扩大学生的知识面,小学里还介绍线段比例尺:
在图上附一条注有数目刻度的线段,来表明地面上相应的实际距离.如上图表示图距1厘米相当于实距50千米,换成数字比例尺是1∶5000000.
教学中要注意说明:
(1)比例尺是一个比值,是不名数,后面不应带有长度单位名称.
(2)计算中,图距与实距应化成相同单位的量值.(3)选用比例尺或化简比时,力求把前项化简为1.(4)比例尺是长度比,而不是面积比.在求图形的实际面积或图纸上面积时,应根据比例尺先求出计算面积所需要的长度,再算面积.如:
在比例尺是1∶100的图纸上,量得一个长方形的长是5厘米,宽是3厘米.这个长方形的实际面积是多少?
解:
5×
100=500(厘米),3×
100=300(厘米).
500×
300=150000(平方厘米).
答:
这个长方形的实际面积是15平方米.
教学时,可组织学生测量教室或操场,然后选用恰当的比例尺,绘制出教室、操场的平面图.
比例尺应用题举例如下:
北京到天津的实际距离是120千米,量得图上距离是4.8厘米,求这幅地图的比例尺.
4.8厘米∶120千米
=4.8∶12000000(单位统一为厘米)
=1∶2500000.(化简)
[线段比例尺] 见[比例尺]
[比例]
表示两个比相等的式子叫做比例.组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项.如:
如果一个比例的两个内项相等,那么这样的内项就叫做两个外项的比例中项.如:
1∶2=2∶4,
2是1和4的比例中项(比例中项的概念,在小学一般不作介绍).
教学时,要使学生理解组成比例的条件是:
等号两边的两个比的比值相等.可通过各种练习帮助学生理解组成比例的条件.如给出一组比或一些数,要学生组成比例式.
比和比例既有联系又有区别,要让学生明确它们的区别:
比由两个数组成,表示两个数的倍比关系;
比例是由两个比组成的等式,表示四个数间成比例的关系.
[比例的项] 见[比例]
[比例的内项] 见[比例]
[比例的外项] 见[比例]
[比例中项] 见[比例]
[比例的性质]
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质.即
若a∶b=c∶d,则ad=bc
由比例的基本性质还可推得比例的其他性质:
(1)反比定理.如果两个比相等,那么它们的反比也相等.即
(2)更比定理.交换比例式的两个内项(或外项),所得的比例式仍旧成立.即
(3)等比定理.几个相等的比的前项之和与后项之和的比,等于这些比中的任何一个比.即
(4)合比定理.在一个比例里,第一个比的两项之和与它后项的比,等于第二个比的两项之和与其后项的比.即
(5)分比定理.在一个比例里,第一个比的两项之差与它后项的比,等于第二个比的两项之差与其后项的比.即
(6)合分比定理.在一个比例里,第一个比的两项之和与两项之差的比,等于第二个比的两项之和与两项之差的比.即
比例的基本性质实际上是四个数成比例的充分必要条件,可以让学生自己找出规律;
要判断四个数是否成比例,只要看其中最大数和最小数的乘积是否等于另两个数的乘积.然后可让学生把成比例的四个数(都不等于0)写成不同的比例式.如:
由2×
6=3×
4可写出2∶3=4∶6,2∶4=3∶6,4∶2=6∶3等比例式(有八个不同的比例式,但不必要求学生写全).
练习组织举例:
(1)认识比例意义的练习.
②填空.
在2、3、4、5、10这几个数中,选出其中四个数组成比例是().
③判断题.
下列各组的两个比能否组成比例?
把组成的比例写出来.
B.10∶12和15∶18
(2)掌握比例基本性质的练习.
[比例的基本性质] 见[比例的性质]
[反比定理] 见[比例的性质]
[更比定理] 见[比例的性质]
[等比定理] 见[比例的性质]
[合比定理] 见[比例的性质]
[诱导比例]
对于一个已知比例的某些项,施行某些运算,可以得到一些新的比例,这些新的比例叫做从已知比例得到的诱导比例。
例如,反比定理、更比定理、等比定理、合比定理、分比定理、合分比定理等都是诱导比例.
[解比例]
已知比例中的任何三项,求另外一个未知项,叫做解比例.解比例可根据比例的基本性质,如:
由3∶8=15∶x得3x=15×
8,x=40;
也可先算出一个比的比值,把解比例转化为求比的未知项,如x∶7=2∶5可变成x∶7=0.4,求比的前项,得x=0.4×
7=2.8.
解答后,把求得的未知项x的值,代入原比例式,再根据比例的意义或比例的基本性质进行验算,判断比例是否成立.
[成正比例的量]
两种相关联的量,如果它们相对应的两个数的比值一定,那么就叫做成正比例的量.它们的关系叫做正比例关系.如果用字母x、y分别表示两种成正比例的量,用k表示一定的比值,其关系式就是:
学习成正比例的量,要求学生对“变量”有个初步的认识.虽然
成正比例的量时,还应从“两种量变化(变量),一种量一定(常量)”的角度,重新加以认识.教学时应从具体实例出发,列举有关量变化的数值,然后得出关系式,并归纳出两种量成正比例的条件:
(1)这两种量是相关联的,其中一种量随着另一种量的变化而变化.
(2)相对应的两个数的比值(商)一定.
要帮助学生掌握判断两个量是否成正比例的思考步骤:
(1)判断是哪几种量;
(2)这几种量是不是相关联的量;
(3)哪一种量是常量;
(4)确定两种变量之间所存在的关系;
(5)根据正比例的意义,作出结论.例
=单价,根据正比例的意义,可以判断总价与数量这两种量成正比例关系.如果单价不一定,就不存在这种关系.
有时正比例关系中的“常量”不明显,学生在判断时会感到困难.如:
(1)圆的直径和它的周长成正比例(常量是π).
(2)同一时刻里,杆长和影长成正比例(一定量是阳光——平行光线与地面交角的正切函数值).对此,可通过教具演示,借助生活经验加以说明.
[正比例关系] 见[成正比例的量]
[成反比例的量]
两种相关联的量,如果它们相对应的两个数的积一定,那么就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.如果用字母x、y分别表示两种相关联的量,k表示积(一定),那么反比例关系可以用xy=k(一定)来表示.
教学时,可以仿照成正比例量的教法,让学生从一些实例中认识到,某些相关联的两种量,它们的对应数值的乘积是不变的.然后归纳出成反比例量的意义.再举些实例让学生判断.
正比例关系和反比例关系有内在的联系.如速度、时间与路程这三种量,当一种量的值一定时,另外两种量就成正比例或反比例关系.
教学时可在多举实例的基础上,最后概括为乘除法算式。
[反比例关系] 见[成反比例的量]
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