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(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数
进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。
4、n次方根
(1)平方根,算术平方根:
设
a叫a的算术平方根。
a≥0,称
a叫a的平方根,
(2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;
负数没有平方根。
0的平方根是
0;
(3)立方根:
a叫实数a的立方根。
(4)一个正数有一个正的立方根;
有一个负的立方根。
0的立方根是0;
一个负数
三、实数与数轴
1、数轴:
规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原
点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系:
数轴上的每一个点都表示一
个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
第4页,共105页
四、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0;
负数小于0;
正数大于一切负数;
两个负数绝
对值大的反而小。
五、实数的运算
1、加法:
(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝
对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法:
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘,有一个因数为
0,积就为0;
若n个非
的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个
时,积为正;
当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
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(3)0除以任何数都等于
0,0不能做被除数。
5、乘方与开方:
乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序:
乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运
算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算,都要注意先定符号
后运算。
六、有效数字和科学记数法
×
10n
1、科学记数法:
为整数)。
N>0,则N=a
(其中1≤a<10,n
2、有效数字:
一个近似数,从左边第一个不是
0的数,到精确
到的数位为止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。
精确度的
形式有两种:
(1)精确到那一位;
(2)保留几个有效数字。
例题:
例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,且
b。
化简:
a
b
分析:
从数轴上
a、b
两点的位置可以看到:
a<0,b>0且
所以可得:
解:
原式
第6页,共105页
)
4
33
(),4
c()4
,比较a、b、c的
例2、若a
(
大小。
(4)3
1;
b
1且b
c>0;
所以容
易得出:
a<b<c。
略
例3、若
2互为相反数,求
a+b
的值
2与b
由绝对值非负特性,可知
0,又由题
a2
2
意可知:
所以只能是:
a–2=0,b+2=0
,即a=2,b=
–2,所以
例4、已知a与
b互为相反数,c与d互为倒数,
m
的绝对值
m2
是1,求
的值。
cd
原式=0
1
e
1)81994
0.1251994
(2)
例5、计算:
1994
(1)原式=(8
0.125)
第7页,共105页
(2)原式=
=e
第二章:
代数式
基础知识点:
一、代数式
1、代数式:
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式
子,叫代数式。
单独一个数或者一个字母也是代数式。
2、代数式的值:
用数值代替代数里的字母,计算后得到的
结果叫做代数式的值。
3、代数式的分类:
单项式
多项式
整式
有理式
分式
无理式
二、整式的有关概念及运算
1、概念
(1)单项式:
像x、7、2x2y,这种数与字母的积叫做单
项式。
单独一个数或字母也是单项式。
第8页,共105页
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单
项式的次数。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫单项式的系数。
(2)多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项:
多项式中每一个单项式都叫多项式的项。
一个
多项式含有几项,就叫几项式。
多项式的次数:
多项式里,次数最高的项的次数,就是这个
多项式的次数。
不含字母的项叫常数项。
升(降)幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从小
(大)到大(小)的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升
(降)幂排列。
(3)同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别
相同的项叫做同类项。
2、运算
(1)整式的加减:
合并同类项:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字
母及字母的指数不变。
去括号法则:
括号前面是“
+”号,把括号和它前面的“
+”
号去掉,括号里各项都不变;
括号前面是“–”号,把括号和它
前面的“–”号去掉,括号里的各项都变号。
添括号法则:
+”号,括到括号里的各项都不变;
括号前面是“–”号,括到括号里的各项都变号。
第9页,共105页
整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括
号,先去括号,再合并同类项。
(2)整式的乘除:
幂的运算法则:
其中
m、n都是正整数
n
mn
同底数幂相除:
同底数幂相乘:
mn
mn
幂的乘方:
a积的乘方:
(ab)
ab。
(a)
单项式乘以单项式:
用它们系数的积作为积的系数,对于相
同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的指数;
对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式:
就是用单项式去乘多项式的每一项,再
把所得的积相加。
多项式乘以多项式:
先用一个多项式的每一项乘以另一个多
项式的每一项,再把所得的积相加。
单项除单项式:
把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,
对于只在被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式:
把这个多项式的每一项除以这个单项,
再把所得的商相加。
乘法公式:
b;
平方差公式:
(a
b)(a
b)
(ab)
b,
完全平方公式:
2ab
(a
三、因式分解
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1、因式分解概念:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,
叫因式分解。
2、常用的因式分解方法:
(1)提取公因式法:
ma
mb
mc
m(a
c)
(2)运用公式法:
b2
b);
(ab)(a
x
(3)十字相乘法:
b)x
(x
a)(x
(4)分组分解法:
将多项式的项适当分组后能提公因式或
运用公式分解。
ax2
0)的两个根
(5)运用求根公式法:
若
是x1、x2,则有:
bx
c
0(a
ax
a(x
x1)(xx2)
3、因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或
十字相乘法;
(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的
再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法。
四、分式
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A
B
1、分式定义:
形如
的式子叫分式,其中
A、B是整式,且
B中含有字母。
(1)分式无意义:
B=0时,分式无意义;
意义。
B≠0时,分式有
(2)分式的值为
0:
A=0,B≠0时,分式的值等于
0。
(3)分式的约分:
把一个分式的分子与分母的公因式约去叫
做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。
(4)最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做
最简分式。
分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式。
(5)通分:
把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的
同分母分式的过程,叫做分式的通分。
(6)最简公分母:
