整式的乘除与因式分解教案Word格式文档下载.docx

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23=25+3=28．

（4）xm·

x3m+1=xm+（3m+1）=x4m+1．

注意：

a＝a1。

指数1一般省略不写。

例2计算

（1）am·

an·

ap。

（2）－a·

（-a）3。

（3）27·

3n。

（4）（a-b）2（a-b）3.

式子可以看成什么运算？

解：

（1）am·

ap=（am·

an）·

ap

=am+n·

ap=am+n+p；

（-a）3＝（-a）1＋3（-a）4＝a4；

或－a·

（-a）3＝a·

a3＝a4；

（3）27·

3n＝33·

3n＝233＋n；

（4）（a-b）2（a-b）3＝（a-b）2＋3＝（a-b）5.

反思：

①要注意有些形式上不是同底数幂的乘法可以转化为同底数幂的乘法来计算；

②

（1）的结果说明了什么？

四、课堂练习

课本142面练习

（1）－（4）题。

五、课堂小结

这节课我们学习了一些什么知识？

探讨了同底数幂的运算法则；

运用同底数幂的运算法则进行计算。

运用同底数幂的运算法则进行计算时要注意：

必须是同底数的幂才能相乘；

结果是底数不变，指数相加.

作业：

149面8题。

15.2－3幂的乘方和积的乘方

[教案目标]经历探索幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，理解和掌握幂的乘方和积的乘方法则，并会运用它们进行熟练的计算。

[重点难点]幂的乘方和积的乘方的计算是重点；

正确地运用幂的乘方和积的乘方法则是难点。

（1）32表示_____个_____相乘；

（2）（32）3表示_____个_____相乘；

（3）a2表示_____个_____相乘；

（4）（a2）3表示______个_____相乘；

（5）am表示个相乘；

（6）（am）3表示个相乘。

式子（32）3、（a2）3、（am）3有什么共同特点？

都是幂的乘方.

二、幂的乘方

（一）幂的乘方法则

探究1根据乘方的意义填空：

（1）（32）3=32×

32×

32=3（）；

（2）（a2）3=a2×

a2×

a2=a（）；

（3）（am）3=am×

am×

am=a（）.

从计算中你发现了什么？

幂的乘方的结果是底数没有变，指数相乘。

（am）n等于什么？

即（am）n=amn（m、n是正整数）.

上面的结论用语言表达是：

幂的乘方,底数不变,指数相乘。

（二）例题

（1）（103）5；

（2）（a4）4。

（3）（am）2。

（4）－（x4）3.

式子表示什么意义？

理由是什么？

（1）（103）5＝103×

5＝1015；

（2）（a4）4＝a4×

4＝a16；

（3）（am）2＝10m×

2＝a2m；

（4）－（x4）3＝－x4×

3＝－x12.

三、积的乘方

（一）积的乘方法则

探究2填空：

（1）（ab）2=（ab）·

（ab）=（a·

a）·

（b·

b）=a（）b（）；

（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）

（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）

（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么运算？

从上面的计算中你发现了什么规律？

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

用符号语言表达是：

bn=（ab）n（n为正整数）

例2计算：

（1）（2a）3；

（2）（-5b）3；

（3）（xy2）2；

（4）（-2x3）4。

由积的乘方法则可得到什么？

（1）（2a）3=23·

a3=8a3．

（2）（-5b）3=（-5）3·

b3=-125b3．

（3）（xy2）2=x2·

（y2）2=x2·

y2×

2=x2·

y4=x2y4．

（4）（-2x3）4=（-2）4·

（x3）4=16·

x3×

4=16x12．

课本143面练习；

144面练习。

这节课学习了什么内容？

1、幂的乘方法则是什么？

用符号怎么表达？

2、积的乘方法则是什么？

3、幂的乘方与积的乘方的计算。

在计算过程中，要注意同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方的区别，以免混淆出错。

课本148面1、2。

15.1整式的乘法

（一）

[教案目标]探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并会运用它们进行计算．

[重点难点]单项式与单项式、单项式与多项式的乘法是重点；

单项式与多项式相乘去括号法则的应用是难点。

[教案过程]

光的速度约为3×

105千M/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×

102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千M吗?

地球与太阳的距离约为（3×

105）×

（5×

102）千M．

怎样计算（3×

102）呢？

二、单项式与单项式相乘

（一）单项式乘法法则

根据乘法的交换律和结合律有

（3×

102）=（3×

5）×

（105×

102）=15×

107.

