《一元二次方程》总复习练习中考真题题型解析Word文档下载推荐.docx
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步骤是:
①将方程右边化为 0;
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积;
③令每个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法:
提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项:
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是 一元二次方程.
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意:
①先化方程为一般形式再确定a,b,c 的值;
②若b2-4ac<0,则方程无解.
⑶ 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如
-2(x+4)2 =3(x+4)中,不能随便约去 x+4。
⑷ 注意:
解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一 元二次方程的一般顺序是:
开平方法→因式分解法→公式法.
6.一元二次方程解的情况
⑴b2-4ac≥0 ⇔方程有两个不相等的实数根;
⑵b2-4ac=0 ⇔方程有两个相等的实数根;
⑶b2-4ac≤0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍:
当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2-4ac 解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点3:
根与系数的关系:
韦达定理
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,x +x=— b ,x
ﻮ
x=c。
12ﻩa
ﻮ1 2a
利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形),如 x2+x2 =(x
ﻮ+x)2-2x x
12ﻩ1ﻩ21 2
解题小诀窍:
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用
韦达定理。
二、经典考题剖析:
【考题 1-1】下列方程是关于x的一元二次方程的是()
1
A.ax²
+bx+c=0B.k²
x+5k+6=0ﻩC.3x²
+2x+
x
=0ﻩD.(k²
+3)x²
+2x+1=0
【考题 1-2】解方程:
x²
+2x-3=0
【考题1-3】已知方程 5x2+kx-10=0一个根是-5,求它的另一个根及k的值. 三、针对性训练:
1、下列方程中,关于x的一元二次方程是()
A.3(x +1)2=2(x+1)
B. 1+1-2 =0
x2y
C.ax2 +bx +c=0
D.ﻮx2+2x =x2-1
2、若 2x²
+3 与2x-4互为相反数,则x的值为ﻩ
3、用配方法解下列方程时,配方有错误的是()
A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100ﻩB.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0 化为 (t-7)2 =81
4ﻩ16
ﻮD.3y2-4y-2=0化为(y-2)2=10
3ﻩ9
4、关于 x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2 -2m-3=0
ﻮ的一个根为x=0,则 m的值为()
A.m=3或m=-1B.m=-3或m= 1ﻩC.m=-1ﻩD.m=-3
5、(2009济南)若 x1 ,x2是方程x²
-5x+6=0的两个根,则x1+x2 的值是()A.1B.5ﻩC.-5D.6
6、(2009眉山)若x1,x2是方程x²
-3x-1=0 的两个根,则
ﻮ1+1的值为(ﻩ)
1
A.3B.-3C.
3
D.-
3
x1x2
12
7、(2009潍坊)若x1 ,x2是方程x²
-6x+k-1=0的两个根,且x2+x2=24 ,则k 值为
(ﻩ)
A.8B.-7ﻩC.6ﻩD.5
8、(2009成都)若方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是()A.k>-1ﻩB.k>
-1 且 k≠0ﻩC. k<1D.k<
1且k≠0
9、已知一元二次方程x2 +2x-8=0的一根是2,则另一个根是ﻩ.
10、若关于x 的方程-x2+(2k+1)x+2-k 2=0有实数根,则k的取值范围是ﻩ
11、解方程:
(1)
ﻮ2(2x-3)2=32;
(2)3y(y-1)=2(y-1)
(3)3(4x²
-9)-(2x-3)=0;
(4)x²
-6x+8=0
12、(2009鄂州)关于 x的方程 kx 2+(k+2)x+k=0有两个不相等的实数根,
4
(1)求 k的取值范围;
(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于 0?
若存在求出 k 的值;
不存在说明理由。
考点:
一元二次方程的应用
一、考点讲解:
1.构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下:
⑴与几何图形有关的应用:
如几何图形面积模型、勾股定理等;
⑵ 有关增长率的应用:
此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新数据,常见的等量关系是a(1±
x)2=b,其中 a表示增长(降低)前的数据,x表示增长率(降
低率),b表示后来的数据。
所得解中,增长率不为负,降低率不超过 1。
⑶ 经济利润问题:
总利润=(单件销售额-单件成本)×
销售数量;
或者,总利润=总销售额-总成本。
⑷ 动点问题:
此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程。
2.注重解法的选择与验根:
在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.
二、经典考题剖析:
【考题 1】
(2009、深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为130平方米的花圃(如图1-2-1),打算一面利用长为15米的仓库墙面,
三面利用长为33米的旧围栏,求花圃的长和宽.解:
设与墙相接的两边长都为x米,则另一边长为(33-2x)米,
依题意得x(33-2x)=130,
2x2-33x +130=0∴x=10
x=13
12ﻩ2
又∵ 当x1=10时, (33-2x)=13
13
当 x2=
时, (33-2x)=20>15
2
∴x=不合题意,舍去.∴x =10
答:
花圃的长为13 米,宽为 10 米.
