高考数学全国卷1理科.doc

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）

数学（理科）

一．选择题：

共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=

.[-2,-1].[-1,2）.[-1,1].[1,2）

2.=

....

3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是

.是偶函数.||是奇函数

.||是奇函数.||是奇函数

4.已知是双曲线：

的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为..3..

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

....

6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=

....

8.设，，且，则

....

9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：

：

，：

：

，：

.

其中真命题是

.，.，.，.，

10.已知抛物线：

的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=

...3.2

11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为

.（2，+∞）.（-∞，-2）.（1，+∞）.（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

...6.4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：

本大题共四小题，每小题5分。

13.的展开式中的系数为.（用数字填写答案）

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：

我没去过C城市；

丙说：

我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.

15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为.

16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.

三.解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（I）证明：

；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？

并说明理由.

18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.

附：

≈12.2.若～，则=0.6826，=0.9544.

19.（本小题满分12分）如图三棱锥中，

侧面为菱形，.

（I）证明：

；

（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：

的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（I）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点（1，）处的切线为.（I）求；（Ⅱ）证明：

.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：

只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明：

∠D=∠E；学科网

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：

△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

已知曲线：

，直线：

（为参数）.

（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

24.（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

若，且.

（I）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？

并说明理由.

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I答案

1—5ADCAD6—12CDCBBCB13．－2014．A15．90°16．

17．【解析】：

（Ⅰ）由题设，，两式相减

，由于，所以…………6分

（Ⅱ）由题设=1，，可得，由（Ⅰ）知

假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；

证明时，{}为等差数列：

由知

数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列

令则，∴

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列

令则，∴

∴（），

因此，存在存在，使得{}为等差数列.………12分

18．【解析】：

（Ⅰ）抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为

…………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知～，从而

………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826

依题意知，所以………12分

19．【解析】：

（Ⅰ）连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以平面，故=又 ，故………6分

（Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以

故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直． 

以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则

，，，

，

设是平面的法向量，则

，即所以可取

设是平面的法向量，则，同理可取

则，所以二面角的余弦值为.

20．【解析】（Ⅰ）设（），由条件知，得=又，

所以a=2=，,故的方程.……….6分

（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：

，设

将代入，得，

当，即时，

从而=+

又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积，

设，则，，

当且仅当，时等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为：

或.…………………………12分

21．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，

由题意可得（），故……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（，从而等价于

设函数（），则，所以当（）时，（），当（）时，（），故（）在（）单调递减，在（）单调递增，从而（）在（）¥的最小值为（.……………8分

设函数（），则，所以当（）时，（），当（）时，（），故（）在（）单调递增，在（）单调递减，从而（）在（）¥的最小值为（.综上：

当时，，即.……12分

22．【解析】.（Ⅰ）由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,

所以D=EÐ……………5分

（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC=,知MN⊥BC^所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=EÐ=Ð由（Ⅰ）

（1）知D=E，所以△ADE为等边三角形．……………10分

23．【解析】.（Ⅰ）曲线C的参数方程为：

（为参数），

直线l的普通方程为：

………5分

（Ⅱ）

（2）在曲线C上任意取一点P（2cos,3sin）到l的距离为

，

则+-，其中为锐角．且.

当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为.…………10分

24．【解析】（Ⅰ）由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，∴的最小值为.…5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

，

由于＞6，从而不存在，使得.……………10分

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