高三数学 21数学归纳法及其应用举例第二课时大纲人教版选修文档格式.docx
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用数学归纳法证明:
(n∈N*).
如采用下面的证明方法,对吗?
为什么?
(1)当n=1时,
左边,
右边,
∴等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即
则当n=k+1时,
即n=k+1时,等式也成立.
由
(1)
(2),可知对于任意自然数n∈N*,原等式都成立.
教学过程
Ⅰ.课题导入
[师]上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题(证明题)的步骤,请同学说出数学归纳法的步骤.
[生1]数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题P(n)的一种方法.
(1)证明当n=n0时〔n0是使命题P(n)成立的第一个值〕,命题正确,即P(n0)正确;
(2)假设n=k(k∈N且k≥n0)时,结论成立,即P(k)成立,证明当n=k+1时,结论也成立,也就是P(k)P(k+1).根据
(1)
(2),就可以判定命题P(n)对从n0开始的所有自然数都成立.
[师]请同学们看投影上的问题1.(打出幻灯片§
2.1.2A,请学生阅读)
[生2]证明过程正确.
[生3]证明过程不正确.因为缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的.事实上,当n=1时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边≠右边,所以不对.
[师]回答得很好!
这个问题说明如果缺少步骤
(1)这个基础,步骤
(2)就没有意义了,也就是失去了递推的基础,只有第一步和第二步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2.(打出幻灯片§
2.1.2B,仍然由学生阅读)
[生4]证明过程正确,两步都证明了.
[生5]这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1时命题到底成立不成立,而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时这个结论正确,即要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为
[师]完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.在第
(2)步中,n=k时命题成立,可作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.不能直接将n=k+1代入命题,也不能直接用求和公式证明(如问题2).
这节课我们将学习怎样运用数学归纳法证明恒等式和不等式(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
1.课本例题
[师]在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同研究它在等式证明中的应用.
[例1]用数学归纳法证明:
12+22+32+…+n2=.(板书)
[师]首先确定第一个值是什么,如何由P(k)P(k+1)呢?
请同学思考.
[生6](学生说;
教师写)证明:
(1)当n=1时,左式=12=1,右式,
∴左边=右边,
∴n=1时,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即12+22+32+…+k2=,
那么,12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2
.
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据
(1)和
(2),可知等式对任何n∈N*都成立.
[师]完全正确.生6在P(k)P(k+1)时的等式变换是很好的,要一步一步推,不要跳步.
[例2]用数学归纳法证明:
1×
4+2×
7+3×
10+…+n(3n+1)=n(n+1)2.
请同学们思考一下如何证明呢?
[生7](到黑板上书写,教师在下巡视并指导)
(1)当n=1时,左边=1×
4=4,右边=1×
22=4,
∴左边=右边.∴等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即1×
10+…+k(3k+1)=k(k+1)2;
那么,1×
10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]
=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)(k+2)2=(k+1)[(k+1)+1]2.
∴n=k+1时等式也成立.
由
(1)
(2)可知,等式对一切n∈N*都成立.
[生8]应该进行解题回顾,在将归纳假设代入n=k+1时的左边表达式后,一定要有完整的推导过程,而不能直接写出n=k+1时等式右边的表达式,这一点对于我们来说尤为重要.
[师]总结得很好!
目前,有些同学就是缺少解题回顾,在解完题后一定要进行反思,反思方法和过程,总结规律,以待进一步提高.
[生9]这道题不用数学归纳法证明,也可以证明.
左边=(3×
12+1)+(3×
22+2)+(3×
32+3)+…+(3×
n2+n)
=3(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)
=n(n+1)2
=右边,
[生10]你的证明过程中运用了例1的结论,而例1又不是公式,所以,我认为你的证明跳步.除非你先证明12+22+32+…+n2=才行.
[师]生9的证明思路是对的,正如刚才生10所言要先证一个辅助命题,然后才能利用.但你的证法不符合题目的总体要求——用数学归纳法证明等式,所以平时解题一定要按要求去做.
2.精选例题
[例1](xx年全国高考天津市试题压轴题)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*).
(1)求证:
对任意n≥1,an=[3n+(-1)n-1·
2n]+(-1)n·
2na0;
(2)假设对任意n≥1,有an>an-1,求a0的取值范围.
[生11]
(1)n=1时,左边=a1=31-1-2a1-1=1-2a0,右边=[31+(-1)0·
21]+(-1)1·
21·
a0=(3+2)+(-1)1·
a0=1-2a0,
∴左边=右边.
