高考数学函数与导数压轴题精练.doc
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2015年高考数学导数压轴题精练
1.已知函数.
(1)若在上是增函数,求得取值范围;
(2)在
(1)的结论下,设,,求函数的最小值.
2.已知对任意,直线都不是的切线.
(I)求的取值范围;
(II)求证在上至少存在一个,使得成立.
3.设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设函数在上是增函数,且对于内的任意实数,当为偶数时,恒有成立,求实数的取值范围;
4.已知函数f(x)=x-ln(x+a).(a是常数)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)当在x=1处取得极值时,若关于x的方程f(x)+2x=x2+b在[,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;
(III)求证:
当时.
5.已知函数,(为常数).
(Ⅰ)若函数在时取得极小值,试确定的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由的极大值构成的函数为,试判断曲线只可能与直线、(,为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.
6.已知定义在正实数集上的函数,,其中.(Ⅰ)设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同,用表示,并求的最大值;(Ⅱ)设,证明:
若,则对任意,,有.
7.已知对任意的恒有成立。
(1)求正数与的关系;
(2)若
对恒成立,求函数的解析式;
8.设函数,.
⑴当时,在上恒成立,求实数的取值范围;
⑵当时,若函数在上恰有两个不同零点,求实数取值范围;
⑶是否存在实数,使函数和在其公共定义域上具有相同的单调性,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
9.已知函数为自然对数的底数)
(1)求的单调区间,若有最值,请求出最值;
(2)是否存在正常数,使的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?
若存在,求出的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。
10.已知函数().
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)当函数在单调时,求的取值范围;
(3)求函数既有极大值又有极小值的充要条件。
11.设函数
(I)当图像上的点到直线距离的最小值;
(II)是否存在正实数a,使对一切正实数x都成立?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
12.已知
(Ⅰ)的单调区间和最值;
(Ⅱ)若
13.已知函数满足,
当时,,当时,的最大值为-4.
(I)求实数的值;
(II)设,函数,.若对任意的,
总存在,使,求实数的取值范围.
14.已知函数(a∈R)。
(I)我们称使=0成立的x为函数的零点。
证明:
当a=1时,函数只有一个零点;
(II)若函数在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围。
15.定义:
(其中)。
(1)求的单调区间;
(2)若恒成立,试求实数a的取值范围;
16.已知函数
(1)若函数在定义域内单调递增,求的取值范围;
(2)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)设各项为正的数列满足:
求证:
2015年高考数学导数压轴题精练
详解答案
1.解:
(1),在上是增函数,
在上恒成立,即恒成立.
(当且仅当时取等号),所以.
当时,易知在(0,1)上也是增函数,所以.
(2)设,则,,.
当时,在区间上是增函数,所以的最小值为.
当时,.
因为函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,所以在上为增函数,所以的最小值为.
所以,当时,的最小值为;当时,的最小值为.
2.解:
(I),…………(2分)
∵对任意,直线都不是的切线,∴,
,实数的取值范围是;…………(4分)
(II)方法1:
问题等价于当时,,…………(6分)
设,在上是偶函数,
故只要证明当时,,
①当上单调递增且,
;…………(8分)
②当,列表:
+
0
-
0
+
极大
极小
在上递减,在上递增,…………(10分)
∵,∴时,,时,,
∴,
若,则;
若,则;
∴在上至少存在一个,使得成立.…………(12分)
方法2:
反证法
假设在上不存在,使得成立,即,,
设,∵在上是偶函数,
∴时,,…………(6分)
①当上单调递增且,
,与矛盾;…………(8分)
②当,列表:
+
0
-
0
+
极大
极小
在上递减,在上递增,…………(10分)
∵,∴时,,时,,
∴,
,矛盾;
,矛盾;
综上,,与矛盾,
假设不成立,原命题成立.…………(12分)
3.解:
由已知,得函数f(x)的定义域为.…………………1分
(Ⅰ)当k为偶数时,,则,又,
,即,得x,所以此时函数的单调递增区间为.
