乘法公式的复习.docx
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乘法公式的复习
1.怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:
符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y-3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用(a-b)2=a2-2ab+b2来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(3x+5y)(5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)
3、数字变化如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4m+)(2m-)变为2(2m+)(2m-)后即可用平方差公式进行计算了.
5、项数变化如(x+3y+2z)(x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z)(x-3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2·(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-)(1+)(1-)(1+)×…×(1-)(1+)=××××…××=×=.
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:
a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
如已知m+n=7,mn=-18,求m2+n2,m2-mn+n2的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m2+n2=(m+n)2-2mn=72-2×(-18)=49+36=85,
m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=72-3×(-18)=103.
2.乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,
(a±b)=a2±2ab+b2,
(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(2)(-2x-y)(2x-y).
(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]=y2-4x2.
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
(1)19982-1998·3994+19972;
解
(1)原式=19982-2·1998·1997+19972=(1998-1997)2=1
第三层次──活用:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.
例4计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可创造条件─“拆”数:
-1=2-3,5=2+3,使用公式巧解.
解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.
第四层次──变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
解:
∵a+b=9,ab=14,
∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106,
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3·14·9=351
第五层次──综合后用:
将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合,
可得(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
例6计算:
(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:
原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
3、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
2、乘法公式的使用技巧:
①提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
解:
(1)(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]
=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.
(2)(-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2=4m2+4m+1.
②改变顺序:
运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算:
(1)()();
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
解:
(1)()()=()()
=()()=
=
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2))(x+1/2)(x2+1/4)
=(x2-1/4)(x2+1/4)=x2-1/16.
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、计算:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;
(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
解:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2
=[(x/2+5)+(x/2-5)][(x/2+5)-(x/2-5)]=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)
=x·10=10x.
(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
=[(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)]2
=[(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4)]2
=[(a2-1/4)(a2+1/4)]2
=(a4-1/16)2=a8-a4/8+1/256.
④合理分组:
对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解:
(1)(x+y+1)(1-x-y)
=(1+x+y)(1-x-y)=[1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2
=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)
=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.
4、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。
尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。
一.先分组,再用公式
例1.计算:
简析:
本题若以多项式乘多项式的方法展开,则显得非常繁杂。
通过观察,将整式运用加法交换律和结合律变形为;将另一个整式变形为,则从其中找出了特点,从而利用平方差公式即可将其展开。
解:
原式
二.先提公因式,再用公式
例2.计算:
简析:
通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x的系数成倍数,y的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为,则可利用乘法公式。
解:
原式
三.先分项,再用公式
例3.计算:
简析:
两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x的系数相同,y的系数互为相反数,符合乘法公式。
进而分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开。
解:
原式=
四.先整体展开,再用公式
例4.计算:
简析:
乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。
解:
原式
五.先补项,再用公式
例5.计算:
简析:
由观察整式,不难发现,若先补上一项,则可满足平方差公式。
多次利用平方差公式逐步展开,使运算变得简便易行。
解:
原式
六.先用公式,再展开
例6.计算:
简析:
第一个整式可表示为,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。
解:
原式
七.乘法公式交替用
例7.计算:
简析:
利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开。
解:
原式
5.中考与乘法公式
1.结论开放
例1.(02年济南中考)请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。
分析:
利用面积公式即可列出
或或
在上述公式中任
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