高中数学12任意角的三角函数122单位圆与三角函数线优化训练新人教B版必修.docx
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高中数学12任意角的三角函数122单位圆与三角函数线优化训练新人教B版必修
2019-2020年高中数学1.2任意角的三角函数1.2.2单位圆与三角函数线优化训练新人教B版必修
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.若单位圆的圆心与坐标原点重合,有下列结论:
①单位圆上任意一点到原点的距离都是1;②单位圆与x轴的交点为(1,0);③过点(1,0)的单位圆的切线方程为x=1;④与x轴平行的单位圆的切线方程为y=1.以上结论正确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解析:
单位圆与x轴的交点为(1,0)和(-1,0);与x轴平行的单位圆的切线方程为y=±1,所以②④错误.显然①③正确.
答案:
B
2.对角α的正弦线叙述错误的是()
A.正弦线的起点为坐标原点
B.正弦线为有向线段
C.正弦线的长度为不大于1的正数
D.当角α的终边不在坐标轴上时,正弦线所在直线平行于y轴
解析:
正弦线的长度有可能为0,所以C答案错误.
答案:
C
3.如图1-1-2,PM⊥x轴,AT⊥x轴,则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________,其中OM=___________,MP=____________,AT=____________.
图1-1-2图1-1-3
解析:
根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出.
答案:
cosαsinαtanα
4.如图1-1-3,分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.
解:
根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.
正弦线、余弦线、正切线分别是、、,并且sinβ>cosβ>tanβ.
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.若-<α<,从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是()
图1-1-4
A.sinα<tanα<cosαB.tanα<sinα<cosα
C.cosα<sinα<tanαD.sinα<cosα<tanα
解析:
在单位圆中,作出<α<内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线,
||<||<||,考虑方向可得<<.
答案:
D
2.若角α的正切线位于第一象限,则角α属于()
A.第一象限B.第一、二象限
C.第三象限D.第一、三象限
解析:
由正切线的定义知,当角α是第一、三象限角时,正切线都在第一象限.
答案:
D
3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为()
A.(,)∪(π,)B.(,π)
C.(,)D.(,π)∪(,)
解析:
在单位圆中画三角函数线,如图所示,要使在(0,2π)内sinx>cosx,则x∈(,).
答案:
C
4.如果cosα=cosβ,则角α与β的终边除可能重合外,还有可能()
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称D.关于原点对称
解析:
利用单位圆中的余弦线即得,如图.
答案:
A
5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明:
当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1),所以|sinα|+|cosα|=1,当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sinα|+|cosα|≥1.
6.设<α<π,角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a、b、c,由图比较a、b、c的大小.
解:
如图所示,|MP|<|OM|<|AT|,而a=|MP|,b=-|OM|,c=-|AT|,∴a>b>c.
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1.(xx安徽合肥统考,1)sin4·tan7的值()
A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0
解析:
4弧度的角是第三象限角,7弧度的角是第一象限角,由单位圆中的正弦线和正切线知sin4<0,tan7>0,所以sin4·tan7<0.
答案:
B
2.若θ∈(0,),则sinθ+cosθ的一个可能值是()
A.B.C.D.1
解析:
由θ∈(0,)知sinθ+cosθ>1,A、B、C、D四个选项中仅有>1,故选C.
答案:
C
3.适合cosα≥的角α的集合是()
A.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)B.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)D.[2kπ+,2kπ-](k∈Z)
解析:
在单位圆中作图,如图,α的范围是2kπ-≤α≤2kπ+.
答案:
C
4.若sinα=sinβ,则角α与β的终边除可能重合外,还有可能()
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称D.关于原点对称
解析:
利用单位圆中的正弦线即得,如图.
答案:
B
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1);
(2).
解:
如图,正弦线:
,余弦线:
,正切线:
.
(1)
(2)
6.利用三角线,求满足sinx≤的角x的集合.
解:
由图可知,值为的正弦线和,易得出∠M1OP1=,∠M2OP2=,故满足sinx≤的x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
7.求函数y=的定义域.
解:
如图,因为1-2cosx≥0,所以cosx≤,
所以x∈[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
8.已知关于x的方程(2sinα-1)x2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根,试求角α的取值范围.
解:
设方程的两根为x1、x2,这个方程有两个不相等正根必满足的条件为
即
化简得
故<sinα<.
