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本门课程要紧由多项式理论与线性代数两部份组成。
多项式代数是以数域上一元多项式的因式分解存在唯一性为中心的理论体系;
线性代数那么以矩阵、线性空间、代数型为研究对象。
要紧教学行列式,线性方程组、矩阵、向量空间与线性变换、欧氏空间与酉空间、二次型。
三、课程目标
《高等代数》不仅为相平行开设的《数学分析》、《解析几何》两门基础课提供了必要的帮忙,而且为后继课——《近世代数》、《常微分方程》、《概率论与数理统计》等课程的知识上的需要打下了良好的基础。
通过高等代数课程的教学,学生应明白得并把握一元多项式与线性代数的基础知识和大体理论;
熟悉和把握从概念动身,通过逻辑推理进行论证的抽象的,周密的代数方式;
明白得具体与抽象,特殊与一样,有限与无穷辩证关系;
提高抽象思维、逻辑推理和运算能力。
四、教学内容及要求
(一)大体概念
1.教学目标
正确明白得与把握映射、单射、满射、双射、映射的相等、映射的合成、逆映射等概念,并会判定或证明相关的问题。
正确明白得和把握正整数集的最小数原理,数学归纳法原理,并熟练地运用数学归纳法。
正确明白得并熟练把握整数的整除性质。
正确把握数环、数域的概念,并准确判定数集是不是为数环、数域,学会证明有理数域是最小数域。
2.教学内容
1)映射
2)数学归纳法
3)整数的一些整除性质
4)数环与数域
(二)多项式
正确明白得数环上一元多项式的概念、运算及其算律,熟练把握和应用多项式和与积的次数性质。
正确明白得和把握多项式的整除概念与性质,深切把握和应用多项式的带余除法。
正确明白得并深切把握最大公因式的概念、性质与求法;
正确明白得并深切把握多项式互素概念与性质。
正确明白得并深切把握不可约多项式的概念及其性质,正确明白得多项式的因式分解存在唯一性定理及其典型分解式。
正确明白得多项式的导数与重因式的概念,深切把握和应用多项式有重因式的判别定理。
把握多项式函数与多项式的根的概念,熟练把握和应用综合除法。
正确明白得代数大体定理,把握复数域和实数域上多项式因式分解定理。
熟练地把握有理数域上多项式的有理根的求法,正确明白得和判别有理数域上有任意次数的不可约多项式。
了解把握多元多项式的大体概念、运算及大体性质。
正确把握对称多项式的大体概念及其大体定理,学会将一样对称多项式化为初等对称多项式的多项式的方式。
1)数环R上一元多项式的概念、运算及其算律,多项式和、积的次数定理。
2)多项式的整除性;
整除概念及其大体性质,Euclid带余除法。
3)多项式的最大公因式:
4)多项式的分解
5)重因式
6)多项式函数与多项式的根
7)复数和实数域上多项式
8)有理数域上多项式
9)多元多项式
10)对称多项式
(三)行列式
正确明白得和深切把握n阶行列式的概念与性质。
熟练运用行列式性质及其依行(列)展开式,进行行列式计算。
熟练把握和应用克莱姆(Cramer)规那么。
1)排列
2)n阶行列式概念与性质
3)子式和代数余子式,行列式依行依列展开
4)行列式的计算
5)克莱姆(Cramer)规那么及应用
(四)线性方程组
1.教学目标
正确明白得消元法与矩阵的初等变换的关系,熟练地运用矩阵的初等变换解一样线性方程组。
正确明白得和把握矩阵的秩的概念,并熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
深切明白得和熟练把握线性方程组可解的判别定理及其应用。
熟练把握齐次线性方程组有非零解的充要条件。
了解两个一元多项式的公根与结式的关系,两个二元多项式的公根问题可转化为求一个未知量的方程的根的方式,和结式与判别式的关系。
1)线性方程组的消元法与线性方程组的初等变换
2)矩阵的初等变换;
矩阵的概念,矩阵的初等变换概念,线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换,任何一个m×
n矩阵通过行初等变换和列第一种初等变换化为阶梯形,用矩阵初等变换解线性方程组。
3)矩阵的秩的概念,初等变换不改变矩阵的秩,求矩阵秩的初等变换的方式。
4)线性方程组可解性的判别
5)齐次线性方程组的概念及其有非零解的充要条件
6)结式与判别式
(五)矩阵
正确明白得并深切把握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等概念,及其它们的运算法那么,并能熟练地进行矩阵的运算。
正确明白得并深切把握矩阵的逆的概念,可逆矩阵的性质及其判别,熟练把握可逆矩阵的求逆公式。
正确明白得初等矩阵的概念,初等矩阵与初等变换的关系,熟练地把握用初等变换求逆矩阵的理论与方式。
正确明白得并深切把握矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩的两个定理及其应用。
把握和运用矩阵分块的方式及其分块运算规那么。
1)矩阵的运算
2)可逆矩阵
3)矩阵乘积的行列式的定理,矩阵乘积的秩的定理
4)矩阵的分块及其运算
(六)向量空间