∴n=1时等式成立.
第二步,我就不会证明了.
[师]假设n=k时,等式成立,即可以翻译成什么样的式子呢?
[生11]ak=[3k+(-1)k-12k]+(-1)k·
2ka0.
[师]当n=k+1时,等式的两边表达式各是怎样的呢?
[生11]右=[3k+1+(-1)k·
2k+1]+(-1)k+12k+1a0,左=ak+1.
[师]ak+1能否用ak来表示呢?
请看已知递推关系.
[生11]ak+1=3k-2ak.
[师]如何利用归纳假设ak的表达式呢?
[生11]∵ak+1=3k-2ak=3k-2·
·
[3k+(-1)k-1·
2k]+(-1)k2ka0=[3k+1+(-1)k·
2k+1]+(-1)k+1·
2k+1·
a0,
由上述可知,等式对一切n∈N*都成立.
[师]你不是证明得很好吗?
要自信!
!
[生12]第
(2)题也用数学归纳法求解.先取n=1,2时有a1-a0=1-3a0>0,a2-a1=6a0>0,因此0<a0<.下面用数学归纳法证明.
[生13](径直走到黑板前,边讲边写)
由an通项公式5(an-an-1)=2×
3n-1+(-1)n-1×
3×
2n-1+(-1)n×
5×
2n-1a0.
(i)当n=2k-1,k=1,2,3,…时,5(an-an-1)=2×
3n-1+3×
2n-1-5×
2n-1a0>2×
2n-1+3×
2n-1=0.
(ii)当n=2k,k=1,2,3,…时,5(an-an-1)=2×
3n-1-3×
2n-1+5×
2n-1≥0.
故a0的取值范围为(0,).
[师]生12的思路特别好,充分利用题设探索出a0的范围,生13给出了非常漂亮的证明.同学们,你们的实力是坚实的,只要再细心一点和规范一点那就更好了.
[例2]求证:
n≥2时,
.(板书)
(由学生自行完成第一步的验证;
第二步中的假设,教师应重点讲解P(k)P(k+1)命题的转化过程)
[师]当n=k+1时,不等式的左边表达式是怎样的?
[生14]当n=k+1时,左边
[师]考虑是否正确?
是否是此数列的第k项?
显然,不是第k项,应是第2k项,数列各项分母是连续的自然数,最后一项是以3k收尾,故n=k+1时,最后一项应为.根据此数列分母的特点,在3k后面还有3k+1,3k+2,最后才为3k+3,即3(k+1),所以正确的答案是左边
(在这里,学生极易出现错误,错误的思维定势认为从n=k到k+1时,只增加一项,求和式中最后一项即为第n项的通项.教师在这里应重点分析,化解难点)
为了能利用归纳假设,左边还要添上项,故当n=k+1时,左边
明确转化目的,即向方向努力,为了避免通分化简一系列烦琐运算,应针对问题的特点,巧妙合理地利用“放缩技巧”,使问题获得简捷的证明.
[生15]由于,,因此
左边
=右边.
所以n=k+1时不等式也成立.
[师]设S(n)表示原式左边,f(n)表示原式右边,则由上面的证法可知,从n=k到n=k+1的命题的转化途径是:
要注意:
这里S′(k)不一定是一项,应根据题目情况确定.
Ⅲ.课堂练习
1.(xx年河南模拟题)设f(x)=1+(x∈N*).求证:
n+f
(1)+f
(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N*且n≥2).
证明:
(1)n=2时,左边=2+f
(1)=2+1=3,右边=2·
f
(2)=2(1+)=3.
(2)假设n=k时等式成立,即k+f
(1)+f
(2)+…+f(k-1)=kf(k).
那么当n=k+1时,左边=(k+1)+f
(1)+f
(2)+…+f(k-1)+f(k)
=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1
=(k+1)[f(k)-]+1
=(k+1)f(k+1)-1+1
=(k+1)f(k+1),
即n=k+1时,等式亦成立.
由
(1)
(2)知,对于n∈N*且n≥2,等式成立.
2.12+32+52+…+(2n-1)2=n·
(4n2-1).
提示:
n=k时结论成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1).
那么n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2
=·
(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]
=(2k+1)·
(2k2+5k+3)
=(2k+1)(2k+3)(k+1)
=(k+1)[2(k+1)+1][2(k+1)-1].