利用三角函数线,在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置,即图中两阴影部分的交集,故2kπ+<α<2kπ+或2kπ+<α<2kπ+,k∈Z,即α的取值范围是{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}∪{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}.
9.设α是第二象限的角,作α的正弦线、余弦线、正切线,由图证明cos2α+sin2α=1.
证明:
如图,=cosα,=sinα,在Rt△MOP中,|OM|2+|MP|2=|OP|2=1,
所以cos2α+sin2α=1.
10.设α为任意角,求|sinα|+|cosα|的取值范围.
解:
由正弦线、余弦线及三角形三边关系,可知|sinα|+|cosα|的取值范围为[1,].
11.已知α∈(0,),求证:
sinα<α<tanα.
证明:
在单位圆中,利用三角函数线的定义,有=sinα,=tanα.又由α=,
显然S△OAP<S扇形OAP<S△OAT,即··<··<··.化简得<α<,所以sinα<α<tanα.
2019-2020年高中数学1.2任意角的三角函数1.2.2单位圆与三角函数线同步训练新人教B版必修
知识点一:
单位圆与三角函数线
1.下列判断中错误的是
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和2π+α具有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2.已知角α的终边和单位圆的交点为P,则点P的坐标为
A.(sinα,cosα)B.(cosα,sinα)
C.(sinα,tanα)D.(tanα,sinα)
3.如图,在单位圆中,角α的正弦线、正切线完全正确的是
A.正弦线P,正切线
B.正弦线M,正切线
C.正弦线M,正切线
D.正弦线P,正切线A
4.对三角函数线,下列说法正确的是
A.对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B.有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C.任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不一定存在
D.任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在
5.已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边在__________.
知识点二:
三角函数线的简单应用
6.依据三角函数线,作出如下四个判断:
①sin=sin;②cos(-)=cos;③tan>tan;④sin>sin.其中判断正确的有
A.1个B.2个
C.3个D.4个
7.在(0,2π)内,使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A.(,)∪(π,)
B.(,π)
C.(,)
D.(,π)∪(,)
8.若角α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是
A.sinα+cosαB.tanα+sinα
C.cosα-tanαD.sinα-tanα
9.借助三角函数线比较下列各组值的大小.(由大到小排列)
(1)sin,sin,sin:
__________;
(2)cos,cos,cos:
__________;
(3)tan,tan,tan:
__________.
10.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1);
(2)-.
能力点一:
利用三角函数线比较三角函数值大小
11.如果0<α<,那么下列不等式成立的是
A.cosα C.sinα 12.若-<α<-,从单位圆中的三角函数线观察sinα,cosα,tanα的大小是__________. 13.用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________. 能力点二: 利用三角函数线确定角的范围 14.使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 A.[-,]B.[-,] C.[-,]D.[0,π] 15.角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同,那么α的值为 A.或B.或 C.或D.或 16.y=的定义域为__________. 17.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sinα≥; (2)cosα≤-. 能力点三: 三角函数线的综合应用 18.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限内,若α∈[0,2π),求α的取值范围. 19.当α=3rad时,利用三角函数线分析点P(sin3-cos3,sin3+cos3)在第几象限. 20.求函数y=+lg(2cosx-1)的定义域. 21.利用三角函数线证明若0<α<β<,则有β-α>sinβ-sinα. 答案与解析 基础巩固 1.B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上 6.B 分别作出各个角的三角函数线,由图知sin=-sin,cos(-)=cos,tan 7.C 当α的终边在直线y=x上时,直线y=x与单位圆的交点为(,),(-,-). 此时,α=和,如图所示. 当α∈(,)时,恒有MP>OM, 而当α∈(0,)∪(,2π)时, 则有MP 8.B 如下图,作出sinα、cosα、tanα的三角函数线,显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|, ∵MP>0,AT<0, ∴MP<-AT. ∴MP+AT<0,即sinα+tanα<0. 9. (1)sin>sin>sin (2)cos>cos>cos (3)tan>tan>tan 10.解: 作图如下. (1) 所以,的正弦线为M,余弦线为O,正切线为A. (2) 所以,-的正弦线为M,余弦线为O,正切线为A. 能力提升 11.C 12.tanα>cosα>sinα 13.sin1>cos1 14.A 15.C 16.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) 由函数有意义,x需满足1+2cosx≥0,即cosx≥-. 根据单位圆中的三角函数线,可得满足条件的角x的范围是2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z). 17.解: (1)作直线y=交单位圆于A、B两点
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