高中数学数据的数字特征总结练习含答案解析.docx
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高中数学数据的数字特征总结练习含答案解析
§4 数据的数字特征
1.在一组数据中,用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的① .
2.将一组数据从小到大依次排列,位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均数)叫作这组数据的② .
3.在一组数据中,出现频数最多的数叫作这组数据的③ .
4.在一组数据中,各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重,每个数乘以它相应的权重后所得的④ 叫作这组数据的加权平均数.
5.一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为⑤ .
6.我们可以用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果通常称为⑥ .
方差公式:
设一组数据是x1,x2,x3,…,xn,是这组数据的平均数,则这组数据的方差是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+…+(xn-)2].
7.一组数据的方差的算术平方根,叫作这组数据的⑦ .
用公式表示:
s=.
一、用平均数估计总体
1.(2013重庆,4,5分,★☆☆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:
分).
已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( )
A.2,5B.5,5
C.5,8D.8,8
思路点拨 利用题目所给的茎叶图,将甲组的数据列出,可以得到x表示中位数,为5,再利用平均数的计算公式,求得y值.
2.(2012陕西,3,5分,★☆☆)对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )
A.46,45,56
B.46,45,53
C.47,45,56
D.45,47,53
思路点拨 从茎叶图中得到相应的数据信息,求中位数、众数、极差.
3.(2012广东,13,5分,★★☆)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列)
思路点拨 此题是逆向思维,可以利用题目所给的四个数据,列出对应的方程组,解答出对应数据,并要注意数据的大小关系.
二、用样本方差和标准差估计总体
4.(2013湖北,12,5分,★☆☆)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则
(1)平均命中环数为 ;
(2)命中环数的标准差为 .
思路点拨 利用所给的数据代入对应的计算公式来求解.
5.(2013辽宁改编,★☆☆)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为多少?
思路点拨 此题是逆向思维,利用题目中所给平均数为7,样本方差为4,可以列出对应方程,并讨论对应的数值.
三、综合利用平均数和标准差来估计总体
6.(2013课标全国Ⅰ,18,12分,★★☆)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:
h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
思路点拨
(1)直接求平均数,并比较大小;
(2)观察茎叶图,看数据的离散情况及中位数的位置.
基础巩固训练
1.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x等于( )
A.21B.22C.20D.23
2.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a
3.样本中共有5个个体,分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为( )
A.B.C.D.2
4.下列说法中,正确的是( )
A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
5.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 .
6.甲、乙两人在相同条件下练习射击,每人打5发子弹,命中环数如下:
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7
7
7
9
则两人射击成绩的稳定程度是 .
能力提升训练
7.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各项中,一定符合上述指标的是( )
①平均数≤3;②标准差s≤2;③平均数≤3且标准差s≤2;
④平均数≤3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A.①②B.③④
C.③④⑤D.④⑤
8.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用茎叶图(下图)表示,则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别为( )
A.19、13B.13、19
C.20、18D.18、20
9.甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位:
mm):
甲机床:
10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1;
乙机床:
10.3,10.4,9.6,9.9,10.1,10.9,8.9,9.7,10.2,10.
分别计算上面两个样本的平均数和方差.若图纸规定零件的尺寸为10mm,从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适?
10.某小型食品加工厂,管理人员有厂长、6个亲戚;工作人员有5个领工、10个工人和1个学徒.现急需增加一名工人.小李应征而来,厂长告诉小李说:
“我单位的报酬不错,平均工资是每周1300元.”小李工作数天后,找到厂长说:
“你欺骗了我,我已经问过其他工人了,没有一个工人的工资每周超过1100元,平均工资怎么是1300元呢?
”厂长说:
“平均工资是1300元,不信,你看这张工资表.”
人员
厂长
亲戚
领工
工人
学徒
合计
工资(元)
3500
1400
1300
1100
600
___
人数(个)
1
6
5
10
1
23
合计(元)
3500
8400
6500
11000
600
30000
根据表中的数据,你认为厂长说每周平均工资1300元是否欺骗了小李?
每周平均工资1300元能否客观地反映工人的平均收入?
知识清单
①平均数 ②中位数 ③众数 ④平均数 ⑤极差 ⑥方差 ⑦标准差
链接高考
1.C 由题中茎叶图及已知得x=5,又乙组数据的平均数为16.8,
即=16.8,解得y=8,选C.
2.A 样本中共有30个数据,中位数为=46;显然样本中数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为68-12=56,故选A.
3.答案 1,1,3,3
解析 不妨设x1≤x2≤x3≤x4,则
化简得
即
即
由于x1,x2,x3,x4为正整数,所以x1=x2=1,x3=x4=3.
4.答案
(1)7
(2)2
解析
(1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7;
(2)方差s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4.
∴标准差s=2.
5.解析 设5个数据为x1,x2,x3,x4,x5,则=7,
又样本方差为4,
即4=[(x1-7)2+(x2-7)2+…+(x5-7)2],
20=++++-2×7×(x1+x2+x3+x4+x5)+72×5,++++=265.
不妨设x1 故35=x1+x2+x3+x4+x5≥x1+x1+1+x1+2+x1+3+x1+4,x1≤5,同理有35≤x5-4+x5-3+x5-2+x5-1+x5,即x5≥9. 当5个数据为5,6,7,8,9时,52+62+72+82+92=255,不满足条件; 当5个数为5,6,7,8,10时,52+62+72+82+102=274,不满足条件; 当5个数为4,6,7,8,10时,42+62+72+82+102=265. 当x5≥11时,没有满足条件的解,故最大值为10. 6.解析 (1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为,由观测结果可得=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, =(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好. 基础过关 基础巩固训练 1.A ∵=22,∴x=21. 2.D 由所给的数据可知平均数a=×(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,中位数b=15,众数c=17,故选D. 3.D 由题意,知(a+0+1+2+3)÷5=1,解得a=-1,∴样本方差s2=×[(-2)2+12+02+12+22]=2. 4.C 利用方差的计算公式可知,数据4,6,8,10的方差为数据2,3,4,5的方差的四倍,开方后得数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半. 5.答案 64 解析 甲得分为13,15,23,26,28,34,37,39,41,故中位数为28. 乙得分为24,25,32,33,36,37,38,45,47,中位数为36. 故中位数之和为28+36=64. 6.答案 甲比乙稳定 解析 =8,=8,而=1.2,=1.6,<,故甲稳定性强. 能力提升训练 7.D ①②③错,④对,若极差等于0或1,则≤3的条件下显然符合指标,若极差等于2且≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能: (1)0,2, (2)1,3,(3)2,4,符合指标.⑤对,若众数等于1且极差小于或等
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