各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
(7)有理式:
整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质:
BM
M
AM
(1)
(M是0的整式);
(2)
(M是
AA
BB
0的整式)
(3)分式的变号法则:
分式的分子,分母与分式本身的符号,
改变其中任何两个,分式的值不变。
3、分式的运算:
(1)加、减:
同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;
异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减。
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(2)乘:
先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子
乘以分子,分母乘以分母。
(3)除:
除以一个分式等于乘上它的倒数式。
(4)乘方:
分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念:
式子
a(a
0)叫做二次根式。
(1)最简二次根式:
被开方数的因数是整数,因式是整式,
被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
(2)同类二次根式:
化为最简二次根式之后,被开方数相同
的二次根式,叫做同类二次根式。
(3)分母有理化:
把分母中的根号化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:
把两个含有二次根式的代数式相乘,如果
它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因
式(常用的有理化因式有:
a与
a;
d
与
d)
ab
2、二次根式的性质:
0)
(1)
a)
a(a
0);
(2)
(3)
b(a≥0,b≥0);
(4)
a(ab
0,b
3、运算:
第13页,共105页
(1)二次根式的加减:
将各二次根式化为最简二次根式后,
合并同类二次根式。
(2)二次根式的乘法:
ab(a≥0,b≥0)。
a(ab
(3)二次根式的除法:
二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式。
一、因式分解:
1、提公因式法:
例1、24a2(x
y)6b(y
x)
先提公因式,后用平方差公式
[规律总结]因式分解本着先提取,后公式等,但应把第一个
因式都分解到不能再分解为止,往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查,如果还能分解,应继续分解。
2、十字相乘法:
36;
(2)(xy)2
例2、
(1)x4
5x2
4(x
y)
12
x2和(x+y)的二次三项式,先用十字相乘法,
可看成是
初步分解。
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[规律总结]应用十字相乘法时,注意某一项可是单项的一字
母,也可是某个多项式或整式,有时还需要连续用十字相乘法。
3、分组分解法:
2x
例3、
先分组,第一项和第二项一组,第三、第四项一组,
后提取,再公式。
[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组,分
组的目的是为了用提公因式,十字相乘法或公式法解题。
4、求根公式法:
x2
例4、
5x
5
二、式的运算
巧用公式
例5、计算:
(1
(1
运用平方差公式因式分解,使分式运算简单化。
第15页,共105页
[规律总结]抓住三个乘法公式的特征,灵活运用,特别要掌
握公式的几种变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运算简便准确。
2、化简求值:
(3x
5x)
(4y
7xy),其
例6、先化简,再求值:
中x=–1y=1
[规律总结]一定要先化到最简再代入求值,注意去括号的法
则。
3、分式的计算:
2a
6
16
a3
例7、化简
3)
9
–a
3可看成
[规律总结]分式计算过程中:
倒转分子、分母;
(2)注意负号
1)除法转化为乘法时,要
4、根式计算
例8、已知最简二次根式
求b的值。
2b1和
7b是同类二次根式,
根据同类二次根式定义可得:
2b+1=7
–b。
第16页,共105页
[规律总结]二次根式的性质和运算是中考内容,特别是二次
根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。
第三章:
方程和方程组
一、方程有关概念
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程
的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:
求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:
在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫
做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
(1)一元一次方程的标准形式:
a、b是已知数,a≠0)
ax+b=0
(其中
x是未知数,
(2)一玩一次方程的最简形式:
b是已知数,a≠0)
ax=b(其中x是未知数,a、
第17页,共105页
(3)解一元一次方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、
合并同类项和系数化为
1。
(4)一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程
(1)一元二次方程的一般形式:
ax2
未知数,a、b、c是已知数,a≠0)
0(其中x是
(2)一元二次方程的解法:
法、因式分解法
直接开平方法、配方法、公式
(3)一元二次方程解法的选择顺序是:
先特殊后一般,如果
没有要求,一般不用配方法。
(4)一元二次方程的根的判别式:
4ac
当Δ>0时
方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0时
方程有两个相等的实数根;
当Δ<
0时
方程没有实数根,无解;
当Δ≥0时
方程有两个实数根
(5)一元二次方程根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程
0的两个根,那么:
,
x1x2
x1
x2
(6)以两个数
x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为
1)
是:
x
(x1
x2)x
三、分式方程
第18页,共105页
(1)定义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(2)分式方程的解法:
一般解法:
去分母法,方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法:
换元法。
(3)检验方法:
一般把求得的未知数的值代入最简公分母,
使最简公分母不为
0的就是原方程的根;
使得最简公分母为
的就是原方程的增根,增根必须舍去,也可以把求得的未知数的
值代入原方程检验。
四、方程组
1、方程组的解:
方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组:
求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解
方程组
3、一次方程组:
(1)二元一次方程组:
a1x
a2x
b1y
b2y
c1
c2
一般形式:
(a1,a2,b1,b2,c1,c2不全为0)
解法:
代入消远法和加减消元法
解的个数:
有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数
的解。
(2)三元一次方程组:
代入消元法和加减消元法
第19页,共105页
4、二元二次方程组:
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的
方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。
(2)解法:
消元,转化为解一元二次方程,或者降次,转化
为二元一次方程组。
考点与命题趋向分析
一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程:
(1)1(x
2;
(2)2x2
3x
4(x3)2
25(x2)2
(1)用直接开方法解;
(2)用公式法;
(3)用因式分
解法
(xm)2
[规律总结]如果一元二次方程形如
n(n0),就可以用
直接开方法来解;
利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方
程,运用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化成一般形式。
例2、解下列方程:
b)0(x为未知数
a(3x2a
);
(1)
2ax
8a
第20页,共105页
(1)先化为一般形式,再用公式法解;
十字相乘法因式分解后可求解。
2)直接可以
[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区
别,在用公式法时要注意判断△的正负。
二、分式方程的解法:
例3、解下列方程:
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