高考圆锥曲线压轴题型总结.doc
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高考圆锥曲线压轴题型总结
直线与圆锥曲线相交,一般采取设而不求,利用韦达定理,在这里我将这个问题分成了三种类型,其中第一种类型的变式比较多。
而方程思想,函数思想在这里也用得多,两种思想可以提供简单的思路,简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。
使用韦达定理时需注意成立的条件。
题型一:
条件和结论可以直接或经过转化后可用两根之和与两根之积来处理
1.福建直线,为平面上的动点,F(1,0)过作直线
的垂线,垂足为点,且.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线交轨迹于两点,交直线于点,已知,,求的值;
本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
P
B
Q
M
F
O
A
x
y
解法一:
(Ⅰ)设点,则,由得:
,化简得.
(Ⅱ)设直线的方程为:
.
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
.
解法二:
(Ⅰ)由得:
,
,,
2.所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:
.
(Ⅱ)由已知,,得.
则:
.…………①
过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,
则有:
.…………②
由①②得:
,即.
2.(全国卷Ⅰ))已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。
解:
设椭圆方程为
则直线AB的方程为,代入,化简得
.
令A(),B),则
由与共线,得
又,
即,所以,
故离心率
(II)证明:
(1)知,所以椭圆可化为
设,由已知得
在椭圆上,
即①
由
(1)知
又,代入①得
故为定值,定值为1.
3. 如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.
本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
解法一:
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以,即1=因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,设直线AB的方程为:
整理得所以因为恒有,所以AOB恒为钝角.即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
a2
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)解:
(i)当直线l垂直于x轴时,
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4yA2,yA2>1,即>1,
解得a>或a<(舍去),即a>.
(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2).
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,
故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+x22+y22<(x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+y1y2<0恒成立.
x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2
=(1+k2).
由题意得(a2-a2b2+b2)k2-a2b2<0对kR恒成立.
①当a2-a2b2+b2>0时,不合题意;
②当a2-a2b2+b2=0时,a=;
③当a2-a2b2+b2<0时,a2-a2(a2-1)+(a2-1)<0,a4-3a2+1>0,
解得a2>或a2>(舍去),a>,因此a.
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+)
解法1中的转化才是亮点。
4.2010浙江理数)(21)(本题满分15分)已知m>1,直线,椭圆,分别为椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,,的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内,求实数的取值范围.
解析:
本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
(Ⅰ)解:
因为直线经过,所以,得,又因为,所以,故直线的方程为。
(Ⅱ)解:
设。
由,消去得
则由,知,
且有。
由于,故为的中点,
由,可知
设是的中点,则,由题意可知
即即
而所以
即又因为且所以。
所以的取值范围是。
原点在以线段为直径的圆内,也可以像第3题一样处理,利用且不反向。
5.(2010浙江文数)(22)、(本题满分15分)已知m是非零实数,抛物线(p>0)
的焦点F在直线上。
(I)若m=2,求抛物线C的方程
(II)设直线与抛物线C交于A、B,△A,△的重心分别为G,H
求证:
对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。
也可以用第3题的思路
6.(2009全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
如图,已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。
(Ⅰ)求r的取值范围
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解:
(Ⅰ)将抛物线代入圆的方程,消去,整理得.............
(1)
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:
方程
(1)有两个不相等的正根
∴即。
解这个方程组得
.
(II)设四个交点的坐标分别为、、、。
则由(I)根据韦达定理有,
则
令,则下面求的最大值。
方法1:
由三次均值有:
当且仅当,即时取最大值。
经检验此时满足题意。
法2:
设四个交点的坐标分别为、、、
则直线AC、BD的方程分别为
解得点P的坐标为。
设,由及(Ⅰ)得
由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积
则将,代入上式,并令,等
,
∴,
令得,或(舍去)当时,;当时;当时,故当且仅当时,有最大值,即四边形ABCD的面积最大,故所求的点P的坐标为
7.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)(注意:
在试题卷上作答无效)
过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、。
(Ⅰ)当时,求证:
⊥;
(Ⅱ)记、、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,都有成立。
若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
解:
依题意,可设直线MN的方程为,则有21世纪教育网
由消去x可得
从而有①
于是②
又由,可得③
(Ⅰ)如图1,当时,点即为抛物线的焦点,为其准线
此时①可得
证法1:
21世纪教育网
证法2:
(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下:
证法1:
记直线与x轴的交点为,则。
于是有
将①、②、③代入上式化简可得
上式恒成立,即对任意成立
证法2:
如图2,连接,则由可得
所以直线经过原点O,
同理可证直线也经过原点O
又设则
8.(2010全国卷1理数)(21)(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F,过点的直线与相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.
(Ⅰ)证明:
点F在直线BD上;
(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程.
9.(2010全国卷2理数)(21)(本小题满分12分)
己知斜率为1的直线l与双曲线C:
相交于B、D两点,且BD的中点为.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,,证明:
过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.
用焦半径不行吗?
10.(2010山东文数)(22)(本小题满分14分)
如图,已知椭圆过点.
,离心率为,左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意 一点,直线和与椭圆的交点分别为、 和、,为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线、的斜线分别为、.
(i)证明:
;
(ii)问直线上是否存在点,使得直线、、、的斜率、、、满足?
若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
题型二:
出现情形,两根的关系不能直接使用使用韦达定理,可将两根的关系带入韦达定理。
联考中叶是经常出现的。
(2010辽宁文数)(20)(本小题满分12分)
设,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与椭圆相交于,两点,直线的倾斜角为,到直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的焦距;
(Ⅱ)如果,求椭圆的方程.
解:
(Ⅰ)设焦距为,由已知可得到直线l的距离
所以椭圆的焦距为4.
(Ⅱ)设直线的方程为
联立
解得
因为
即
得
故椭圆的方程为
题型三;直线与圆锥曲线,已知其中一个交点时,可迅速求出另外一个交点。
O
A
B
E
F
M
1.(05江西卷)如图,M是抛物线上y2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:
直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹解:
(1)设M(y,y0),直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为-k,方程为
∴由,消
解得
∴(定值)
所以直线EF的斜率为定值
(2)直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G(x,y),则有
消去参数得
2.09浙江文)(本题满分15分)已知抛物线:
上一点到其焦点的距离为.
(I)求与的值;
(II)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:
,根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离,即,解得
抛物线方程为:
,将代入抛物线方程,解得
(Ⅱ)由题意知,过点的直线斜率存在且不为0,设其为。
则,当则。
联立方程,整理得:
即:
,解得或
,而,直线斜率为21世纪教育网
,联立方程
整理得:
,即:
,解得:
,或
,
而抛物线在点N处切线斜率:
MN是抛物线的切线,,整理得
,解得(舍去),或,
3.05天津卷)抛物线C的方程为,过抛物线C上
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- 高考 圆锥曲线 压轴 题型 总结