【考题 2】
(2009、襄樊)为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到12.1平方米,若每年的增长率相同,则年增长率为()
A.9﹪ﻩB.10﹪C. 11﹪D.12﹪
解:
设年增长率为x,根据题意得10(1+x)2=12.1,
解得x1=0.1,x2=-2.1. 因为增长率不为负,所以x=0.1。
故选D。
【考题 3】
(2009、海口)某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日
销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
解:
设每千克水果应涨价 x 元,依题意,得(500-20x)(10+x)=6000.
整理,得x2-15x+50=0.解这个方程,x1 =5,x2=10.要使顾客得到实惠,应取x=5. 答:
每千克应涨价5元..
点拨:
①此类经济问题在设未知数时,一般设涨价或降价为未知数;
②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.
【考题 4】如图,在△ABC 中,∠B=90°
AB=5,BC=7,点 P 从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动,点 Q 从B 点开始沿BC 边向点 C以 2cm/s的速度移动.
(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发,经过几秒钟,△PBQ的面积等于4?
(2)如果点 P、Q分别从A、B 两点同时出发,经过几秒钟,PQ 的长度等于5?
(1)设经过x 秒钟,△PBQ的面积等于4, 则由题意得AP=x,BP=5-x,BQ=2x,
1ﻩ1
由ﻩBP·
BQ=4,得
22
(5-x)·
2x=4,解得,x1=1,x 2 =4.
当x=4时,BQ=2x=8>7=BC,不符合题意。
故x=1
(2)由BP
+BQ
ﻮ2ﻩ2
=5得(5-x)
ﻮ2
+(2x)
ﻮ2
=5,
解得x1=0(不合题意),x2=2.
所以2秒后,PQ的长度等于5。
三、针对性训练:
1.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三便宜 0.5元,结果小明的妈妈只比上次多花2元钱,却比上次多买了2瓶酸奶,问她上周三买了几瓶?
2.合肥百货大搂服装柜在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利
40 元。
为了迎接“十·
一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加
盈利,尽快减少库存。
经市场调查发现:
如果每件童装降价4 元,那么平均每天就可多
售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元,那么每件童装应降价多少?
3.在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?
20m
32m
4.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄,到期后自动转存.今年到期扣除利息税
(利息税为利息的20%),共取得5145元.求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%)5.如图12-3,△ABC中,∠B=90°
,点P 从A点开始沿 AB 向点B以1cm/s 的速度移动,
点Q 从B点开始沿 BC边向C点以2cm/s的速度移动。
(1)如果 P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟,使△ABQ的面积等于8cm²
?
(2)如果 P、Q分别从A、B 同时出发,并且P到 B后又继续在 BC 边上前进,Q 以C 后又继续在AC 边上前进,经几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm²
。
依题意,得:
ﻮ(6-x)·
2x=8
解这个方程得:
x1=2,x2=4
即经过2s,点P到距离B 点4cm处,点Q到距离B点4cm处;
经过4s,点P到距离 B点2cm 处,点Q到距离B点8cm 处。
故本小题有两解。
(2)设经过x秒,点P移动到BC上,且有 CP=(14-x)cm,点Q移动到CA上,且命名CQ=(2x-8)cm,过Q 作 QD⊥CB于D。
∵△CQD∽△CAB,
QDﻩAB
6(2x-8)
∴ﻩ=
2x-8
,即QD=
AC
ﻮ。
10
6(2x-8)
依题意,得:
ﻮ(14-x)·
ﻮ=12.6,
x1=7,x2=11
经过7s,点P 在BC距离C点 7cm 处,点 Q在 CA上距离C点6cm处,使S△PCQ=12.6cm2经过11s,点P在BC距离 C点3cm处,点Q在CA上距离C 点 14cm 处, ∵14>0,点
Q已超出CA 范围,此解不存在。
故本题只有一解。
中考真题
1.钟老师出示了小黑板上的题目(如图 1-2-2)后,小敏回答:
“方程有一根为 1”,小聪
回答:
“方程有一根为2”.则你认为()A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确 C.两人回答都正确ﻩD.两人回答都不正确
2.解一元二次方程x2 -x-12=0,结果正确的是(ﻩ)
A.x 1 =-4,x 2 =3ﻩB.x1=4,x2=-3ﻩC.x1=-4,x2=-3D.x1=4,
x2=3
3.方程 x(x +3) =(x+3)解是()
A.x1 =1ﻩB.x 1 =0,x2=-3C.x 1=1,x2 =3ﻩD.x 1=1,x2=
-3
4.若t是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根,则判别式Δ= b2-4ac和完全平方式 M=(2at+b)2的关系是()
A.Δ=MﻩB.Δ>MﻩC.Δ<MD.大小关系不能确定
5.方程
ﻮx2(x-1)=0
的根是()
A.0B.1C.0,-1ﻩD.0,1
6.已知一元二次方程x 2 -2x-7=0的两个根为 x,x
ﻮ,则x1+ x2
ﻮ的值为(ﻩ)
A.-2B.2C.-7D.7
7.已知x 1、x 2是方程x
ﻮ1
-3x+1=0的两个实数根,则
x1
ﻮ+1的值是(ﻩ)
x2
A、3ﻩB、-3C、
ﻮD、1
8.用换元法解方程(x2 +x)2+(x2 +x)=6时,如果设x2 +x=y,那么原方程可变形为(ﻩ)
A、y2+y-6=0ﻩB、y2-y-6=0C、y2-y+6=0ﻩD、y2+y+6=09.方程x2-5x=0 的根是()
A.0ﻩB.0,5ﻩC.5,5ﻩD.510.若关于x的方程x2+2x+k=0有实数根,则(ﻩ)
A.k<1,B.k≤1ﻩC.k≤-1D.k≥-1
11.如果一元二次方程x2-4x+2=0的两个根是 x,x
那么 x1+x 2
等于()
A.4ﻩB.ﻩ-4ﻩC.2ﻩD.ﻩ-2
12.用换元法解方程(x 2-x)-
ﻮx2 -x=6时,设
x2 -x =y,那么原方程可化为(ﻩ)
A.y2+y-6=0B.
