高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题.doc

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学而通黄冈教育教师：

学生：

高考指数函数和对数函数

一.基础知识

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·；

（2）；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

定义域R

定义域R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：

（—底数，—真数，—对数式）

说明：

注意底数的限制，且；

；

注意对数的书写格式．

两个重要对数：

常用对数：

以10为底的对数；

自然对数：

以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

幂值真数

＝N＝b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

·＋；－；

．

注意：

换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；

（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

对数函数对底数的限制：

，且．

2、对数函数的性质：

a>1

0

定义域x＞0

定义域x＞0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

函数图象都过定点（1，0）

1、指数函数与对数函数

1、（2009湖南文）的值为（）

A．B．C．D．

2、（2012安徽文）（　　）

A． B． C． D．

3、（2009全国Ⅱ文）设则（）

A.B.C.D.

4、（2009广东理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则（）

A.B.C.D.

5、（2009四川文）函数的反函数是（）

A.B.

C.D.

6、（2009全国Ⅱ理）设，则（）

A. B. C. D.

7、设，则（）

A.B.C.D.

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

8、若a＜0，＞1，则（）

A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C.0＜a＜1,b＞0D.0＜a＜1,b＜0

9、（2009江苏）已知集合，若则实数的取值范围是，其中=

【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

10、设，且，则（）

A.B.10C.20D.100

11、（2010全国文）函数的反函数是（）

A.y=-1（x>0）B.y=+1（x>0）C.y=-1（xR）D.y=+1（xR）

12、方程的解是_________.

13、（2011四川理）计算_______．

14、函数的单调增区间是__________。

15、已知函数,若,_________.

【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.

16、7）设，则a，b，c的大小关系是

A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

17、（2010四川理）（）

A.0B.1C.2D.4

18、（2010天津文）设（）

A．B.C.D.

【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。

19、（2011四川文）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是（）

20、（2012四川文）函数的图象可能是（）

【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.

21、（2009广东文）若函数是函数的反函数，且，则（）

A．B．C．D．2

【解析】函数的反函数是,又,即,所以,,故,选A.

22、（2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

23、（2009全国Ⅱ文）函数的图像（）

24、A.关于原点对称B.关于直线对称C.关于轴对称D.关于直线对称

【解析】本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为关于原点对称，又，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

24、（2009辽宁文）已知函数满足：

x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（）

A.B.C.D.

25、（2010天津理）若函数=,若,则实数a的取值范围是（）

A.（-1，0）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）

C.（-1，0）∪（1,+∞）D.（-∞，-1）∪（0,1）

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

26、（2010湖北文）已知函数，则（）

A.4 B. C.-4 D-

27、（2011安徽文）若点在图像上，,则下列点也在此图像上的是（）

A.B.C.D.

【解析】由题意，，即也在函数图像上.

【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

28、（2011辽宁理）设函数，则满足的x的取值范围是（）

A． B． C．[1，+] D．

29、（2012重庆文）设函数集

则为（　　）

A．B．（0,1） C．（-1,1） D．

【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.

30、函数的最大值是______.

31、若实数,,满足,，则的最大是.

32、已知,.若或,

则的取值范围是________.

【考点定位】本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论.

33、已知函数.

（1）若,求的取值范围;

（2）若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数

的反函数.

2、函数的零点部分

1、函数的图象和函数的图象的交点个数是（）

A.4B.3C.2D.1

2、函数的零点必落在区间（）

A. B. C. D.（1,2）

3、数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）

A.B.

C.D.

4．（10上海理）若是方程的解，则属于区间（）

A．.B．.C．D．

5．（10上海文）若是方程式的解，则属于区间（）

A．（0，1）.B．（1，1.25）.C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）

6．（10天津理）函数的零点所在的一个区间是（）

A．B．C．D．

7．函数的零点所在的一个区间是（）

A．B．C．D．

8．设函数则在下列区间中函数不存在零点的是（）

A．B．C．D．

9、浙江文）已知是函数的一个零点，若，，则（）

A．，B．，

C．，D．，

10．函数的图象和函数的图象的交点个数是（）

A．4B．3C．2D．1

11．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）

A.B.C.D.

12．（09重庆理）已知以为周期的函数，其中。

若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

13．（10福建理）函数的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

14.（11天津）．对实数和，定义运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是

A．　　　 B．

C．　　　 D．

15（11陕西）函数f（x）=—cosx在[0，+∞）内（）

（A）没有零点（B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点

16.（11重庆）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为

（A）-8（B）8