最新中考数学专题复习第12讲 一次函数Word格式文档下载.docx
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当k<0时,y随x的增大而减小,图象一定经过第二、四象限.
考点四待定系数法求一次函数解析式
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx+b;
(2)把两个已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k,b的二元一次方程组;
(3)解二元一次方程组,求出待定系数k,b;
(4)将求得的待定系数的值代入y=kx+b.
考点五用函数观点看方程(组)与不等式
1.一次函数与一元一次方程:
求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0⇔解方程ax+b=0.
2.一次函数与一元一次不等式:
(1)解不等式ax+b>0⇔求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0;
(2)解不等式ax+b<0⇔求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b的值小于0.
3.一般地,每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值;
从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
函数值y>0时对应函数的图象在x轴上方;
y<0时对应函数的图象在x轴下方.
考点六一次函数的应用
1.用一次函数解决实际问题的一般步骤:
(1)设定实际问题中的变量;
(2)建立一次函数关系式;
(3)确定自变量的取值范围;
(4)利用函数性质解决问题;
(5)答.
2.一次函数的应用有如下常用题型
(1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式,解决实际问题;
(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较;
(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题.
运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解,在确定一次函数的解析式时,要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制.
考点一 一次函数的图象和性质
例1已知函数y=3x的图象经过点A(-1,y1)、点B(-2,y2),则y1_____y2(填“>”“<”或“=”).
【点拨】∵k=3>0,∴y随x的增大而增大.又∵-1>-2,∴y1>y2.
【答案】>
方法总结
比较函数值的大小常用的方法有三种:
性质法、求值法和图象法,其中性质法简单实用.
考点二 待定系数法求一次函数解析式
例2李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_______升.
【点拨】设一次函数的解析式为y=kx+35,将(160,25)代入,得160k+35=25,解得k=-
,所以一次函数的解析式为y=-
x+35.再将x=240代入y=-
x+35,得y=-
×
240+35=20,即到达乙地时油箱剩余油量是20升.
【答案】20
确定一次函数解析式常用的方法是待定系数法,具体步骤是:
首先设出一次函数的一般形式,然后把已知条件代入所设解析式,得到关于待定系数的方程或方程组,解方程或方程组求出待定系数的值,从而写出一次函数的解析式.
考点三 一次函数图象的平移
例3把直线y=-x-3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是( )
A.1<
m<
7B.3<
4
C.m>
1D.m<
4
【点拨】解法一:
把直线y=-x-3向上平移m个单位后,所得直线的解析式为y=-x-3+m.当x=0时,y=2x+4=4,即直线y=2x+4与y轴的交点为(0,4);
当y=0时,0=2x+4,x=-2,即直线y=2x+4与x轴的交点为(-2,0).将点(0,4),(-2,0)分别代入y=-x-3+m中,解得m=7,m=1,所以1<
7.
解法二:
把直线y=-x-3向上平移m个单位后,所得直线解析式为y=-x-3+m,解方程组
得
∵交点在第二象限,
∴
解得
∴1<m<7.故选A.
【答案】A
一次函数y=kx+b向上、向下平移m(m>0)个单位得到y=kx+b±
m;
一次函数y=kx+b向左、向右平移n(n>0)个单位得到y=k(x±
n)+b.
考点四 一次函数的应用
例4(2013·
黔东南)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.
当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.
(1)根据图象,求y与x之间的函数关系式;
(2)求甲、乙两种品牌文具盒的进货单价;
(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元,每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元,根据学生需求,超市老板决定,准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒,且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元.问该超市有几种进货方案?
哪种方案能使获利最大?
最大获利为多少元?
【点拨】本题考查建立一次函数模型解决方案设计问题.
解:
(1)由图象可设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,因为点(50,250),(200,100)在函数图象上,∴
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+300.
(2)设甲品牌文具盒的进货单价为m元,则乙品牌文具盒的进货单价为2m元,∵当x=120时,y=180,
∴120m+180×
2m=7200,解得m=15,2m=30.
答:
甲品牌文具盒的进货单价为15元,乙品牌文具盒的进货单价为30元.
