高二数学 43数系的扩充第一课时Word文档格式.docx
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[生]为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数.
[师]无论是分数的确切定义和科学表示,还是分数的算法,最早建立起来的都是中国,这是中国对世界数学的杰出贡献之一.如在成书于公元1世纪的《九章算术》中,已经有约分、通分及分数的四则运算等知识.由此可见,我们的民族在过去曾有过辉煌,我们深信将来会更辉煌.
引进了分数之后,分份和度量等问题以及两个自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了,并且产生了小数.
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到了有理数集Q,显然,NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集.
[生](站起来抢过话题)负数的引进是中国古代数学家对数学的又一巨大贡献.
[师]回答得很好!
负数的概念引进后,整数集和有理数集就完整地形成了.但又遇到了新的挑战,在测量中,有些问题利用有理数的知识不能解决了,于是又要进行一次“数”的革命.
[生]这次革命中无理数诞生了.有些量与量的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.
[师]什么叫无理数?
[生]无理数就是无限不循环的小数.
[师]到这时,数集扩充到哪儿了?
[生]有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可以看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集.
[师]实数解决了开方开不尽的矛盾,在实数集中,不仅满足加法与乘法的运算律,而且加法、减法、乘法、除法(除数不为0)、乘方运算总可以实施.但是数集扩充到实数集R以后,像方程x2=-1,x2+x+1=0还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.这样,人们在解方程的过程中,为了满足负数开方的需要,又扩充到了复数,解决了原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾.请问是怎样引入的呢?
[生]当时数学家们规定i2=-1,(-i)2=i2=-1,得到i与-i是-1的平方根,即方程x2=-1的平方根为i和-i.在这个规定下,实系数一元二次方程或高次方程都可以求解了.这样数i叫做虚数单位.
[师]你们能求出x2=a的平方根吗?
(a为实数)
[生甲]可以.x=±
.
[生乙]不对.当a≥0时,x=±
;
但当a<
0时,例如a=-2,就无意义了,应该是x=±
.于是有当a≥0时,x=±
当a<
0时,x=±
[师]在复数集中,你们能求出x2+x+1=0的根吗?
[生]利用配方法求解.因为方程可化为,而的平方根为,所以,即.
[生]直接利用求根公式求解.先计算判别式Δ=1-4=-3,而-3的平方根为,所以.
[师]两位同学的解法都很好!
你们能把它推广到一般的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解情况吗?
[生]可以,利用上述两种方法都是可以的.当Δ=b2-4ac≥0时,方程有两个实根;
当b2-4ac<
0时,b2-4ac的平方根为±
所以方程的两个根为.
如果用配方法求解是a(x2+x)=-c,即a(x+)2=-c+,
∴.
当b2-4ac≥0时,;
0时,,它的平方根为.
∴原方程在复数集C中,当b2-4ac<
0时,有两个虚根,即.
[师]实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,且互为共轭.如果是高次的一元方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0,其中a0≠0,a0,a1,a2,…,an∈R,它的虚根会不会也是成对出现的呢?
[生]是的.根据我们的试验猜想应该成立.例如,x4-3x2-4=0有两个实根,也有两个虚根.
[师]这仅仅是一般情况,你能证明吗?
[生]利用共轭复数的性质来证明.设z是方程的一个虚根,则有
a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0.
对该等式两边同时取共轭有
a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an=0.
∴+++…++=0,
即+++…+an-1+an=0.(注:
因为a0,a1,a2,…,an∈R,故它们的共轭是实数)
∴是方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的又一个虚根.
∴方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0的虚根是成对出现的.
[师]证明过程很简捷,这就是一个代数基本定理.
Ⅲ.例题精讲
[例1]在复数集C中解下列方程:
(1)x2-x+1=0;
(2)x4+5x2+4=0.
[生]第
(1)题,利用求根公式:
Δ=1-4=-3.
∴方程x2-x+1=0的两个根分别为,.
[生]第
(2)题,利用因式分解得(x2+1)(x2+4)=0,∴x2=-1,x2=-4.由x2=-1得x1.2=±
i;
由x2=-4得x3.4=±
2i,
∴方程x2+5x+4=0的根为x1=i,x2=-i,x3=2i,x4=-2i.
[师]第
(2)题,先转化为二次方程,然后再求解.学会转化很重要.
[例2]在复数集C中解方程x2-2ix+2=0.
