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8
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4/
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10嘴
—
11
2/
9/
你能按顺序继续写下去吗?
试试看吧!
幻方(第三课时)
根据上讲中的方法,把口诀运用到所有的奇数幻方中,可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……,本讲,我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。
【思路点拨】
再来重温一下口诀吧!
一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写,上出框时下边放,双出占位写下方。
②把1-81这81个数字填入下面表方格内,使得所有的横、竖、斜
列所加之和都相等。
幻方(第四课时)
上面三讲我们学习了奇数幻方的填法,那么偶数幻方该怎样填呢?
下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。
将1-16这16个数填入下面这个4X4的方格内,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
【思路点拨】首先,偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律,它的填写要求是:
调换(数与数间的调换)先把1-16这16个数按顺序填好。
如:
1
2
3
4
5
6
7
9
10
12
13
14
15
16
第二步:
画两条对角线,把对角线所划住的数字不动。
1、
**
3z
'
6、
尸
扁
■
•
r當1
第三步:
把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。
215,3-^>
14,5:
=^>
12,8-―换9,最后形成新的方格。
幻方(第五课时)
知识概述
对于幻方中偶数幻方的知识,是非常多的,至于八阶幻方,十二
阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧:
偶阶幻方分两类:
双偶数:
四阶幻方,八阶幻方、十二阶幻方,….,4K阶幻方,(K表示一个非零自然数)
可用<
对称交换法>
方法很简单:
1)把自然数依次排成方阵
2)把幻方划成4X4的小区,每个小区划对角线,
3)把这些对角线所划到的数,保持不动,
4)把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对
调,【与4X4幻方的方法一样】
5)幻方完成!
14.
严
叫
17
20
21
22
23.
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33..
34
35
*36
37.
38
39
『40
41
抵
43*'
44
45
.47*
48
49
50*
51
52
53
55.
56
57』
厂
58
59
%60
61*'
62
63
*64
现在试着完成一下八阶幻方吧
你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢?
同步精练:
把1-144这144个数填入12X12的方格内,使其成为一个十二阶幻方。
恭喜你顺利完成了考验!
按要求填写幻方:
1、三阶幻方
2、四阶幻方
3、五阶幻方
4、七阶幻方
6、九阶幻方
第二讲可能性的大小(游戏与对策)
例1有一堆棋子共53颗,甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。
规定谁拿走最
后1颗棋子,谁就获胜。
如果甲先拿,那么他有没有获胜的策略?
由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子,即每次保证两人共拿走1+2=3颗,53
颗共要取53十3=17(次)……2(颗),即要保证甲先取获胜,那么甲应先取余下的那2颗。
这样下面轮流时,甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。
先拿走,这样先拿的人就容易取胜了。
同步精练
1、有287个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛,比赛规则是:
甲、乙两人轮流取,每人每次最多取2个,最少取1个,取最后一个球的人为胜利者。
甲要想获胜,他应该如何安排?
2、有388个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是:
甲乙轮流取,每人每次取1个、2个、或3个,取最后一个球的人为失败者。
如果甲先取,甲为了取胜,他应该采取怎样的策略?
3、有197粒棋子,甲乙二人分别轮流取棋子,每次至少取1个,最多取4粒,不能不取,取到最后一粒的为胜者,现在两人通过抽签决定谁先取?
你认为先取的获胜,还是后取的获胜?
第二讲可能性的大小(游戏与对策)
第二课时
例2有两堆火柴,一对26根,一堆11根。
甲乙两人轮流从中拿走1根或几根,甚至一堆,但每次都只能在一堆里拿火柴,谁拿走最后一根算谁赢,问甲如何取胜?
【思路点拨】这是另一类对策游戏。
我们先考虑特殊情况。
当两堆的火
柴根数相同时,后取者只要根据先取者的取法,在另一堆里取相同的根数,就能保证取到最后一根。
对一般情况,可设法将它转化为特殊情况,所以要先取走多的那几根就行了。
1、有两个箱子分别装有63、108个球。
甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。
规定取到最后一个球的为胜者。
甲先取,他应如何才能获胜?