(3)设进甲品牌的文具盒a个,则进乙品牌的文具盒(-a+300)个,
根据题意,得
解得180≤a≤181.∴整数a=180或181.∴该超市有两种进货方案:
方案①:
进甲品牌文具盒180个,乙品牌文具盒120个;
方案②:
进甲品牌文具盒181个,乙品牌文具盒119个.∵总获利w=4a+9(-a+300)=2700-5a,∵-5<0,∴w随着a的增大而减小.故当a=180时,w最大,w最大=2700-5×
180=1800(元).
方案①获利最大,最大获利为1800元.
确定最值,一般是分析数量关系,列出一次函数,然后通过一次函数的性质和实际问题中的自变量的取值确定最值;
确定不同方案,一般需要分析数量关系,列出不等式组,通过不等式组求出自变量的取值范围,从而确定方案.
1.一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标是( A )
A.(0,4) B.(4,0)
C.(2,0) D.(0,2)
2.一次函数y=-x+2的图象经过( B )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
3.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为( B )
A.
B.±
C.
D.±
解析:
∵直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),
∴将这两点代入y=kx+b中,得
故选B.
4.一次函数y=kx+b的图象如图所示,当y<0时,x的取值范围是( C )
A.x>0
B.x<0
C.x>2
D.x<2
5.若实数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=ax+c的图象可能是( A )
因为a+b+c=0,所以a,b,c中有正数有负数.又因为a<b<c,所以a是负数,c是正数.所以y=ax+c的图象经过第一、二、四象限.故选A.
6.将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是y=2x+1.
根据平移的规律:
左加右减自变量,上加下减常数项.故可得平移后的直线为y=2x+1.
7.如果点P1(3,y1),P2(2,y2)在一次函数y=2x-1的图象上,则y1>y2(填“>”“<”或“=”).
∵k=2>0,∴y随x的增大而增大.又∵3>
2,∴y1>
y2.
8.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛,渔产丰富,一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼,捕捞一段时间后,发现一艘外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往黄岩岛,下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔政船及渔船沿同一航线航行)
(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式;
(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离;
(3)在渔政船驶往黄岩岛的过程中,求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里?
(1)当0≤t≤5时,s=30t;
当5<t≤8时,s=150;
当8<t≤13时,s=-30t+390.
(2)设渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式为s=kt+b,则
解得k=45,b=-360.
∴s=45t-360.
∵两船相遇,
解得t=10,s=90.
∴两船与黄岩岛的距离为150-90=60(海里).
渔船和渔政船相遇时,两船与黄岩岛的距离为60海里.
(3)s渔=-30t+390,s渔政=45t-360,
分两种情况:
①s渔-s渔政=30,
-30t+390-(45t-360)=30,
解得t=
(或9.6).
②s渔政-s渔=30,
45t-360-(-30t+390)=30,
(或10.4).
当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时,两船相距30海里.
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.一次函数y=x-2的图象不经过( B )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.下列四组点中,可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( A )
A.(2,-3),(-4,6)
B.(-2,3),(4,6)
C.(-2,-3),(4,-6)
D.(2,3),(-4,6)
3.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的解析式为( B )
A.y=2xB.y=-2x
C.y=
D.y=-
x
4.在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为( D )
A.(-1,4)B.(-1,2)
C.(2,-1)D.(2,1)
5.如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2,m),B(n,3),那么一定有( D )
A.m>0,n>0B.m>0,n<0
C.m<0,n>0D.m<0,n<0
因为A,B是不同象限的点,而正比例函数的图象在第一、三象限或在第二、四象限,由点A与点B的横、纵坐标可知:
当点A与点B在第一、三象限时,横、纵坐标的符号应一致,显然此题不可能;
当点A与点B在第二、四象限时,由点A在第四象限,得m<
0,由点B在第二象限,得n<
0.故选D.
6.(2013·
菏泽)一条直线y=kx+b,其中k+b=-5,kb=6,那么该直线经过( D )
A.第二、四象限B.第一、二、三象限
C.第一、三象限D.第二、三、四象限
∵k+b=-5,kb=6,∴k<0,b<0,∴直线y=kx+b经过第二、三、四象限.故选D.