3.1×
2+2×
3+3×
4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).
n=k时,结论成立,即1×
4+…+k×
(k+1)=k(k+1)(k+2),
那么n=k+1时,1×
(k+1)+(k+1)(k+1+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3).
4.1·
(n2-12)+2·
(n2-22)+3·
(n2-32)+…+n·
(n2-n2)=n2(n2-1).
假设n=k时结论成立,即1·
(k2-12)+2·
(k2-22)+3·
(k2-32)+…+k·
(k2-k2)=k2(k2-1),
那么n=k+1时,1·
[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+3·
[(k+1)2-32]+…+k·
[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=1·
[(k2-12)+(2k+1)]+2·
[(k2-22)+(2k+1)]+3·
[(k2-32)+(2k+1)]+…+k·
[(k2-k2)+(2k+1)]+0
=1·
(k2-k2)+(2k+1)·
(1+2+3+…+k)
=k2(k2-1)+(2k+1)·
=k(k+1)[k(k-1)+4k+2]
=k(k+1)(k2+3k+2)
=k(k+1)(k+1)(k+2)
=(k+1)2[(k+1)-1][(k+1)+1]
=(k+1)2·
[(k+1)2-12].
5.如果x>0,n为正奇数,那么xn+xn-2+…+x2-n+x-n≥n+1.
分析:
由于n是正奇数,在假设n=k不等式成立后,下一步应证明n=k+2时不等式成立.
(1)当n=1时,∵x>0,∴x+x-1≥2,即命题成立.
(2)假设n=k时命题成立,即xk+xk-2+…+x2-k+x-k≥k+1,
则n=k+2时,xk+2+xk+xk-2+…+x2-k+x-k+x-2-k=[xk+2+x-(k+2)]+(xk+xk-2+…+x2-k+x-k)≥2+k+1=(k+2)+1.
∴n=k+2时,不等式成立.
由
(1)
(2),可知对一切正奇数n,不等式成立.
解题回顾:
(1)有些命题可能仅当n为偶数(或奇数)时成立.这时,在第一步中,应验证n=n0取偶数(或奇数)时成立,在第二步中应从n=k递推到n=k+2.
(2)本题若验证了n=2时不等式成立,则就可推出不等式对一切正偶数也成立,从而得出此不等式对一切自然数都成立.
Ⅳ.课时小结
用数学归纳法证明等式,其步骤是先证明当n=n0时等式成立(左边与右边的值相等),再假设当n=k时等式成立,利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立.注意n=k+1时的等式是待证明的,常采用从一边开始以另一边为目标进行推证的办法.可以看出,推证过程中除运用归纳假设外,较多地运用了整式变形的知识.
用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标.数学归纳法也不是万能的,例如,求证:
(n∈N*).
错误解法:
(1)n=1时,左边,右边,则左<右,∴不等式成立.
(2)假设当n=k时,不等式成立,即
当n=k+1时,左边
则n=k+1时,不等式也成立.
由
(1)
(2),可知原不等式对一切n∈N*都成立.
错误原因:
不成立,此时无法实现由n=k推出n=k+1,从而数学归纳法失效.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P683、4.
(二)精选作业题.
1.用数学归纳法证明tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(n-1)αtannα=-n(n≥2,n∈N).
(1)当n=2时,左边=tanα·
tan2α,右边
=tanα·
tan2α,
∴左边=右边.∴原等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k-1)αtankα=,
则当n=k+1时,tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k-1)αtankα+tankαtan(k+1)α=
-k+tankαtan(k+1)α
即n=k+1时,等式成立.
根据
(1)
(2),可知对一切n≥2,n∈N*,等式恒成立.
2.用数学归纳法证明
(1)n=1时,左边=1,右边,
∴左≥右,即命题成立.
(2)假设n=k时,命题成立,即
则当n=k+1时,要证
只要证
∵
∴
成立,
即
成立.
∴n=k+1时,命题也成立.
由
(1)
(2),知对一切n∈N*,
板书设计
2.1.2数学归纳法
(二)
——证明等式与不等式
一、数学归纳法证题步骤
(1)n=n0时成立;
(2)假设当n=k时,命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
二、例题分析
课本例1:
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
例2:
7+…+n(3n+1)=n(n+1)2.
精选例题
1.(xx年全国高考天津市试题压轴题)
2.求证:
总结:
(1)
(2)
2019-2020年高三数学2.1数学归纳法及其应用举例(第五课时)大纲人教版选修
2.1.5 研究性课题:
杨辉三角
(二)
1.理解杨辉三角的性质6、7、8、9等有关整除、恒等式问题.
