精品课件湘教数学必修2第4章451Word格式.docx
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a——b=(兀1—兀2,Vi—丿2):
2伉=0乂1,AVi):
a〃方Q兀力一兀*1=0•2.向量加法的运算律有交换律和结合律•
知新益能
1.从任一点0出发作OA=a,OB=b,则射线0A,OB所夹的最小非负角就是向量a"
的夹角〈。
丿〉,取值在[0,刊的范围内.
2・向量的数量积
(1)数量积定义
设〃,〃是任意两个向量,S,〃〉是它们的夹角,取值范围[0,it\.则定义a・0=lall0lcos〈a,b)称为。
与方的数量积.
(2)投影值的定义
(a)b=\a\cos〈a、b}称为a在0上的投影值.
3・向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数2,贝!
)
问题探究
1.如何理解向量的夹角?
提示:
(1)对两个不共线向量b,通过平移使它们的起点相同,这两个共起点的向量的夹角与方角.
==|
(2)两向量垂置可理解为这两个向量所在的直线互相垂直,两向量平行(或共线),可理解为这两个向量的夹角为0°
或180°
・
2.E的符号与。
和〃的夹角〃有什么关系?
提示:
(1)若a・〃>0为锐角或零角;
(3)若a・XQS为钝角或平角.
3.如何证明数乘向量的数量积的运算律?
⑴当2=0时,结论显然成立;
(2)当2>
0时,〈加,b)=(a,2b)=(a,方〉,由此易证(加)•方=2(a•方)=a•(肋)=2lalIZdcos(a,b);
⑶当久VO时,〈加,b}=S,肋〉
=兀—〈。
b},
cos〈加,b)=cos{a,劝〉=—cos{a,b},/.(2«
)•&
=LZalIZdcos〈加,b)=—2lalIZd(—cos〈a,b})
=2Xa\Iftlcos{a,b),同理a•(肋)=久血1Iftlcos{a,b>
・■•久(a•方)=(Xa)*b=a・(Ab).
课堂互动讲练
考点突破
根据平面向量数量积的定义,找清模及向量的夹角,根据公式法则计算.
及向量的夹角,根据公式法则计算.
已知血1=4,I方1=3,分别求满足下列条件的a与〃
的数量积.
(2)a丄加
(3加与〃的夹角为60°
【思路点拨】按a・〃=lalIZdcos〃进行计算.
【解】⑴当a与0同向时,a•方=血卜1方1=12;
当a与〃反向时,a'
b=—\aV\b\=—\2・
(2)因为a丄〃,所以〃与〃的夹角为90。
,故询=laiIZdcos90°
=0.
1
(3)
a•方=lal0lcos60°
=12X刁=6.
与方的夹角;
②分别求lai,I方I;
③求数量积,即a•方=lalblcos仇应注意书写时a与方之间用“•”连接,
而不能用“X”连接,也不能省去.
自我挑战1
(1)已知\a\=5,a与b的夹角为60°
求a在方方向上的投影;
(2)已知a-b=3,\a\=5f求方在。
方向上的投影.
解:
⑴°
在方方向上的投影为lalcos60°
=5X^
(2)由a•方=lai\bIcos〃知,方在a方向上的投
与向量0,〃同向共起点的向量的夹角就是。
与〃的夹角.
BC
己知正三角形ABC的边长为1,求:
(1)ABAC;
(2)AJSBC;
(3)BCAC.
【思路点拨】根据图形,找清夹角,<
AB,AC)
=60°
<
AB,BC}=120°
BC,AC>
=60°
.
【解】
(1)AB^AC的夹角为60。
:
.ABAC=\AB\\AC\cos60°
(2厢与庞的夹角为120°
:
.ABBC=\AB\\BC\cos120°
11
=1X1X(--)=--(3)BC^AC的夹角为60。
,
ffff11
ABCAC=IBCIIACIcos60°
=1X1Xt=t
如例2图所示,向量乔与向量庞的起点不同,因
此B并不是它们的夹角,而正确的夹角应是角B的补角(120。
)・
自我挑战2在△ABC中,AB=afBC=bf若a・b>
0,则AABC的形状为()
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.不能判断
解析:
选B.本题主要考查两向量的夹角公式,由于。
力>
0,cos{a,b}>
0,而〈a,b)=7t—B,・・・兀一〃为锐角,・・・B为钝角.故选B・
1!
数量积的运算只适合交换律、乘法分配律及数乘结合律,不送合乘法结合律,B卩(a・〃)・c不一是裁于
a・(b・c),因为(a・b)・c表示一个与c共线的向量,而
a•(方・c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共
⑴求
(2)求@+方)2;
⑶求/—方2;
⑷求(2a-b)-(a+3b).
【思路点拨】由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律,因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算,如(a+b)2=(a+b)-(a+b)=(a+b)・a+(a+b\b=a*a+b*a+a*b+b*b=a2+2a・b+b2.
・Q©
寸—H9IXE—(OI—)XS+SZXZHZ_0_E
—0・us+z_u_zhz0e—0・us+zah(*+u)・(0—uz)(3
・6h9i—szhz§
—z_«
hw—zu(e)
・IZH9I+0IXZ—SZHZ_a+0・A+Z§
HZ0+0・A+Z0HZ(0+U)(z)s
—Hfl—x"
寸XSHOOZIso总亘Hme【噗】
【名师点评】两向量的数量积,其结果是个数
量'
而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定
1.直接利用数量积的定义式求解时,一定要把这两个向量夹角确定好.
2.利用向量的数量积定义式求两个向量的夹角时,须把这两个向量的数量积及各自的模求出来,同时要注意向量夹角的范围是[0,!
!
]・
3.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运
算,与实数乘实数,实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,绝不可混淆.
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