整式的乘法与因式分解.docx
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整式的乘法与因式分解
整式的乘除与因式分解
一、学习目标:
1.掌握与整式有关的概念;
2.掌握同底数幂、幂的乘法法则,同底数幂的除法法则,积的乘方法则;
3.掌握单项式、多项式的相关计算;
4.掌握乘法公式:
平方差公式,完全平方公式。
5..掌握因式分解的常用方法。
二、知识点总结:
1、单项式的概念:
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
如:
的系数为,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
如:
,项有、、、1,二次项为、,一次项为,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。
3、整式:
单项式和多项式统称整式。
注意:
凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升(降)幂排列:
如:
按的升幂排列:
按的降幂排列:
按的升幂排列:
按的降幂排列:
5、同底数幂的乘法法则:
(都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:
6、幂的乘方法则:
(都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:
幂的乘方法则可以逆用:
即
如:
7、积的乘方法则:
(是正整数)
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:
(=
8、同底数幂的除法法则:
(都是正整数,且
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
如:
9、零指数和负指数;
,即任何不等于零的数的零次方等于1。
(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如:
10、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如:
11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]
如:
12、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
如:
13、平方差公式:
注意平方差公式展开只有两项
公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如:
14、完全平方公式:
公式特征:
左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意:
完全平方公式的口诀:
首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。
15、三项式的完全平方公式:
16、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
如:
17、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
18、因式分解:
常用方法:
提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知识点分析:
1.同底数幂、幂的运算:
am·an=am+n(m,n都是正整数).
(am)n=amn(m,n都是正整数).
例题1.若,则a=;若,则n=.
例题2.若,求的值。
例题3.计算
练习
1.若,则=.
2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。
2.积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
例题1.计算:
3.乘法公式
平方差公式:
完全平方和公式:
完全平方差公式:
例题1.利用平方差公式计算:
2009×2007-20082
例题2.利用平方差公式计算:
.
例题3.利用平方差公式计算:
.
例题4.(a-2b+3c-d)(a+2b-3c-d)
变式练习
1.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?
2.(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-.
3.已知求的值
4、已知,求xy的值
5.如果a+b-2a+4b+5=0,求a、b的值
6.试说明
(1)两个连续整数的平方差必是奇数
(2)若a为整数,则能被6整除
7.一个正方形的边长增加4cm,面积就增加56cm,求原来正方形的边长
4.单项式、多项式的乘除运算
(1)(a-b)(2a+b)(3a2+b2);
(2)[(a-b)(a+b)]2÷(a2-2ab+b2)-2ab.
(3).已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.
5.因式分解:
1.提公因式法:
式子中有公因式时,先提公因式。
例1把分解因式.
分析:
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.
解:
说明:
用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.
例2把分解因式.
分析:
按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.
解:
说明:
由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2.公式法:
根据平方差和完全平方公式
例题1分解因式
3.配方法:
例1分解因式
解:
说明:
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.
4.十字相乘法:
(1).型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数之积;(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.
因此,
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
例1把下列各式因式分解:
(1)
(2)
解:
(1)
.
(2)
说明:
此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.
例2把下列各式因式分解:
(1)
(2)
解:
(1)
(2)
说明:
此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
例3把下列各式因式分解:
(1)
(2)
分析:
(1)把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数.
(2)由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.
解:
(1)
(2)
(2).一般二次三项式型的因式分解
大家知道,.
反过来,就得到:
我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
例4把下列各式因式分解:
(1)
(2)
解:
(1)
(2)
说明:
用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
练习
1、已知,,求的值。
2、若x、y互为相反数,且,求x、y的值
提高练习
1.(2x2-4x-10xy)÷( )=x-1-y.
2.若x+y=8,x2y2=4,则x2+y2=_________.
3.代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=___________.
4.(-a+1)(a+1)(a2+1)等于……………………………………………( )
(A)a4-1(B)a4+1(C)a4+2a2+1(D)1-a4
5.已知a+b=10,ab=24,则a2+b2的值是…………………………………( )
(A)148(B)76(C)58(D)52
6.
(2)(+3y)2-(-3y)2;
(2)(x2-2x-1)(x2+2x-1);
7.(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-)的值.
8.已知x+=2,求x2+,x4+的值.
9.已知(a-1)(b-2)-a(b-3)=3,求代数式-ab的值.
10.若(x2+px+q)(x2-2x-3)展开后不含x2,x3项,求p、q的值.
《整式的乘除与因式分解》单元试题
一、选择题:
(每小题3分,共18分)
1、下列运算中,正确的是()
A.x2·x3=x6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.(x³)²=x5
2、下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()
(A)(B)
(C)(D)
3、下列各式是完全平方式的是()
A、B、C、D、
4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()
(A)(B)(C)(D)
5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()
A.–3B.3C.0D.1
6、一个正方形的边长增加了,面积相应增加了,则这个正方形的边长为()
A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm
二、填空题:
(每小题3分,共18分)
7、在实数范围内分解因式
8、___________
9、若3x=,3y=,则3x-y等于
10、绕地球运动的是7.9×10³米/秒,则卫星绕地球运行8×105秒走过的路程是
三、计算题:
(每小题4分,共12分)
11、12、
13、[(x-2y)+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷2x.
四、因式分解:
(每小题4分,共16分)
14、15、2x2y-8xy+8y
16、a2(x-y)-4b2(x-y)
五、解方程或不等式:
(每小题5分,共10分)
17、
六、解答题:
(第22~24小题各6分,第25小题8分,共26分)
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- 整式 乘法 因式分解