[生]这个方程不是实系数一元二次方法,但我们可以用配方法求解.x2-2ix+i2+3=0,即(x-i)2=-3.也就是(x-i)2=3i2,
∴x-i=±
i,即x1=i+i,x2=i-i.
故方程的解为x1=(1+)i,x2=(1-)i.
[生]也可以直接利用求根公式求解.
∵Δ=(-2i)2-8=-12,而-12的平方根为±
∴=(1±
)i.
[师]本例题是复系数一元二次方程,两位同学都能利用转化思想求解,是很好的.
Ⅳ.课堂练习
1.在复数集中解下列方程:
(1)x2+2x+3=0;
(2)2x2-4x+5=0.
2.在复数集中解下列方程:
(1)x2+ix-1=0;
(2)x2-ix+1=0.
[师]请四位同学板演.
[生甲]1.
(1)∵Δ=4-12=-8,
∴-8的平方根为±
2i.∴方程的解为x1.2=-1±
i,即原方程的解为x1=-1+i,x2=-1-i.
[生乙]1.
(2)∵Δ=16-80=-64,
∴原方程的两根为2±
4i.
[生丙]2.
(1)∵Δ=i2+4=3,
∴原方程的两根为.
[生丁]2.
(2)∵Δ=i2-4=-3,
Ⅴ.课堂小结
[师]本节课我们主要是研究数系的扩充,从数的形成和发展来看,数的概念是随着社会的进步、生产和科技的发展,以及数学自身发展而形成和发展的,是人类智慧的结晶,也是人类战胜自我、战胜自然的产物.你们能给出复数的分类表吗?
[生]
Ⅴ.课后作业
课本P156习题4.3 1、2、3
板书设计
4.3数系的扩充
一、数的形成与发展
N、Z、Q、R、C.
二、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ≥0两个实根;
Δ<
0,.
三、例题
1.
(1)x2-x+1=0;
2.x2-2ix+2=0.
四、练习
1.
(1)x2+2x+3=0;
2.
(1)x2+ix-1=0;
五、小结:
数系表.
2019-2020年高二数学7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修
一、参考例题
[例1](xx年全国)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是()
A.A1A2+B1B2=0B.A1A2-B1B2=0
C.=-1D.=1
解:
当B1,B2都不为零时,k1=-,k2=-
k1·
k2==-1
∴A1A2+B1B2=0.
当B1=0时,两直线垂直的充要条件是A2=0,当B2=0时,两直线垂直的充要条件是A1=0,所以满足A1A2+B1B2=0,故选A.
评述:
一定要注意A1,B1及A2,B2不能同时为零,也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直.
[例2](1997年全国)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a为()
A.-3B.-6C.-D.
若两直线平行,则
,解得a=-6.故选B.
此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系.
二、参考练习题
1.若原点在直线l上的射影是点P(-2,1),则直线l的方程是()
A.x+2y=0B.x+2y-4=0
C.2x-y+5=0D.2x+y+3=0
由已知,得kOP=-,再由l⊥OP,所以kOP·
kl=-1.
∴k1=2.
又直线l过点P(-2,1),所以l方程为:
y-1=2(x+2)
即2x-y+5=0.
故选C
2.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则下面四个结论,正确的个数是()
①AB∥CD②AB⊥CD③|AC|=|BD|④AC⊥BD
A.1B.2C.3D.4
∵kAB=,
kCD=.
∴AB方程为y-2=-(x+4)
即3x+5y+2=0∴C(12,6)不在AB上.
∴AB∥CD
又∵kAD=.
∴kAB·
kAD=-1
∴AB⊥AD.
∵|AC|=
|BD|=
∴|AC|=|BD|
∵kAC=
,
∴kAC·
kBD=-1
即AC⊥BD.
∴四个结论都正确,故选D.
评析:
此题属于数学中多选题型,需要逐一分析,主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况.
3.求经过点(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线L的方程.
解法一:
设直线L的斜率为k
∵直线L与直线2x+y-10=0垂直,
∴k·
(-2)=-1.∴k=.
又∵L经过点A(2,1),∴所求直线L的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.
解法二:
设与直2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.
∵直线L的经过点A(2,1),
∴2-2×
1+m=0.∴m=0.
∴所求直线L的方程为x-2y=0.
●备课资料
参考例题
[例1]等腰直角三角形,斜边中点是M(4,2),一条直角边所在的直线方程是y=2x,求另外两边所在的直线方程.