当k为奇数时,,则在定义域内恒成立,所以此时函数的单调增区间为.……………4分
(Ⅱ)∵函数在上是增函数
∴在上恒成立,即在上恒成立,
即,∴.①………………………6分
由(Ⅰ)可知当k为偶数时,
得0 ∴. 又∵对于内的任意实数x1,x2,当k为偶数时,恒有成立, ∴,即,所以,② 由①②得.…………………………………………8分 4.(I)由已知由函数的定义域为,, , 由得, 由得, 所以函数的减区间为,增区间为.…4分 (II)由题意,得,a=0.……5分 由(Ⅰ)知f(x)=x-lnx, ∴f(x)+2x=x2+b,即x-lnx+2x=x2+b,x2-3x+lnx+b=0, 设=x2-3x+lnx+b(x>0), 则=2x-3+=, 当变化时,,的变化情况如下表: x (,1) 1 (1,2) 2 0 - 0 + b--ln2 ↘ b-2 ↗ b-2+ln2 ……………………..……6分 ∵方程f(x)+2x=x2+b在[,2]上恰有两个不相等的实数根, , +ln2≤b<2,即. ……8分 (III)由(I)和(II)可知当时,,即, 当时,.………10分 令(),则. 所以当时, 即, .……12分 5.解: (Ⅰ) ,令,得或,……2分 当时,恒成立,此时单调递减; 当时,,若,则,若, 则,是函数的极小值点;……2分 当时,,若,则,若,则, 此时是函数的极大值点,综上所述,使函数在时取得极小值的的取值范围是……2分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,且当时,,因此是的极大值点,,于是……2分 ,令, 则恒成立,即在是增函数,所以当时, ,即恒有,……2分 又直线的斜率为,直线的斜率为,所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切……2分 6.(Ⅰ)设交于点,则有 ,即 (1) 又由题意知,即 (2)……2分 由 (2)解得 将代入 (1)整理得…………………………4分 令,则 时,递增,时递减,所以 即,的最大值为……………………………………6分 (Ⅱ)不妨设,变形得 令,,,高.考.资.源+网 在内单调增,,同理可证命题成立 ……………………12分 7.解: (1)设, 易知,由已知恒成立, 所以函数在处取得最大值。 又在处取得极大值,符合题意, 即关系式为 (3分) (2) 恒成立, 令,有, (5分) , 即对恒成立, 须 函数 (7分) 8. 9.解: (1) ①当恒成立 上是增函数,F只有一个单调递增区间(0,-∞),没有最值……3分 ②当时,, 若,则上单调递减; 若,则上单调递增, 时,有极小值,也是最小值, 即…………6分 所以当时,的单调递减区间为 单调递增区间为,最小值为,无最大值…………7分 (2)方法一,若与的图象有且只有一个公共点, 则方程有且只有一解,所以函数有且只有一个零点…………8分 由 (1)的结论可知…………10分 此时, 的图象的唯一公共点坐标为 又的图象在点处有共同的切线, 其方程为,即…………13分 综上所述,存在,使的图象有且只有一个公共点,且在该点处的公切线方程为…………14分 方法二: 设图象的公共点坐标为, 根据题意得高考资源网高考高·考¥资%源~网资源网 即 由②得,代入①得从而…………10分 此时由 (1)可知时, 因此除外,再没有其它,使…………13分 故存在,使的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线,易求得公共点坐标为,公切线方程为…………14分 10.【解析】 (1)时,, 函数在区间仅有极大值点,故这个极大值点也是最大值点, 故函数在最大值是, 又,故, 故函数在上的最小值为。 (4分) (2),令,则, 则函数在递减,在递增,由,, ,故函数在的值域为。 若在恒成立,即在恒成立, 只要,若要在在恒成立,即在恒成立, 只要。 即的取值范围是。 (8分) (3)若既有极大值又有极小值,则首先必须有两个不同正根, 即有两个不同正根。 故应满足,∴当时, 有两个不等的正根,不妨设, 由知: 时,时,时, ∴当时既有极大值又有极小值. 反之,当时,有两个不相等的正根,故函数既有极大值又有极小值的充要条件。 (12分) 11.解: (Ⅰ)由 为减函数 则令 ------------------------------(2分) 所求距离的最小值即为到直线的距离 -------------------------(5分) (Ⅱ)假设存在实数a满足条件,令 则 ---------------------------------(7分) 由 为减函数 当为增函数 --------------------------------(10分) 的取值范围为 --------------------------------(12分) 12.解: (Ⅰ)(x>1),若a≤1,x>1,则f′(x)>0, ∵f(x)在[1,+∞)上连续, ∴f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数, ∴当a≤1,x≥1时,f(x)min=f (1)=1, ∴函数有最小值1,无最大值.---------(4分) (Ⅱ)记g(x)=f
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