初一数学秋直升班教师版第5讲三角形的初步认识Word文档下载推荐.docx
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锐角三角形直角三角形
锐角三角形不等边三角形
等腰三角形等边三角形
模块二三角形的边和角
1.三角形的边
三角形三边关系定理:
三角形任意两边之和大于第三边.
三角形三边关系定理的推论:
三角形任意两边之差小于第三边.
即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段.
在应用三边关系定理及推论时,可以简化为:
当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时,或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时,即可组成三角形.
2.三角形的角
三角形内角和定理:
三角形三个内角和等于.
如图,在中,.
三角形内角和定理的三个推论:
推论1:
直角三角形的两个锐角互余.
②推论2:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③推论3:
三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.
如:
外角,
,
.
三角形的外角和:
每个顶点处取一个外角再相加,叫三角形的外角和.
三角形的外角和等于.
三角形的外角与相邻的内角互为邻补角,因为每个内角均有两个邻补角,因此三角形共有六个外角,其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的.
∠1+∠2+∠3=360°
模块三三角形中三条重要的线段
三角形的角平分线:
①定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
②性质:
三角形的三条角平分线交于一点.
线段AD为的一条角平分线
三角形的中线:
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
三角形的三条中线交于一点.
线段AD为BC边上的中线
三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
锐角三角形的高均在三角形内部,三条高的交点也在三角形的内部;
钝角三角形有两条高落在三角形的外部,三条高所在直线的交点也在三角形的外部;
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合,三条高的交点是三角形的直角顶点.
总结:
直角三角形的三条高所在直线交于一点.
线段AD为BC边上的高
(1)木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD),这样做的根据是( )
A.矩形的对称性B.矩形的四个角都是直角
C.三角形的稳定性D.两点之间线段最短
(2)试通过画图来判定,下列说法正确的是( )
A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形
(1)C;
(2)D.
【教师备课提示】这道题主要考查三角形的基本概念.
(1)两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,若第三根木棒的长是acm,则a的取值范围是___________.
(2)下列不能构成三角形三边长的数组是()
A.、、B.、、
C.、、D.、、
(3)(七中育才半期)有3cm、6cm、8cm、9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为()
A.1B.2C.3D.4
(1);
(2)D;
(3)C.
(1)已知三角形中两边长为2和7,若这个三角形的周长为奇数,则第三边长为_____.
(2)a、b、c为三角形的三边长,化简.
(1)第三边长x的取值范围是,由周长为奇数,可知x为偶数,所以第三边的长为6或8.
(2).
(1)若三角形的周长为60,求最大边的范围.
(2)设m、n、p均为自然数,足,,试问以m、n、p为边长的三角形有多少个?
(1)设最大边为a,另外两边为b和c,则,,,
∴.∴..
(2)∵三角形三边关系定理,知,即,∴
∵,,∴,∴
∵p为自然数,∴p可取5、6、7
当时,,;
,;
当时,,.
综上所述,以m、n、p为三边长的三角形共有7个.
【教师备课提示】例2—例4主要考查三角形三边关系.
(1)(青羊区期末)如图5-1,一个角的三角形纸片,剪去这个角后,得到一个四边形,则的度数为()
A.B.C.D.
(2)如图5-2,中,D为BC上点,,,,则的度数.
图5-1图5-2
(3)若一个三角形的三个外角的度数之比为,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
(1)A;
(2)100°
;
已知:
如图,中,,,于D,CE是的平分线,BD与CE交于点F,求、的度数.
∵(三角形内角和定理),
∴.
∵,∴.
∴(直角三角形的两个锐角互余).
∴.
∵CE是的平分线,
∴,
∴(三角形外角性质).
如图,由图7-1的沿折叠得到图7-2,图7-3,图7-4.
(1)如图7-2,猜想与的关系,并说明理由;
(2)如图7-3,猜想和与的关系,并说明理由;
(3)如图7-4,猜想和与的关系,无需说明理由.