设斜边所在直线AB斜率为k,斜边与直角边所夹角为45°
所以tan45°
=
解得k=-3或k=,当k=-3时,斜边方程为y-2=-3(x-4)即3x+y-14=0
由
∴斜边上一个顶点为A(),另一个顶点B(),另一条直角边所在方程:
x+2y-2=0,当k=时,同理可得另两边所在的直线方程:
x-3y+2=0,x+2y-14=0.
[例2]光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6)点,求BC所在直线的方程.
如图所示,依题意,B点在原点O左侧,设坐标为(a,0).由入射角等于反射角,得∠1=∠2,∠3=∠4,
∴kAB=-kBC
又kAB=
∴kBC=,∴BC的方程y-0=(x-a)
即4x-(3+a)y-4a=0
令x=0,解得C点坐标为(0,),则kDC=
∵∠3=∠4.
∴
解得a=-,代入BC方程得
5x-2y+7=0.
另解:
由入射角等于反射角可知BC一定过点A关于x的对称点A'(-3,-4)及D点关于y轴的对称D'(1,6).
由两点式得A'D'方程即BC方程5x-2y+7=0.
[例3]等腰三角形两腰所在的直线方程为7x-y-9=0与x+y-7=0,它的底边所在直线通过点A(3,-8),求底边所在的直线方程.
设l1:
7x-y-9=0
l2:
x+y-7=0
直线l1、l2的斜率分别为k1,k2,则底边所在的直线l到l1的角与l2到l1的角为等腰三角形两底角,故相等.于是有
即:
(其中k为所求直线斜率)
解得:
k=-3或k=.
∴所求直线方程为3x+y-1=0,或x-3y-27=0.
设顶角平分线的斜率为k,由已知kl1=7,kl2=-1,于是有
解得k=或k=-3
由平面几何知识知道,顶角的平分线与底边垂直,所以底边的斜率为-3和.
故所求直线方程为
3x+y-1=0,或x-3y-27=0.
解法三:
设底边所在直线的方程为
y+8=k(x-3).
即kx-y-3k-8=0
由方程组
解得等腰三角形顶点B的坐标为(2,5).
由方程组(k≠7)
解得底边一端点C的坐标为
().
解得底边另一端点D的坐标为
由|BC|=|BD|,得
解得k=-3或k=
故所求直线方程为:
3x+y-1=0或x-3y-27=0.
一、两直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0的位置关系与二元一次方程组的关系.
(1)若二元一次方程组有惟一解,即有惟一解,则l1,l2相交.
(2)若二元一次方程组无解,则l1∥l2.
(3)若二元一次方程组有无数个解,则直线l1与l2重合.
二、两直线l1:
A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2,C2全不为0)的位置关系与方程系数的关系:
(1)l1∥l2,
(2)l1,l2相交,
(3)l1,l2重合.
三、参考例题
[例1]两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点在第四象限,则k的取值范围是()
A.(-6,2)B.(-,0)
C.(-,-)D.(,+∞)
解方程组
得交点为(-)
∵此点在第四象限
∴-,故选C.
如图,直线x+2y-4=0与x轴的交点是A(4,0),方程y=kx+2k+1表示的是过定点P(-2,1)的一组直线,其中PB为过点P且与x+2y-4=0平行的直线.
由于直线的交点在第四象限,因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间,其余率kPB<k<kPA
而kPA=-,kPB=-,
所以-<k<-故选C.
有关直线的交点问题,可以通过方程用代数的方法解决,也可结合图形用几何的方法解决,让学生予以体会.
[例2]若a+b+c=0,求证直线ax+by+c=0必经过一个定点.
证明:
由a+b+c=0,且a、b不同时为0,设b≠0,则a=-(b+c),
代入直线方程ax+by+c=0,
得(x-y)+(x-1)=0.
此方程可视为直线x-y=0与x-1=0交点的直线系方程.
得x=1,y=1,即两直线交点为(1,1).故直线ax+by+c=0过定点(1,1).
[例1](1994年全国)点(0,5)到直线y=2x的距离是()
A.B.C.D.
直线方程化为2x-y=0,由点到直线距离公式可得
d=.选B.
[例2](1992年全国文)原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标是()
A.(2,)B.()C.(3,4)D.(4,3)
取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验,D符合.
设对称点坐标P(x0,y0),则PO中点坐标符合已知直线方程,且kPO·
(-)=-1,
即
,解得P(4,3).选D
1.已知一直线l被两平行线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0所截线段长为3,且l过点(2,3),求l的方程.