思考：

如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·

bc2，这是什么运算？

怎样计算这个式子呢?

ac5·

bc2=（a·

c5）·

c2）

=（a·

b）·

（c5·

c2）（乘法交换律和结合律）

=abc5+2（同底数的幂相乘）

=abc7

类似地，请你试着计算：

（-5a2b3）·

（4b2c）

上面都是单项式乘以单项式，总结一下，怎样进行单项式乘法？

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（二）例1计算：

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）。

（1）、

（2）是什么运算？

怎样进行这样的计算？

（1）（－5a2b）（－3a）=[（-5）×

（-3）]（a2·

a）b

=15a3b。

（2）（2x）3（－5xy2）=8x3·

（-5）·

xy2

=[8×

（-5）]（x3·

x）y2

=-40x4y2

注意：

系数相乘时要注意积的符号；

先乘方再相乘。

课本145面练习2题。

三、单项式与多项式相乘

（一）单项式乘多项式法则

看下面的问题：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种新商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c，你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

方法一：

先分别求三家连锁店的收入，总收入为ma+mb+mc。

方法二：

先求三家连锁店的总销量，总收入为m（a+b+c）。

显然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。

从运算的角度来说，这个式子表示什么？

它有什么特点？

这个式子表示乘法分配律；

这个式子左边是单项式乘以多项式，右边是单项式的和。

请你试着计算：

2a2·

（3a2－5b）。

从上面解决的两个问题中，总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

容易知道，单项式与多项式相乘就是乘法分配律的运用。

（二）例2计算：

（1）（－4x2）·

（3x+1）；

（2）（2/3ab2－2ab）·

1/2ab。

从运算的角度看，这个式子表示什么？

（3x+1）=（－4x2）·

3x+（－4x2）·

1

=－12x3－4x2。

（2）（2/3ab2－2ab）·

1/2ab=2/3ab2·

1/2ab－2ab·

1/2ab

=1/3a2b3－a2b2。

去括号时要注意符号。

课本145面练习1题；

146练习1、2题。

这节课我们学习了什么内容？

1、单项式的乘法法则及其运用；

2、多项式的乘法法则及其运用。

149面3、4、6、9题。

第十五章第一阶段复习（15.1—4）

一、双基回顾

1、同底数幂的乘法法则：

am·

an=am+n（m，n都是正整数）.

①同底数幂的乘法法则可以推广，即am·

anap=am+n+p（m，n，p都是正整数）；

②同底数幂的乘法法则可以逆用，即am+n=am·

an。

[1]计算：

-x2·

（-x）3=；

（a-b）（b-a）2=。

2、幂的乘方：

（am）n=amn（m，n都是正整数）.

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

幂的乘方法则可以逆用，即amn=（am）n。

[2]计算：

（a3）4=；

（a2）n=；

36=（32）（）；

a3m=（am）（）。

3、积的乘方：

（ab）n=anbn（n为正整数）.

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

①积的乘方法则可以推广，即：

（abc）n=anbncn；

②幂的乘方法则可以逆用，即anbn=（ab）n。

[3]计算：

（-ab2）5=；

（1/2）10·

210=。

4、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

[4]计算：

1/2x2y·

（-4x3y2）

5、单项式与多项式相乘的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.

[5]计算：

-2x（x2-3x+2）

二、例题导引

例1计算：

（-3）2004·

（1/3）2005.

例2若

求

的值。

例3计算：

（-2a2）（3ab2-5ab3）.

例4解不等式：

x2+

x（3-2x）＜2

.

三、练习提高

1、下列运算中，正确的是（）

A.x2·

x3=x6B.（ab）3=a3b3

C.3a+2a=5a2D.（x³

）²

=x5

2、y·

y2m·

y2m+1=.

3、计算：

（-x²

y）5=

4.计算（a3）2+a2·

a4的结果为（）

A.2a9B.2a6C.a6+a8D.a12

15.1整式的乘法

（二）

[教案目标]探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．

[重点难点]多项式与多项式相乘是重点；

去括号时符号的确定是难点。

一、直接导入

前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？

二、多项式乘多项式的法则

为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长aM，宽mM的长方形绿地增长bM，加宽nM，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？

由长乘宽得，绿地的面积为（a+b）（m+n）M2．

由四小块的面积相加得，绿地的面积为（am+an+bm+bn）M2．

因此，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？

仔细地观察，我们可以发现：

（a+b）（m+n）的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。

即

（a+b）（m+n）==am+an+bm+bn。

根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、例题

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8）（x-y）；

（3）（x+y）（x2-xy+y2）。

这是什么运算？

怎样进行这样的运算？

（1）（3x+1）（x+2）=3x·

x+3x·

2+1·

x+1×

2

=3x2+6x+x+2

=3x2+7x+2

（2）（x-8）（x-y）=x·

x－xy－8xy+8y2

=x2－9xy+8y2。

（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3－x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3。

去括号时要注意符号的变化。

课本148面练习1、2。

这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。

课本149面5、7、10题；

150面12题。

选做150面11题。

15.2.1平方差公式

[教案目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式；

2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．

[重点难点]平方差公式及其应用是重点；

平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。

前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法?

计算下列多项式的积：

（1）（x+1）（x-1）。

（2）（m+2）（m-2）。

（3）（2x+1）（2x-1）。

（4）（x+5y）（x-5y）.