图7-1图7-2图7-3图7-4
证明:
∵(三角形内角和),
,(平角度数);
∴(等量代换);
(2),证明略.
(3).
【教师备课提示】例5—例7主要考查三角形内外角的关系.
(1)(嘉祥半期)如图,在中,,G为AD的中点,延长BG交AC于E,F为AB上的一点,于H.下列判断正确的有()
A.AD是的角平分线
B.BE是边AD上的中线
C.CH为边AD上的高
D.AH为的角平分线
(2)下列说法正确的是( )
A.三角形的角平分线、中线和高都是线段B.直角三角形只有一条高线
C.三角形的中线可能在三角形的外部D.三角形的高的交点在三角形内部
(2)A.
【教师备课提示】这道题主要考查三角形三条重要线段的概念.
(1)如图,CH、AD分别为的高与中线,若的面积为2,,则_________.
(2)已知的高为AD,,,则的度数为______.
(3)在中,,AC边上的中线BD把的周长分成12cm和15cm两部分,则三角形的各边的长为_____________.
(2)或;
(3)8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm.
【教师备课提示】这道题主要考查三角形中高和中线的计算.
(1)如图10-1,BO、CO分别是中和的平分线,则与的关系是____________________(直接写出结论);
(2)如图10-2,BO、CO分别是两个外角和的平分线,则与的关系是____________________,请证明你的结论.
(3)如图10-3,BO、CO分别是一个内角和一个外角的平分线,则与的关系是____________________,请证明你的结论.
图10-1图10-2图10-3
(2);
∵BD平分∴
同理可证:
∴
∵,
∴
∴
(3)
∵CO平分,BO平分
∴,
∵是的外角,∴
∵是的外角,∴,∴.
【教师备课提示】这道题主要考查三角形中角平分线的角度关系,希望孩子们可以自己推导出以后会经常应用.
不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
设第三边c边上高为h,三角形面积为S,高为4,12的两边为a,b,
则有,
,,.
据三角形三边关系定理及推论,
得,.
为整数,所以或5.
又三角形为不等边三角形,.
(1)如图,一扇窗户打开后,用窗钩BC可将其固定,这里所运用的几何原理是()
A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线D.垂线段最短
(2)下列长度的三条线段能组成三角形的是().
A.1cm,2cm,5cmB.4cm,5cm,9cm
C.5cm,8cm,15cm D.6cm,8cm,9cm
(3)下列线不能组成三角形的是()
A.2,2,3,B.2,3,4
C.32,42,52D.
(1)若三角形的三边长为3,4,,则偶数的值有.
(2)已知三角形的两边为8、10,则周长l的范围为.
(3)一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别是3和2011,则三角形的第三边是.
(4)已知、、为三角形的三边长,化简.
(1)2,4,6;
(3)设第三边边长为a,且,又周长为偶数,故或2012.
(4)∵三角形任意两边之和大于第三边
∴,,
∴原式.
周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
设三角形的三边长为、、,且,
则有
故,;
又,,即
当时,有5组解:
当时,有组解:
当时,有2组解:
当时,有1组解:
故周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个.
(1)中,,则________.
(2)在中,若,,则 .
(3)如图,的高CD、BE相交于O,如果,那么的度数为( )
A.B.
C.D.
(2)105°
(1)下列命题错误的是( )
A.三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形
B.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角
C.三角形的中线、高线和角平分线都在三角形内部
D.三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性
(2)如图,BD和CE是的高,BD和CE交于H,已知,,则.
(2).
(1)如图6-1,中,,,BP平分,CP平分.则的度数______________.
(2)如图6-2,点M是两个内角平分线的交点,点N是两个外角平分线的交点,如果,则的度数为( )
A.B.C. D.
(3)如图6-3所示,,的内角平分线交于点O,的内角平分线与的外角平分线交于点D,与的相邻外角平分线交于点E,且,则______,_______,_______.
图6-1 图6-2 图6-3
(2)A;
(3),,.
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