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g（x）（a>

1）

⎪f（x）>

logaf（x）>

logag（x）⇔⎪⎩f（x）<

g（x）（0<

a<

3.基本不等式

①a2+b2≥2ab

②若a,b∈R+a+b≥

2

用均值不等式a+b≥2、ab≤（a+b）2

求最值条件是“一正二定三相等”

1.奇偶性

三、函数概念与性质

f（x）偶函数⇔f（-x）=f（x）⇔f（x）图象关于y轴对称

f（x）奇函数⇔f（-x）=-f（x）⇔f（x）图象关于原点对称注：

①f（x）有奇偶性⇒定义域关于原点对称

②f（x）奇函数,在x=0有定义⇒f（0）=0

③“奇+奇=奇”（公共定义域内）

2.单调性

f（x）增函数：

x1＜x2⇒f（x1）＜f（x2）

或x1＞x2⇒f（x1）＞f（x2）

或f（x1）-f（x2）>

x1-x2

f（x）减函数：

？

①判断单调性必须考虑定义域

②f（x）单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增”

③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反

3.周期性

T是f（x）周期⇔f（x+T）=f（x）恒成立（常数T≠0）

4.二次函数

解析式：

f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a（x-h）2+k

f（x）=a（x-x1）（x-x2）

-b

对称轴：

x=

2a

顶点：

（-

b4ac-b2

）

2a4a

单调性：

a>

0，（-∞,-b]递减，[-

b,+∞）递增

当，f（x）

min

4ac-b2

4a

奇偶性：

f（x）=ax2+bx+c是偶函数⇔b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系

一次函数f（x）=ax+b奇函数⇔b=0

四、基本初等函数

1.指数式a0=1（a≠0）a-n=1

an

n

am=man

2.对数式logaN=b⇔ab=N（a>

0,a≠1）

logaMN=logaM+logaN

M

logaN

=logaM-logaN

logaMn=nlogMa

logb=logmb=lgb

alogmalga

loga

b=logn

bn=1logba

a

性质loga1=0loga=1alogaN=N

常用对数lgN=log10N，lg2+lg5=1

自然对数lnN=logeN，lne=1

3.

指数与对数函数y=ax与y=logax

定义域、值域、过定点、单调性？

y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）

1

4.幂函数y=x2,y=x3,y=x2,y=x-1y=x在第一象限图象如下：

五、

>

1

0<

<

<

函数图像与方程

1.描点法

函数化简→定义域→讨论

性质（奇偶、单调）

取特殊点如零点、最值点

等

2.图象变换

平移：

“左加右减，上正下负”

y=f（x）→y=f（x+h）

伸缩：

y=f（x）−每−一−点的−横坐−标变−为原−来−的−倍

→y=

对称：

“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

y=f（x）−−x轴→y=-f（x）

y=f（x）−−y轴→y=f（-x）

y=f（x）−原−点→y=-f（-x）

直线x=a

y=f（x）→y=f（2a-x）

f（x）

翻折：

y=f（x）→y=|f（x）|保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方

y=f（x）→y=f（|x|）保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边

3.零点定理

若f（a）f（b）<

0，则y=f（x）在（a,b）内有零点

（条件：

f（x）在[a,b]上图象连续不间断）注：

①f（x）零点：

f（x）=0的实根

②在[a,b]上连续的单调函数f（x），f（a）f（b）<

则f（x）在（a,b）上有且仅有一个零点

③二分法判断函数零点---f（a）f（b）<

0？

六、三角函数

1.概念第二象限角（2k+

2k+）（k∈Z）

弧长l=⋅r扇形面积S=1lr

3.定义

sin=y

r

cos=x

tan=y

x

其中P（x,y）是终边上一点，PO=r

4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”

5.诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

如Sin（2-）=-sin，cos（/2+）=-sin

6.特殊角的三角函数值

6

4

3

3

sin

-1

cos

tg

/

7.基本公式

同角sin2+cos2=1sin=tan

和差sin（±

）=sincos±

cossincos（±

）=coscossinsin

tan（±

）=tan±

tan

1tantan

倍角sin2=2sincos

cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan2=2tan

1-tan2

1+cos2

1-cos2

降幂cos2α=sin2α=

叠加sin+cos=

sin（+）

sin-cos=2sin（-

asin+bcos=a2+b2sin（+）（tan=a）

b

8.三角函数的图象性质

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

（-,）增

22

（0,）减（-,）增

sinx

cosx

tanx

值域

[-1，1]