2.掌握有关杨辉三角的基本性质,.
1.会应用杨辉三角的基本性质1、2、3证明杨辉三角新的性质.
2.会用数学归纳法,无穷递降的思想证明性质6、7、8、9.
3.能灵活运用概率知识和组合恒等式解决问题9.
1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题和解决问题的能力.让学生在探索过程中体验数学活动、数学发现的成功的愉悦.
2.培养学生实际动手操作实践创新的能力,培养学生的创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想,相信科学.
3.加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而发奋读书的斗志.
杨辉三角的性质6、7、8、9的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,它与整数的整除理论、排列组合知识、概率等知识结合起来,形成丰富多彩的数学问题.研究和探索杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有裨益的,对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的.
杨辉三角的性质6、7、8、9的探索和发现是本节课的教学难点,整除性的证明是本节课的最大难点.从特殊到一般的先猜后证是突破难点的有效方法.
建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易能被发现的,而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味,学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制,我们利用建构主义观点中学生主动探索,发现和证明(失败时总结经验,另寻他路,重新启动,走向成功)的全程的尝试是最为主要的,这样不是被动地接受,而是主动地建构,学生的认知结构得到了较好的发展和培养,他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难.走向成功的高峰的非智力因素的调节作用,要求同学们不仅是个体参与,而且是集体参与、智力参与.
实物投影仪(或幻灯机、幻灯片或多媒体课件)
上节课我们学习了研究性课题,杨辉三角中的有关性质,杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.我们应该珍惜目前的宝贵时间,为实现党中央提出的科技兴国、科技强民的政策而发奋读书,为中华民族的伟大复兴而顽强拼搏.为此,今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质.
[师]一般的杨辉三角如下表.
(打出幻灯片,或多媒体课件,银幕显示)
第0行1
第1行1 1
第2行1 2 1
第3行1 3 3 1
第4行1 4 6 4 1
第5行1 5 10 10 5 1
第6行1 6 15 20 15 6 1
第7行1 7 21 35 35 21 7 1
第8行1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
第n-1行1 … … 1
第n行1 … … 1
其中
[师]在杨辉三角的第2行、第3行、第5行、第7行中,除去两端的数字1以外,这些数字与各自的行数(2,3,5,7)之间有什么联系?
(学生在自己的座位上,分别写出第2、3、5、7行的数字,并比较它们与各自行数的关系,有的学生开始与其他同学讨论,有的同学试图想推广到一般情形.课堂内的气氛是很活跃的,学生的主动探索、积极合作正是我们教学改革所追求的最高目标之一)
[生1]第2行数字(除两端1外)是2;
第3行数字(除两端1外)是3,3;
第5行数字(除两端1外)是5,10,10,5;
第7行数字(除两端1外)是7,21,35,35,21,7.第2行的数2能被2整除;
第3行的两个3都能被3整除;
第5行的四个数都能被5整除;
第7行的6个数都能被7整除.用文字语言概括为:
这些数字都能被各自的行数整除.
[师]总结概括得很好!
你们能再找出具有类似性质的三行吗?
这时的行数p是一个什么样的数?
(学生开始在杨辉三角中接着往下写,他们排出第9、10、11、12、13、14、15、16、17等各行的数字,然后他们再找这种类似的规律)
[生1]我经过计算第11、13、17行中,除去两端的数字1以外,行数11、13、17整除所在行的其余的所有数.一般的规律我没有找到.
[师]同学们,这位同学找的对吧?
[众生](齐声回答)对!
[师]你们能否找到一般规律呢?
[生2]奇数行中的数字都具有这种规律.
[生3]不对,第2行中的数字具有这种性质,但2是偶数,所以你的规律是不对的.由于2,3,5,7,11,13,17这些数字都是素数,所以,我可以猜想:
如果p是素数,那么在杨辉三角的第p行中,除去两端的数字1外,行数整除其余的所有的数.
[师]你们能证明这个猜想吗?
(稍等片刻,留给学生一定的思考时间和空间)
[生4]由的计算公式可知
我们的目标是要证明p能够整除(r=1,2,3,4,…,p-1)
将r=1,2,3,…,代入检验可知.
都是整数,所以p能整除.
[生5]你利用代入检验,必定是有限步骤,而不是一般的方法.我认为要用数论中的质因数分解定理,证明是个整数.
[师]你的思路是正确的,请同学们课后去证明这一猜想,即
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