7.A,B两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,y),下列结论正确的是( B )
A.a>0
B.a<0
C.b=0
D.ab<0
8.如图,直线y=kx+b经过点A(-1,-2)和点B(-2,0),直线y=2x过点A,则不等式2x<
kx+b<
0的解集为( B )
A.x<
-2
B.-2<
x<
-1
C.-2<
0
D.-1<
9.如图,一次函数y=(m-2)x-1的图象经过第二、三、四象限,则m的取值范围是( D )
A.m>0B.m<0
C.m>2D.m<2
10.若实数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=cx+a的图象可能是( C )
A B C D
∵a+b+c=0,且a<b<c,∴c>0,a<0,∴函数y=cx+a的图象经过第一、三、四象限.
故选C.
11.如图,点A的坐标为(-
,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时点B的坐标为( A )
A.(-
,-
) B.(-
)
C.(
) D.(0,0)
当AB⊥OB时,线段AB最短.∵直线y=x是第一、三象限的角平分线,故△ABO是等腰直角三角形,∵OA=
,∴点B的坐标为(-
).故选A.
12.一个矩形被直线分成面积为x和y的两部分,则y与x之间的函数关系图象只可能是( A )
设矩形的面积为k(k>0),则由x+y=k,得y=-x+k,因为0<x<k,0<y<k.故选A.
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.一次函数y=(m+2)x+1,若y随x的增大而增大,则m的取值范围是m>-2 .
14.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,-1),B(-1,3)两点,则k<
0(填“>
”或“<
”).
15.如图,三个正比例函数的图象分别对应表达式:
①y=ax,②y=bx,③y=cx,将a,b,c从小到大排列并用“<”连接为a<c<b .
∵y=ax经过第二、四象限,∴a<0;
∵y=bx和y=cx经过第一、三象限,∴b>0,c>0,又∵取同一个x的任意值代入②、③可得b>c,∴a<c<b.
16.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程数x(千米)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是20升.
由题意,得y=-
x+35.当x=240时,y=-
240+35=20.所以到达乙地时油箱剩余油量是20升.
17.已知一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(0,-2)和点B(1,0),则
k=2,b=-2.
把(0,-2),(1,0)分别代入y=kx+B,得
18.无论a取什么实数,点P(a-1,2a-3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的点,则(2m-n+3)2的值等于16.
令a=0,则P(-1,-3);
再令a=1,则P(0,-1).由于不论a为何值,点P都在直线l上,设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),∴
∴直线l的解析式为y=2x-1.∵Q(m,n)是直线l上的点,∴2m-1=n,即2m-n=1,∴(2m-n+3)2=(1+3)2=16.
三、解答题(共40分)
19.(6分)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵直线AB过点A(1,0)、点B(0,-2),
∴直线AB的解析式为y=2x-2.设点C的坐标为(x,y),∵S△BOC=2,∴
2×
x=2,解得x=2,∴y=2×
2-2=2,∴点C的坐标是(2,2).
20.(10分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求此一次函数的解析式.
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2),∴B=2.令y=0,则x=-
.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2,∴
|-
|=2,即|-
|=2,当k>
0时,
=2,解得k=1;
当k<
0时,-
=2,解得k=-1.故此函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
21.(12分)某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120时,具有一次函数的关系,如下表所示.
50
60
90
120
y
40
38
32
26
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米.因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划平均每天的修建费.
(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+B,
∵点(50,40),(60,38)满足函数解析式,
∴y关于x的函数解析式为y=-
x+50.
(2)设原计划x天修完这条路,根据题意,得
=
,解得x=45.当x=45时,y=-
x+50=-
45+50=41(万元).
原计划平均每天的修建费为41万元.
22.(12分)运动会将于我市隆重开幕,根据大会组委会安排,某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此,学校需要采购一批演出服装,A,B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:
两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商:
A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折,但校方需承担2200元的运费;
B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x人.
(1)分别写出学校购买A,B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式;
(2)问:
该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?
请说明理由.
(1)总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式分别是:
y1=0.7[120x+100(2x-100)]+2200=224x-4800,
y2=0.8[100(x+2x-100)]=240x-8000.
(2)令y1>y2,即224x-4800>240x-8000,解得x<200;
令y1=y2,即224x-4800=240x-8000,解得x=200;
令y1<y2,即224x-4800<240x-8000,解得x>200.
即当参演男生少于200人时,购买B公司的服装比较合算;
当参演男生等于200人时,购买两家公司的服装总费用相同,可任选一家公司购买;
当参演男生多于200人时,购买A公司的服装比较合算.
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