高考数学--导数中二次求导的运用.doc
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高考数学--导数中二次求导的运用
【理·2010全国卷一第20题】已知函数.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)证明:
解析:
先看第一问,首先由可知函数的定义域为,易得
则由可知,化简得
,这时要观察一下这个不等式,显然每一项都有因子,而又大于零,所以两边同乘可得,所以有,在对求导有
,即当<<时,>0,在区间上为增函数;当时,;当<时,<0,在区间上为减函数。
所以在时有最大值,即。
又因为,所以。
应该说第一问难度不算大,大多数同学一般都能做出来。
再看第二问。
要证,只须证当<时,;当<时,>即可。
由上知,但用去分析的单调性受阻。
我们可以尝试再对求导,可得,显然当<时,;当<时,>,即在区间上为减函数,所以有当<时,,我们通过二次求导分析的单调性,得出当<时,则在区间上为增函数,即,此时,则有成立。
下面我们在接着分析当<时的情况,同理,当<时,>,即在区间上为增函数,则,此时,为增函数,所以,易得也成立。
综上,得证。
下面提供一个其他解法供参考比较。
解:
(Ⅰ),则
题设等价于。
令,则。
当<<时,>;当时,,是的最大值点,所以。
综上,的取值范围是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即。
当<<时,
因为<0,所以此时。
当时,。
所以
比较上述两种解法,可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂,思路来得自然流畅,难度降低,否则,另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论,而且运用了一些代数变形的技巧,解法显得偏而怪,同学们不易想出。
不妨告诉同学们一个秘密:
熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器!
【理·2010安徽卷第17题】设为实数,函数。
(Ⅰ)求的单调区间与极值;
(Ⅱ)求证:
当>且>时,>。
解析:
第一问很常规,我们直接看第二问。
首先要构造一个新函数,如果这一着就想不到,那没辙了。
然后求导,结果见下表。
,继续对求导得
减
极小值
增
由上表可知,而
,由>知
>,所以>,即在区间上为增函数。
于是有>,而,
故>,即当>且>时,>。
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