高考数学理热点题型数列含答案.doc

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数列

热点一　等差数列、等比数列的综合问题

解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.

【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn＝Sn－（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

解　

（1）设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为an＝×

＝（－1）n－1·.

（2）由

（1）得Sn＝1－＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1

故0

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，

所以＝S2≤Sn<1，

故0>Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.

【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.

【对点训练】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），

∴

解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.

∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，

∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.

（2）不存在.理由如下：

∵＝＝，

∴Tn＝

＝，

∴1－2Tk＝＋（k∈N*），

易知数列为单调递减数列，

∴<1－2Tk≤，又＝∈，

∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.

热点二　数列的通项与求和

数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：

错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.

【例2】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

（1）解　由题意有

即

解得或

故或

（2）解　由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，

故cn＝，

于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②

①－②可得

Tn＝2＋＋＋…＋－

＝3－，

故Tn＝6－.

【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板

第一步：

（判断结构）

若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}（公比q）的对应项之积构成的，则可用此法求和.

第二步：

（乘公比）

设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.

第三步：

（错位相减）

乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk（k∈N*）的项对应，然后两边同时作差.

第四步：

（求和）

将作差后的结果求和，从而表示出Tn.

【对点训练】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.

（1）证明：

an＋2＝3an；

（2）求S2n.

（1）证明　由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，

因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.

两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，

即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，

所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－（a1＋a2）＋3＝3a1，

故对一切n∈N*，an＋2＝3an.

（2）解　由

（1）知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.

因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.

于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n

＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（a2＋a4＋…＋a2n）

＝（1＋3＋…＋3n－1）＋2（1＋3＋…＋3n－1）

＝3（1＋3＋…＋3n－1）＝（3n－1）.

热点三　数列的综合应用

热点3.1　数列与函数的综合问题

数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.

【例3－1】设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）＝2x的图象上（n∈N*）.

（1）若a1＝－2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a1＝1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.

解　

（1）由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，

有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.

所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n（n－1）＝n2－3n.

（2）函数f（x）＝2x在（a2，b2）处的切线方程为y－2a2＝（2a2ln2）（x－a2），

它在x轴上的截距为a2－.

由题意知，a2－＝2－，

解得a2＝2.

所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，

所以Tn＝＋＋＋…＋＋，

2Tn＝＋＋＋…＋

因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－

＝2－－＝.

所以，Tn＝.

热点3.2　数列与不等式的综合问题

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：

一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.

【例3－2】在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.

解　

（1）设公差为d，由题意得：

解得∴an＝3n.

（2）∵Sn＝3（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1），

∴Tn＝，Tn＋1＝，

∴Tn＋1－Tn＝－

＝，

∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1

∴Tn的最大值是，故实数m的取值范围是.