高考数学第一轮大复习素材 31导数的概念及运算新人教A版文.docx
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高考数学第一轮大复习素材31导数的概念及运算新人教A版文
§3.1 导数的概念及运算
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)==.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=__0__
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax(a>0)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
(2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(5)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x.( )
(6)函数f(x)=x2lnx的导函数为f′(x)=2x·=2.( )
2.(2013·江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′
(1)=________.
3.已知曲线y=x3在点(a,b)处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则a的值是( )
A.-1B.±1C.1D.±3
4.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
( )
5.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是________.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x3在x=x0处的切线与曲线f(x)=x3的交点.
思维启迪 掌握导数的定义,理解导数的几何意义是解决本题的关键.
解 f′(x0)==
=(x2+xx0+x)=3x.
曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方程为
y-x=3x·(x-x0),
即y=3xx-2x,由
得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0.
若x0≠0,则交点坐标为(x0,x),(-2x0,-8x);若x0=0,则交点坐标为(0,0).
思维升华 求函数f(x)的导数步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率=;
(3)计算导数f′(x)=.
(1)函数y=x+在[x,x+Δx]上的平均变化率=________;该函数在x=1处的导数是________.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则的值为
( )
A.f′(x0)B.2f′(x0)
C.-2f′(x0)D.0
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数:
(1)y=ex·lnx;
(2)y=x;
思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导.
解
(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·=ex(lnx+).
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
思维升华
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;
求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=sin(1-2cos2);
题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.
解
(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′
(2)=1,
又f
(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,
即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4),
∵f′(x0)=3x-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,x-4x+5x0-4),
∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0,或y+2=0.
思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点:
(1)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0;
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.
一审条件挖隐含
典例:
(12分)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)求ab的最大值.
审题路线图
C1与C2有交点
↓(可设C1与C2的交点为(x0,y0))
过交点的两切线互相垂直
↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
两切线的斜率互为负倒数
↓
利用导数求两切线的斜率:
k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓
(2x0-2)(-2x0+a)=-1①
↓(交点(x0,y0)适合解析式)
,即2x-(a+2)x0+2-b=0 ②
↓
a+b=
↓
ab=a=-2+
当a=时,ab最大且最大值为.
规范解答
解
(1)对于C1:
y=x2-2x+2,有y′=2x-2,[1分]
对于C2:
y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,[2分]
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4x-2(a+2)x0+2a-1=0①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
⇒2x-(a+2)x0+2-b=0②
由①②消去x0,可得a+b=.[6分]
(2)由
(1)知:
b=-a,
∴ab=a=-2+.[9分]
∴当a=时,(ab)最大值=.[12分]
温馨提醒 审题包括两方面内容:
题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
方法与技巧
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
失误与防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题
1.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为( )
A.e2B.eC.D.ln2
2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-1B.-2C.2D.0
3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )
A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0
4.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为( )
A.B.C.D.
5.已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2015(x)等于( )
A.-sinx-cosxB.sinx-cosx
C.-sinx+cosxD.sinx+cosx
二、填空题
6.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x·f′
(2),则f′(5)=________.
7.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是__________.
8.若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
三、解答题
9.求下列函数的导数.
(1)y=xnlgx;
(2)y=++;
(3)y=;
10.已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
1.在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的大致图象是( )
3.已知曲线C:
f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为________.
4.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0
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