无

奇偶

奇函数

偶函数

周期

2π

π

对称轴

x=k+/2

x=k

中心

（k,0）

（/2+k,0）

（k/2,0）

k∈Z

9.解三角形

基本关系：

sin（A+B）=sinCcos（A+B）=-cosC

A+BC

tan（A+B）=-tanCsin=cos

正弦定理：

a

sinA

=b

sinB

=c

sinC

a=2RsinAa:

b:

c=sinA:

sinB:

sinC

余弦定理：

a2=b2+c2－2bccosA（求边）

b2+c2-a2

cosA=（求角）

2bc

面积公式：

S△＝absinC

∆ABC中，A+B+C=？

A<

B⇔sinA<

sinB

a2＞b2+c2⇔∠A＞

1、等差数列

定义：

an+1-an=d

通项：

an=a1+（n-1）d

七、数列

求和：

Sn

=n（a1+an）

a+c

=na1

+1n（n-1）d

中项：

b=

（a,b,c成等差）

性质：

若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

2、等比数列

an+1=q（q≠0）

an=a1qn-1

⎧na1（q=1）

⎪

⎨1

Sn=a（1-qn）（q≠1）

⎪1-q

b2=ac（a,b,c成等比）

若m+n=p+q则am⋅an=ap⋅aq

3、数列通项与前n项和的关系

a=⎧s1=a1（n=1）

s-s

n⎨

⎩nn-1

（n≥2）

4、数列求和常用方法

公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法

八、平面向量

1.

向量加减三角形法则，平行四边形法则

AB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始点中点公式：

AB+AC=2AD⇔D是BC中点

2.

向量数量积a⋅b=⋅⋅cos=x1x2+y1y2

①a,b夹角：

00≤θ≤1800

②a,b同向：

a⋅b=⋅b

3.基本定理a=e

+e

（e,e

不共线--基底）

112212

平行：

a//b⇔a=b⇔

ÿ

x1y2=x2y1（b≠0）

垂直：

a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2=0

模：

a＝

a⋅b

+b=（a+b）2=

夹角：

cos=

|a||b|

①0∥a

②a⋅（b⋅c）≠（a⋅b）⋅c（结合律）不成立

③a⋅b=a⋅c⇒b=c（消去律）不成立

1.复数概念

九、复数与推理证明

复数：

z=a+bi（a,b∈R），实部a、虚部b

分类：

实数（b=0），虚数（b≠0），复数集C

z是纯虚数⇔a=0，b≠0

相等：

实、虚部分别相等

共轭：

z=a-bi

模：

z=z⋅z=z2

复平面：

复数z对应的点（a,b）

2.复数运算

加减：

（a+bi）±

（c+di）=？

乘法：

（a+bi）（c+di）=？

除法：

a+bi（a+bi）（c-di）

===…

c+di（c+di）（c-di）

乘方：

i2=-1，in=i4k+r

3.合情推理

类比：

特殊推出特殊归纳：

特殊推出一般

=ir

演绎：

一般导出特殊（大前题→小前题→结论）

4.直接与间接证明

综合法：

由因导果

比较法：

作差—变形—判断—结论反证法：

反设—推理—矛盾—结论分析法：

执果索因

分析法书写格式：

要证A为真，只要证B为真，即证……，

这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：

常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程

5.数学归纳法：

（1）验证当n=1时命题成立,

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥1）时命题成立,

证明当n=k+1时命题也成立

由

（1）

（2）知这命题对所有正整数n都成立

用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用

十、直线与圆

1、倾斜角范围[0,）

斜率k=tan=y2-y1

x2-x1

直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在

2、直线方程

点斜式y-y0=k（x-x0），斜截式y=kx+b

两点式y-y1=x-x1，截距式x+y=1

y2-y1x2-x1ab

一般式Ax+By+C=0

注意适用范围：

①不含直线x=x0

②不含垂直x轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线

3、位置关系（注意条件）平行⇔k1=k2且b1≠b2

垂直⇔k1k2=-1垂直⇔A1A2+B1B2=0

4、距离公式

两点间距离：

|AB|=

点到直线距离：

d=

5、圆标准方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2圆心（a,b），半径r

圆一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（条件是？

）

⎛DE⎫

圆心ç

-,-⎪

半径r=D2+E2-4F

⎝22⎭2

6、直线与圆位置关系

位置关系

相切

相交

相离

几何特征

d=r

d<

r

d>

代数特征

△=0

△>

△<

点与圆位置关系（x0-a）2+（y0-b）2>

r2⇔点P（x0,y0）在圆外

7、直线截圆所得弦长

AB=2

一、定义

十一、圆锥曲线

椭圆：

|PF1|+|PF2|=2a（2a>

|F1F2|）

双曲线：

|PF1|-|PF2|=±

2a（0<

2a<

|F1F2|）抛物线：

与定点和定直线距离相等的点轨迹

二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）

x2y2

椭圆+=1（a>

b>

0）

a2b2

双曲线x2

a2

y2

b2=1（a>

0,b>

中心原点对称轴？

焦点F1（c,0）、F2（-c,0）顶点:

椭圆（±

a,0）,（0,±

b），双曲线（±

a,0）范围:

椭圆-a≤x≤a,-b≤y≤b

双曲线|x|≥a，y∈R

焦距：

椭圆2c（c=）

双曲线2c（c=）

2a、2b:

椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长

离心率：

e=c/a椭圆0<

e<

1,双曲线e>

双曲线

b2=1渐近线y=±

bx

方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m>

0,n>

0.m≠n

方程mx2+ny2=1表示双曲线⇔mn<

抛物线y2=2px（p>

顶点（原点）对称轴（x轴）

开口（向右）范围x≥0离心率e=1

pp

焦点F（,0）准线x=-

十二、矩阵、行列式、算法初步

十、算法初步

一．程序框图

程序框

名称

功能

起止框

起始和结束

输入、输出框

输入和输出的信息

处理框

赋值、计算

判断框

判断某一条件是否成立

循环框

重复操作以及运算

二．基本算法语句及格式

1输入语句：

INPUT“提示内容”；

变量

2输出语句：

PRINT“提示内容”；

表达式

3赋值语句：

变量=表达式

4条件语句

“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句

IF条件THENIF条件THEN

语句1语句

ELSEENDIF

语句2

ENDIF

5循环语句

当型循环语句直到型循环语句

WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件

当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”

三．算法案例

1、求两个数的最大公约数

辗转相除法：

到达余数为0

更相减损术：

到达减数和差相等

2、多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值

秦九韶算法：

v1=anx+an－1v2=v1x+an－2

v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0

递推公式v0=anvk=vk－1X+an－k（k=1,2,…n）

求f（x）值，乘法、加法均最多n次

3、进位制间的转换

k进制数转换为十进制数：

anan-1.....a1a0（k））=

⨯kn+an-1⨯kn-1+..........+a⨯k+a0

十进制数转换成k进制数：

“除k取余法”

例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3

例2已知f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f（5）123＝2×

48＋27v0=2

48＝1×

27＋21v1=2×

5－5=5

27＝1×

21＋6v2=5×

5－4=21

21＝3×

6＋3v3=21×

5+3=108

6＝2×

3+0v4=108×

5－6=534v5=534×

5+7=2677

十三、立体几何

1.三视图正视图、侧视图、俯视图

2.直观图：

斜二测画法∠X'

O'

Y'

=450

平行X轴的线段，保平行和长度

平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半

3.体积与侧面积

14

V柱=S底hV锥=S底hV球=πR3

33

S圆锥侧=rlS圆台侧=（R+r）lS=4R

球表

4.公理与推论确定一个平面的条件：

①不共线的三点②一条直线和这直线外一点

③两相交直线④两平行直线

公理：

平行于同一条直线的两条直线平行

定理：

如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

5.两直线位置关系相交、平行、异面

异面直线——不同在任何一个平面内

6.直线和平面位置关系

a⊂a=Aa//

7.平行的判定与性质

线面平行：

a∥b，b⊂,a⊄⇒a∥

a∥，a⊂,⋂=b⇒a∥b

面面平行：

AB∥，AC∥⇒平面ABC∥

∥，a⊂⇒a∥

8.垂直的判定与性质

线面垂直：

p⊥AB,p⊥AC⇒p⊥面ABC

面面垂直：

a⊥,a⊂⇒⊥

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；

若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂

直

三垂线定理：

PO⊥,AO⊥a⇒PA⊥a

PO⊥,PA⊥a⇒AO⊥a

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？

9.

空间角、距离的计算

异面直线所成的角范围（0°

，90°

]平移法：

转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围[0°

]

定义法：

找直线在平面内射影，转为解三角形

二面角范围[0°

，180°

作出二面角的平面角，转为解三角形

点到平面的距离

体积法--用三棱锥体积公式

计算过程，“一作二证三求”，都要写出

10.立体几何中的向量解法

法向量求法：

设平面ABC的法向量n=（x,y）

n⊥AB,n⊥AC

n⋅AB=0,n⋅AC=0

解方程组，得一个法向量n

线线角：

设n1,n2是异面直线l1,l2的方向向量，

l1,l2所成的角为，则cos=cos<

n1,n2>

即l1,l2所成的角等于<

n1,n2>

或-<

n1,n2>

线面角：

设n是平面

的法向量，AB是平面的

一条斜线，AB与平面所成的角为，则sin=cos<

n,AB>

=

二面角：

设n1,n2是面,的法向量，二面角-l-

-cos<

的大小为，则cos=cos<

或

即二面角大小等于<

n1,n2>

点到面距离：

若n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B∈，

AB∙n

则点A到平面的距离d=

n

十四、计数原理

1.计数原理加法分类，乘法分步

2.排列组合差异---排列有序而组合无序

公式Am=n（n-1）（n-m+1）n！

n（n-m）！

Cm=n（n-1）（n-m+1）=n！

关系：

Am

1⨯2⨯⨯m

=m！

⋅Cm

m！

⋅