观察上述算式，它们有什么特征？

它们都是两个数的和与差的积。

解:

（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×

2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·

x-x·

5y-（5y）2=x2-（5y）2

二、平方差公式

看看计算的结果，你发现了什么规律？

两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。

你用字母表示上述规律吗？

（a+b）（a-b）=a2-b2．

事实上，（a+b）（a-b）=a2－ab+ab－b2=a2-b2．

我们还可以用下面的图来验证。

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图1；

把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。

图1的面积是a2-b2，图2的面积是（a+b）（a-b）。

因此，（a+b）（a-b）=a2-b2．

我们称它为平方差公式。

①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

例1运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）

这些式子有什么特点？

相当于平方差公式中a、b的是什么？

套用公式的结果是什么？

（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2-b2=4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

反思：

套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。

（1）102×

98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

（1）能够运用平方差公式计算吗？

怎样变形呢？

（2）这个式子有什么特点？

（1）102×

98=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．

①对

（2）题，你还有其它的变形方式吗？

（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。

②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。

课本153面练习1、2题。

1、平方差公式是怎样的？

用语言怎么叙述？

2、运用平方差公式要注意些什么？

①要明确公式的特点；

②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；

③有时要进行适当的变形。

课本156面1题。

15.2.2完全平方公式

（一）

[教案目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的计算。

[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；

完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。

请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？

由图

（1）得（a+b）2=a2+ab+b2，

由图

（2）得（a-b）2=a2-2ab+b2。

类似这样的等式在整式乘法中经常遇到，它有没有特殊的意义呢？

二、完全平方公式

计算下列各式：

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；

（2）（m+2）2=_______；

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；

（4）（m-2）2=________.

这些式子有什么特征？

它们都是两数和或差的平方。

（1）p2+2p+1；

（2）m2+4m+4；

（3）p2-2p+1；

（4）m2-4m+4。

仔细观察一下，看看式子与结果之间有什么关系？

两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．

上述结论用字母怎么表示？

（a+b）2=a2+ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2。

这与我们开始从图中发现的结论是一样的。

我们来计算一下：

（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2；

（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

这两个等式叫做完全平方公式。

三、例题例1运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

（2）（y－1/2）2

式子有什么特征？

相当于公式中的a、b分别是什么？

（1）（4m+n）2=（4m）2+2·

4m·

n+n2

=16m2+8mn+n2

（2）（y－1/2）2=y2－2·

y·

1/2+（1/2）2

=y2-y+1/4

①公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；

②套用公式的结果是三项。

（b-a）2与（a-b）2是否相等？

（-a-b）2与（a+b）2是否相等？

为什么？

例2运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

怎么变形可使计算简便？

（1）1022=（100+2）2

=1002+2×

100×

2+22

=10000+400+4

=10404．

（2）992=（100-1）2

=1002-2×

1+12

=10000-200+1

=9801．

课本155面2、1题。

这节课学习了完全平方公式。

1、完全平方公式是怎样的？

用文字语言怎么叙述？

2、运用完全平方公式要注意什么？

①要明确公式的特征；

③套用公式的结果是三项，要与平方差公式区分开来。

课本156面2题；

4、6题。

15.2.2完全平方公式

（二）

[教案目标]进一步明确完全平方公式的结构特征，掌握添括号法则，利用添括号法则灵活运用完全平方公式．

[重点难点]用添括号法则灵活运用完全平方公式是重点；

添括号法则的运用是难点。

一、复习导入

前面我们学习了去括号法则，回忆一下，什么是去括号法则？

根据去括号法则填空：

（1）a+（b+c）=；

（2）a-（b-c）=。

运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，怎么办呢？

二、添括号法则

把上面的式子反过来就得到添括号法则：

（1）a+b+c=a+（b+c）；

（2）a-b+c=a-（b-c）

用语言表达为：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

判断下列运算是否正确：

（1）2a-b-c/2=2a-（b-c/2）

（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）

（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

例1运用乘法公式计算

（1）（a+b+c）2

（2）（x+2y-3）（x-2y+3）

式子可以直接运用乘法公式计算吗？

可以作怎样的变形？

根据添括号法则试一试。

（1）（a+b+c）2=[a+（b+c）]2

=a2+2a（b+c）+（b+c）2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2abc+2ca。

（2）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+（2y-3）][x-（2y-3）

=x2-（2y-3）2=x2-（4y2-12y+9）

=x2-4y2+12y-9。

想一想，还可以怎样变形？

例2解方程：

（x+4）2－（x+4）（x－4）=0

这个方程有什么特点？

可以怎样化简？

原方程变为

x2+8x+16－（x2－16）=0

x2+8x+16－x2+16=0

8x+32=0

∴x=-4

解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。

课本156面1、2题。

这节课你有什么收获？

1、知道了添括号法则；

2、有些看上去比较复杂的式子，经过适当的变形（比如添括号）也可以运用乘法公式计算。

3、解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。

课本156面3题；

157面5、8题。

第十五章第二阶段复习（15.1.4-15.2-2）

1、多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

特殊地，（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

[1]用两种方法计算：

（x－4）（x+1），看看结果怎么样？

2、平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2。

两个数的和与这两个数的积，等于这两个数的平方差。

[2]下列式子能用平方差公式计算吗？

①（x-2y）（x+2y）