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反比例函数的图像与性质1doc
17.1.2反比例函数的图像与性质
第一课时
教学目标:
知识目标:
1.进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象。
2.体会函数三种表示方法的相互转换,对函数进行认识上的整合。
3.结合图像分析并理解反比例函数的性质。
能力目标:
1.通过观察反比例函数图象,分析、探究反比例函数的性质,培养学生的探究、归纳及概括的能力。
2.体会数形结合的思想和分类讨论的思想。
情感目标:
培养学生交流合作的能力,通过学生在学习过程中获得成功的体验,增强学生学习数学的自信心。
教学重点:
反比例函数图象和性质。
教学难点:
由反比例函数图像探究出反比例函数的性质。
教学方法:
采用启发讲授,小组讨论,合作探究相结合的教学方式。
一、创设情境,引入新知
我们已经学习了正比例函数的哪些内容?
是如何研究的?
1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?
其性质有哪些?
正比例函数y=kx(k≠0)呢?
2.画函数图象的方法是什么?
其一般步骤有哪些?
应注意什么?
3.反比例函数的图象是什么样呢?
学生思考、回答,教师根据学生回答的情况加以补充,并将答案填写在黑板的表格中,强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。
二、观察探究,形成新知
1.反比例函数的图象是什么样的?
让学生根据解析式说出。
2.你能画出反比例函数的图象吗?
学生列表、描点、作图;展示学生作品;教师板书示范,并通过课件演示反比例函数图象的生成过程,给出双曲线的名称,学生画反比例函数的图像。
注意强调:
(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴
3、教师展示学生所画图象
(1)首先展示学生所画正确的函数图象
(2)展示部分学生作图错误图象
【师生互动】教师展示,学生观察图象,思考,反思怎样才能画得更好。
4.教师引导学生观察,类比正比例函数,归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。
(1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗?
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限?
(3)在每个象限内,y随x的变化如何变化?
5.反比例函数与的图象有什么共同特征?
小组合作讨论函数图象的特征,在教师的引导下,学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.
反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。
当时,图象在一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小。
当时,图象在二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大。
反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
三、应用举例,理解所学
例1、已知下列反比例函数:
图象两支分别在第一、三象限内的函数是___________;在其图象所在的每个象限内,y随x的增大而增大的函数有___________。
例2(补充)已知反比例函数的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限内y随x的变化情况?
分析:
此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即(k≠0)自变量x的指数是-1,二是根据反比例函数的性质:
当图象位于第二、四象限时,k<0,则m-1<0,不要忽视这个条件
略解:
∵是反比例函数∴m2-3=-1,且m-1≠0
又∵图象在第二、四象限∴m-1<0
解得且m<1则
四、巩固提高,应用新知
教师布置练习,巡视、检查
1、见课本练习。
2、已知反比例函数,分别根据下列条件求出字母k的取值范围
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大
四、课堂小结,布置作业
1.同学们谈谈这节课的学习收获。
(可以是学习内容、可以是学习方法、可以是情感价值观等方面
2.教师结合板书,进行学习总结
比较正比例函数和反比例函数的性质
正比例函数
反比例函数
解析式
图像
直线
双曲线
位置
k>0,一、三象限;
k<0,二、四象限
k>0,一、三象限
k<0,二、四象限
增减性
k>0,y随x的增大而增大
k<0,y随x的增大而减小
k>0,在每个象限y随x的增大而减小
k<0,在每个象限y随x的增大而增大
五.布置作业:
1、习题17.1第3、8题。
2、选做题
1.若函数与的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是
2.反比例函数,当x=-2时,y=;当x<-2时;y的取值范围是;
当x>-2时;y的取值范围是
3.已知反比例函数,当时,y随x的增大而增大,
求函数关系式
课后反思
第二课时
教学目标
知识与技能:
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
过程与方法:
经历观察、分析,交流的过程,逐步提高从函数图象中感受其规律的能力。
情感态度与价值观:
提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平,使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。
教学重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综
合问题
教学难点:
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质。
教学方法:
尝试练习教学法
教学过程
一、课堂引入
复习上节课所学的内容
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
有什么性质?
二、例习题分析
例1.见教材P44
分析:
反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。
例2.见教材P45
例3.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数(k<0)图象上,则a、b、c的大小关系怎样?
分析:
由k<0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,因为A、B在第二象限,且-1>-2,故b>a>0;又C在第四象限,则c<0,所以
b>a>0>c
说明:
由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k<0时y随x的增大而增大,就会误认为3最大,则c最大,出现错误。
此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。
例4.(补充)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
分析:
因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解析式,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1,第
(2)问根据图象可得x的取值范围x<-2或0<x<1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。
三、随堂练习
1.见课本P451、2题
2.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数的图象在()
(A)第一、三象限(B)第二、四象限
(C)第三、四象限(D)第一、二象限
四、反思小结,提炼知识
反比例函数的性质运用的注意点:
1、K的符号决定图像所在的象限,反之图像所在的象限决定K的符号。
2、在每一象限内,Y随X的变化情况。
3、要注意发挥图像的作用。
四、布置作业
1、习题17.1第7、9题。
2.已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,
求
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积
3、已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=
(1)k满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点?
(2)如果其中一个交点为(-1,9),求另一个交点坐标。
课后反思:
第三课时反比例函数复习
教学目标:
1、复习反比例函数的概念、图像和性质以及K的几何意义。
2、用待定系数法求反比例函数的关系式。
教学重点:
1、反比例函数图像和性质及它们的运用。
2、用待定系数法求反比例函数的关系式。
教学难点:
1、反比例函数K的几何意义的理解。
2、反比例函数与一次函数的综合运用。
教学方法:
归纳、讲解、变式演练
教学过程:
一、知识回顾
1.定义:
一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数。
还可以写成
2.反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3.反比例函数的图像
⑴图像的画法:
描点法
1列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
2描点(有小到大的顺序)
3连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是或)。
⑷反比例函数()中比例系数的几何意义是:
过双曲线()上任意引轴轴的垂线,所得矩形面积为。
4.反比例函数性质如下表:
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内,值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内,值随的增大而增大
5.反比例函数解析式的确定:
利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出)
6.“反比例关系”与“反比例函数”:
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7.反比例函数的应用
二、技能训练,提高认识
【例1】如果函数的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数,()即()又在第二,四象限内,则可以求出的值
【答案】由反比例函数的定义,得:
解得
时函数为
【例2】如图,在中,点是直线与双曲线在第一象限的交点,且,则的值是_____.
图
解:
因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.
则有.所以.
又点在第一象限,所以.
所以.而已知.
所以.
【例3】如果一次函数相交于点(),那么该直线与双曲线的另一个交点为()
【解析】
【例4】关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A(-2,1).
求:
(1)一次函数和反比例函数的解析式;
(2)两函数图象的另一个交点B的坐标;(3)△AOB的面积.
三、巩固练习
1.反比例函数的图像位于()
A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限
2.若与成反比例,与成正比例,则是的()
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定
3.对与反比例函数,下列说法不正确的是()
A.点()在它的图像上B.它的图像在第一、三象限
C.当时,D.当时,
4.已知反比例函数的图象经过点(1,-2),则这个函数的图象一定经过( )
A、(2,1)B、(2,-1)C、(2,4)D、(-1
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