若l斜率不存在,则与题意不符;
设直线的斜率为k,直线l的方程为:
kx-y+3-2k=0
由已知两条平行线间的距离为=3,而l与此两条平行线所截线段长为3,设l与两平行线的夹角为α,则tanα=1,两平行线斜率为-.
概括两条直线的夹角公式:
=1
解得k1=,k2=-7.
所以直线l的方程是
x-7y+19=0或7x+y-17=0.
2.在直线x-3y-2=0上求两点,使它与点(-2,2)构成等边三角形的三个顶点.
点(-2,2)到直线x-3y-2的距离为d=,即等边三角形的高为.
由此得等边三角形的边长为.
若设此三角形在直线x-3y-2=0上的顶点坐标为(x0,y0),则x0=3y0+2,所以其坐标为(3y0+2,y0)
于是有[3y0+2-(-2)]2+(y0-2)2=()2.
整理得(y0+1)2=.
∴y0=-1±
,x0=-1±
故两点为(-1+,-1+)和(-1-,-1-).
设过点(-2,2)的一条边所在直线的斜率为k.
因为等边三角形的内角为60°
,所以三条边中每两条边的夹角都为60°
,于是
tan60°
即.
解得k=或k=.
当k=时,这条边所在直线方程为:
y-2=(x+2),
解得x=-1-,y=-1-.
同理,当k=时,可求得另一顶点为
(-1+,-1+).
故两点为(-1+,-1+)和(-1-,-1-)
备课资料
一、直线系的概念
一般地.具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,它的方程叫做直线系方
程,直线系方程中除含变量x、y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参
变量.简称参数.
由于参数取向不同,就得不同的直线系.
二、几种常见的直线系
(1)过定点的直线系
①直线y=kx+b(其中k为参数,b为常数)
它表示过定点(O,b)的直线系,但不包括y轴(即x=0).
②经过定点M(x0,y0)的直线系
y-y0=k(x-x0)(k为参数)
它表示经过定点(x0、y0)的直线系,但不包括平行y轴的那一条(即x=x0).
(2)已知斜率的直线系
①y=kx+b(k为常数,b为参数)
它表示斜率为k的平行直线系.
②若已知直线L:
Ax+By+C=0.与L平行的直线系为Ax+By+m=0,(m为参数且m≠c).
③若已知直线L:
Ax+By+C=O,与L垂直的直线系为Bx-Ay+n=O(n为参数).
(3)经过两条直线交点的直线系
①经过两直线Ll:
A1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2≠O)与L2:
A2x+B2y+C2=O(A22+B22≠O)交点的直线系为m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数,m2+n2≠O).
当m=1,n=O时,方程即为L1的方程;
当m=O,n=1时,方程即为L2的方程.
②上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=O(其中λ为参数),但是,方程中不包括直线L2,这个参数方程形式在解题中较为常用.
三、常见的点关于直线的对称点有
①A(a,b)关于x轴的对称点为A'(a,-b);
②B(a,b)关于y轴的对称点为B'(-a.b);
③C(a,b)关于直线y=x的对称点为C'(b,a);
④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D'(-b,-a);
⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P'(2m-a,b);
⑥Q(a,b)关于直线.y=n的对称点为Q'(a,2n-b);
⑦点E(a,b)关于直线L:
Ax+By+C=O的对称点E'的求法:
令E'(x0、y0),则有
解此方程组.可得对称点E'的坐标.
四、常见的直线关于直线的对称直线有
设直线L:
Ax+By+C=O
①L关于x轴的对称的直线是Ax+B(-y)+C=O;
②L关于y轴的对称的直线是A(-x)+By+C=0;
③L关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=O;
④L关于直线y=-x对称的直线A(-y)+B(-x)+C=O.
五、针对高考试题特点.对于本节内容应注意的问题
1.认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题.
2.认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法.即:
1°
点关于点的对称问题;
2°
直线关于点的对称问题;
3°
点关于直线的对称问题;
4°
直线关于直线的对称问题.
3.在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.
4.平面解析几何的核心是坐标法。
它需要运用运动变化的观点,运用代数的方法研究几何问题,因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要注意与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系,本部分内容在这方面体现的也很明显.
5.两条直线的位置关系是解析几何的基础。
同时本部分内容所涉及的“数形结合”对
称”化归”等方法也是解析几何的重要思想方法.因此对于本部分内容要切实学好、学透、用活.
6.在历年的高考试题中,本部分内容也是常考问题的热点之一。
多以选择题、填空题
形式出
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- 高二数学 43数系的扩充第一课时 数学 43 扩充 第一 课时