2、取两堆石子,游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子(甚至可以把这堆石子一次拿走完),但每次至少拿1粒,不准同时在两堆中拿,谁拿最后一粒谁就获胜,问如何才能取胜?
3、下面是个圆形,两人轮流在圆形中画规定了大小的△,没人每次画一个△,所画的
△不能与已画的相交或重叠,圆形总有被画满的时候,谁画最后一个△,谁就获胜。
如
何才能获胜?
勇于尝试,把握过程,关注细节
练习卷
1、有一枚骰子,六个面分别写着1-6六个数,两次掷这枚骰子,将两次朝
上的面上的数相加,和的个位数字最大的可能性是()。
2、有102粒纽扣,两个人轮流从中取几粒,每人至少取1粒,最多取4粒,谁取到最后一粒,就算谁输。
问保证一定获胜的策略是什么?
3、桌面上有199根火柴,甲、乙两人轮流地取1根或2根,谁取到最后一根火柴为胜,问获胜的策略是什么?
4、王叔叔体重75千克,他从地里摘了2筐西瓜,每筐35千克,王叔叔回家要经过一座小桥,小桥只能载重100千克,请你给他想个办法,让他和西瓜一次安全地过河去。
5、一笔画出(笔尖不离开纸)由四条线段连接而成的折线,把下面九个点串起来,你能做到吗?
第一课时
例1已知平行四边形的面积是28平方厘米,求阴影部分的面积。
4厘米既是平行四边形的高,也是阴影三角形的高,平行四边形的面积是28平方厘米,它的底为28宁4=7(厘米),平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底,7-5=2(厘米)。
根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。
求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积;
还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。
这两种是最常用最简便的方法。
1.下面的梯形中,阴影部分的面积是150平方厘米,求梯形的面积
2.已知平行四边形的面积是48平方厘米,求阴影部分的面积。
*■5厘米f
3.如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形,需要用铁丝多少厘米?
(单位:
厘米)
第三讲图形的面积
(一)
例2下图中甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。
(单位:
【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形,它的三条边的长都不知道,三条边上的高也不知道。
所以,无法用公式计算出它的面积。
仔细观察本题的图,我们可以发现,如果延长GA和FC,它们会相交(设交点为H),这样就得到长方形GBFH(如下图),它的面积很容易求,而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分(△AGB、△BFC及厶AHC)的面积
都能直接求出
1、求右图中阴影部分的面积。
2、求右图中阴影部分的面积。
第三课时
例3如图所示:
,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,求CE的长度。
【思路点拨】题目中告诉我们,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,即甲-乙=6(平方厘米),而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米,即:
甲-乙=6(平方厘米)
(甲+四边形ABCF)-(乙+四边形ABCF)=6(平方厘米)
这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。
用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积,再用三角形的面积乘以2再除以AB,就得到BE的长度,从而求出CE的长度。
1、四边形ABCD是一个长为10厘米,宽6厘米的长方形,三
多少厘米?
(1)三角形DEF的面积。
(2)CF的长。
第四讲认识分数
《知识概述》
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
其中的一份又叫分数单位。
分数与除法的关系可以表示a*b=—(b^0)。
分数
b
可以分为真分数和假分数;
分子与分母是互质数,被称为最简分数。
分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变,这就是分数的基本性质。
例题精学
例1:
分母是91的真分数有多少个?
最简真分数有多少个?
真分数是指分子小于分母的分数,最简真分数是指分子与分母互质的真分
数。
分母是91的真分数一共有90个,分别是丄,2,?
……聖,其分子是i〜
91919191
90的自然数。
在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。
要求最简真分数,那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。
而91=7X13,在1〜90的自然数中,7的倍数有13-仁12(个),13的倍数有7—仁6(个),这样分子可取的数一共有90—(12+6)=72(个)。
1.分母是51的真分数有多少个?