正确明白得和把握向量空间的概念及其性质,了解公理化概念的思想方式。
正确明白得和把握向量空间的子空间的概念及其判别,子空间的交与和的概念,余子空间与直和的概念。
深切明白得和把握向量组的线性相关性的概念与性质。
正确明白得并深切把握向量空间的基与维数的概念与求法,有限维子空间的维数定理。
正确明白得向量空间中向量坐标的概念及其意义,熟练把握过渡矩阵的概念与性质,坐标变换公式。
正确明白得向量空间同构的概念、性质及其同构的判别。
用向量空间的大体概念,给出矩阵秩的另一概念,进一步加深对矩阵秩的概念的明白得;
进一步加深对线性方程组可解性判别定理的明白得,深切把握齐次线性方程组的基础解系的概念与求法,完全解决数域上一样线性方程组的解的结构。
1)向量空间的概念、例、简单性质
2)向量组的线性相关性
3)子空间的概念,交与和的概念,余子空间与直和的概念、性质
4)基和维数的概念,基的性质,基的扩充定理,子空间维数定理。
5)坐标概念,过渡矩阵概念与性质,坐标变换公式。
6)向量空间同构概念、性质,有限维向量空间同构的充要条件。
7)矩阵秩的几何概念--矩阵的行(列)空间的维数。
8)齐次线性方程组的基础解系与解空间,一样非齐次线性方程组的解的结构。
(七)线性变换
正确明白得线性映射和线性变换的概念、例、及其性质,熟练地把握线性变换的运算。
深切明白得线性变换与矩阵的关系,熟练把握线性变换的矩阵表示。
正确明白得和把握不变子空间的概念、例及判别、深切明白得线性变换的本征值及其本征向量的概念和矩阵的特点根及其特点向量的概念。
熟练地把握线性变换的本征值及其本征向量的求法和矩阵的特点根及其特点向量的求法。
正确明白得矩阵的相似关系,矩阵与线性变换可对角化的概念,并熟练地把握可对角化的条件及其化法。
1)线性映射的概念、例及其性质。
2)线性变换的运算
3)线性变换和矩阵
4)不变子空间的概念与例
5)本征值和本征向量
6)可对角化的矩阵
(八)欧氏空间与酉空间
正确明白得和把握内积、欧氏空间及其向量的长度、夹角、距离等气宇概念与性质。
正确明白得并熟练把握标准正交基的概念与求法,标准正交基与正交矩阵的关系。
把握欧氏空间同构概念及同构的判别。
深切明白得并熟练把握正交变换的概念、性质及其判别。
深切明白得并熟练把握对称变换的概念、性质及其判别,对称矩阵的相似对角形的求法。
了解酉空间与酉变换、对称变换的大体概念、性质及酉空间中与欧氏空间相平行的一些结论。
1)欧氏空间的大体概念:
2)正交基、标准正交基,Schmidt正交化方式,正交矩阵。
3)欧氏空间同构概念及其判别定理。
4)正交变换的概念、判别条件及其与正交矩阵的关系。
5)对称变换的概念及其判别条件,对称矩阵与对称变换关系,实对称矩阵的相似标准形--对角形及其求法。
6)酉空间的大体概念
7)酉变换与对称变换
(九)二次型
正确明白得与把握n元二次型的大体概念,及与对称矩阵的关系。
正确明白得与把握矩阵合同概念及性质,对称矩阵合同于对角阵,并熟练用矩阵的初等变换化对称矩阵为对角形的方式。
深切明白得复数域和实数域上二次型的等价条件及其典范形的唯一性,专门是实二次型的惯性定律要熟练把握,明确n元实二次型等价分类的个数。
深切明白得并熟练把握正定二次型的概念及判别。
正确明白得并熟练把握实二次型可经变量的正交变换化为标准形--二次型主轴。
了解双线性函数的大体概念及一些结论。
1)二次型和对称矩阵
2)复数域和实数域上二次型的等价条件,它们典范形及其唯一性,实二次型的惯性定律,n元实二次型等价分类。
3)正定二次型的概念及其判别定理。
4)实二次型的主轴问题--任一个n元实二次型都可通过变量的正交变换化为只含变量的平方项的形式,即标准形。
5)双线性函数
五、课时分派表
序号
课题名称
课时分配
小计
理论
实践
其他
1
第一章基本概念
6
2
8
第二章多项式
30
4
34
3
第三章行列式
10
14
第四章线性方程组
13
5
第五章矩阵
第六章向量空间
22
28
7
第七章线性变换
24
第八章欧氏空间和酉空间
18
9
第九章二次型
16
20
总课时
146
37
六、教材及参考书
教材:
1.《高等代数》(高等教育出版社2007年6月出版,张禾瑞等主编)
参考书:
1.《高等代数》(高等教育出版社2003年7月出版,北京大学数学系几何与代数教研室代数小组主编)
2.《高等代数》(高等教育出版社2002年7月出版,丘维声主编)
七、教学策略与方式的建议
高等代数这门课程具有一是概念多、内容抽象、性质、定理的论证多、逻辑性强;
二是着眼与事物的整体,从考察事物的整体动身提出问题和讨论问题的特点。
这就决定了高等代数的教学应注意以下几点:
1.教学概念要讲清楚其产生的背景;
讲知识要讲清楚其发生、进展的进程;
2.讲定理要先作直观的说明,然后严格的证明;
3.要讲清楚研究问题的主线;
4.要重视高等代数思想方式的教学
修订人(签字)钟梅
审核人(签字)
批准人(签字)
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- 高等 代数 大纲