ﻮy2+y+6=0C.
y2-y-6=0ﻩD.
y2-y+6=0
13.设x1,x 2是方程2x
+3x-2=0的两个根,则x 1 +x2 的值是ﻩ()
A.-3B.3C.-D.
3ﻩ3
14.方程 x3 -x=0的解是(ﻩ)
A.0,1B.1,-1C.0,-1ﻩD.0,1,-1
(x)2-5x
ﻮ+4=0时,若设x
=y,则原方程
15.用换元法解方程
x +1
ﻮx+1ﻩx+1
ﻮ__
16.两个数的和为6,差(注意不是积)为 8,以这两个数为根的一元二次方程是ﻩ
17.方程x2-x=0的解是
18.等腰△ABC中,BC=8,AB、BC的长是方程x2-10x+m=0的两根,则m的值是ﻩ.
19.关 于x的一元二 次 方程ax2+2x+1=0的两个 根同号 ,则a的取值范 围是
_.
20.解方程
2x2 -9x+5=x-3
21.解方程:
x 3-2x2-3x=0.
⎧y=x+1
22.解方程组:
⎨
⎩x2 +y2 =5
23.解方程:
2(x-1) 2+5(x-l)+2=0.
24.解方程:
x2 -2x-2=0
25.解方程:
x2 +5x+3=0
26.已知关于x 的一元二次方程 x2 -(k+1)x-6=0的一个根是2,求方程的另一根和k的值.
27.已知关于x的一元 二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0 的一个根为0,求k的值.
中考预测题
一、基础经典题(44分)
(一)选择题(每题4分,共 28 分)
【备考1】如果在-1是方程x2+mx-1=0的一个根,那么m的值为() A.-2B.-3C.1ﻩD.2
【备考2】方程2x(x-3)=5(x -3)的解是(ﻩ)
A.x=3
B.x=
5C.x =3, x =5
2ﻩ122
x2 +mx+n =0
D.x=-3
【备考3】若n是方程
的根,n≠0,则m+n等于()
A.-7ﻩB.6C.1ﻩD.-1
【备考 4】关于x的方程
ﻮx2 +mx +n =0
的两根中只有一个等于0,则下列条件中正确的是()
A.m=0,n=0B.m=0,n≠0ﻩC.m≠0,n=0D.m≠0,n≠0
【备考5】以5-2ﻩ6和5+2ﻩ6为根的一元二次方程是()
A.x2-10x+1=0
B.x2+10x+1 =0
C.x2-10x-1=0
ﻮD.x 2 +10x -1 =0
【备考6】已知x1,x2 是方程 x
-x-3=0 的两根,那么 x2
+x2值是(ﻩ)
49
A.1B.5C.7D、
4
【备考7】方程1x2-(m-3)x +m2 =0
ﻮ有两个不相等的实根,那么m的最大整数是(ﻩ)
A.2B.-1ﻩC.0D.l
(二)填空题(每题4 分,共 16分)
【备考8】已知方程 x2+3x+1=0的两个根为x,x
那么(1+x1
ﻮ)(1+x2
)的值等于
.
【备考9】已知方程x2 +px+l=0的一个实数根的倒数恰是 它本身,则P 的值是.
【备考10】如图,在□ABCD 中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a且 a 是方程 x2 +2x-3=0 的根,则□ABCD 的周长是ﻩ
【备考11】关于 x的方程 (k+1)x2+3(k-2)x+k2-42=0的一次项系数是-3,则 k=ﻩ
【备考 12】关于x 的方程(a+1)x
ﻮa2-2a-1
+x-5=0是一元二次方程,则a=.
三、实际应用题(9分)
本题为增长率问题,一般形式为 a(1+x)²
=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量
【备考13】2003年 2月 27 日《广州日报》报道:
2002年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比)为4.65%,尚未达到国家A级标准,因此,市政 府决定加快绿化建设,力争到2005 年底自然保护区覆盖率达到8%以上,若要达到最低目标8%,则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少?
(结果保留三位有效数字).
14.据媒体报道,我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000万人次,2011 年公民出境旅
游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答
下列问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测 2012年我国公民出境旅游总人 数约多少万人次?
15.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采
取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1 元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价 x元.据此规律,请回答:
(1)商场日销售量增加ﻩ件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);
(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到 2100元?
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