勾股定理题目类型总结Word文档下载推荐.docx
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勾股定理的实际应用
4.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
5、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
【变式2】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
经典例题精类型一:
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
【变式1】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°
,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
【变式】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
数学思想方法
方程的思想方法
3.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°
,求
、
的值。
举一反三:
【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
答案∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12∴AC2=AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°
且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB=4∴AB的长是4.
思路点拨:
由条件
,想到构造含
角的直角三角形,为此作
于D,则有
,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析:
作
于D,则因
∴
(
的两个锐角互余)∴
(在
中,如果一个锐角等于
那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理,在
.根据勾股定理,在
.∴
解析:
连结BM,根据勾股定理,在
中,
而在
中,则根据勾股定理有
又∵
(已知),
.在
中,根据勾股定理有
,∴
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
,∠B=90°
,∴∠E=30°
。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=
=
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE=
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·
BE-
CD·
DE=
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米(大门宽度一半),OD=0.8米(卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得CD=
=
=0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
设正方形的边长为1,
则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,
AB+BC+CD=3
图(3)中,
在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,
则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH=
及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>
2.732∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)∴AC=
=
≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于
,直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
,类似地可作
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角
斜边为
;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形
,这样斜边
的长度就是
可以把
看作是直角三角形的斜边,
,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为
要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【答案】:
连结AC∵∠B=90°
,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°
(勾股定理逆定理)
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:
a2+b2=c2即可
证明:
所以△ABC是直角三角形.
【答案】答:
DE⊥EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积解析:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=
×
3x×
4x=6x2=96
首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化简得:
n2=4
∴n=±
2,但当n=-2时,n+1=-1<
0,∴n=2
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:
b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
例如:
对于选择D,
∵82≠(40+39)×
(40-39),∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。
【答案】:
A
解:
连结AC∵∠B=90°
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°
(勾股定理逆定理)∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
BC+
AC·
CD=36
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtΔABP中,∵∠ABP=90°
,∠APB=30°
,AP=160,
∴AB=
AP=80。
(在直角三角形中,30°
所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响。
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),
由勾股定理得:
BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/st=120m÷
5m/s=24s。
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
【答案】
(1)单位正三角形的高为
,面积是
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中,
,
,故
由
,再找出
的关系即可求出
和
在Rt△ABC中,∠A=60°
-∠A=30°
则
,由勾股定理,得
因为
,所以
在直角三角形中,30°
的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°
,在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,
所以
设
,则
在Rt△ECF中,
,即
,解得
即EF的长为5cm。
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- 勾股定理 题目 类型 总结