2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个?
3.分数'
旦兰中的a是一个非零自然数,为了使这个分数能够约分,a最小是
a8
多少?
例2把一个最简分数的分子加上1,这个分数就等于1.
(1)如果把这个分数的分母加上1,这个分数就等于8,原分数是多少?
(2)如果把这个分数的分母加上2,这个分数就等于,原分数是多少?
【思路点拨】这道题有两个小题,总的条件一样。
由于其他的条件不同,两小
题的得数是不同的。
有总的条件来看,要求的两个分数的分子都比分母小1.
(1)分母加上1,分子应比分母小2,现在8的分子比分母小1,说明进行过约分了,
未约分前的分子比分母小2,说明是用2约分的,也就是说原分数的分母加上1
之后,再把分子分母同时除以2所得到的分数是§
,说明约分前是16,这样原
918
分数应是16。
第
(2)题请你自己思考。
1.一个最简分数的分子缩小5倍,分母扩大9倍后是2,原分数是多少?
例3分数21的分子和分母都减去同一个整数,所得的分数约分后是2,求减
1369
去的数。
【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后,分子与分母的
差不变。
原分数的分子与分母的差是136—73=63,得到的新分数的分子与分母的差也是63.而新分数约分后变成2,9—2=7,因此可知约去的数是63-7=9.
新分数是◎二嗟,这样就可以求出减去的数是多少了。
9981
1.3的分子、分母同时加上多少后就可以约分为1?
133
2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数,如果分母加上4,这个
分数约分后是2,原来这个数是多少?
3.一个分数,分子加上1后,其值为1,分子减去1后,其值为-,求这
个分数
第四课时
例4分数55的分子减去某数,而分母同时加上这个数后,所得的新分数化简
64
后为-,求某数。
【思路点拨】分子减去一个数,同时分母加上这个数,那么分子与分母的和
不变。
原分数的分子、分母之和为55+64=119,说明新分数的分子、分母之和
也是119,而新分数约分后是-,分子、分母的和是4+13=17,因此可知约去
的数是119+17=7。
新分数为£
丄些。
这样可以推算出这个原数了。
13791
1.的分子减去某数,而分母加上某数后约分为丄,求某数。
2.有一个分数’分子加上1可约分为三,分子减去1可约分为*,求这个数。
3.一个分数,如果分子加上16,分母减去166,那么约分后是?
;
如果分
子加上124,分母加上340,那么约分后是丄,求原分数是多少?
练习卷
1、填空题。
(1)一个最简分数的分子、分母之积是30,这个最简分数是()。
(2)—个最简真分数的分子、分母之和是15,这个最简真分数是
()。
(3)分母是85的真分数共有()个,分母是85的最简真分
数共有()个。
(4)一个分数的分子、分母之和是90,约分后是-,求原来的分
数是()。
(5)一个最简真分数,把它的分母扩大5倍,而分子缩小4倍,
化简后是丄,求这个最简真分数是()。
2、分数-的分子分母同时加上同一个自然数,新分数化简得丄,求这
122个自然数。
3、分数16的分子加上一个数,分母减去同一个数,新分数化简为|,
求这个数。
4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数,如果分母加上3后,
这个分数约分为3,求原分数是多少?
第五讲相遇问题
相遇问题中数量之间的基本关系式:
速度和X相遇时间=相遇路程相遇路程宁速度和=相遇时间
相遇路程—相遇时间=速度和
【例1】:
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行,
公共汽车每小时40千米,小轿车每小时行50千米,问几小时后两车相距90千米?
【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇
前某一时刻两车相距90千米,这时两车共行的路程应为(450-90)千米。
需要注意的是当两车相遇后继续行驶时,两车之间的距离又从零逐渐增
大,到某一时刻,两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为(450+90)千米。
所以:
(450-90)-(40+50)=4(小时)
或(450+90)-(40+50)=6(小时)
答:
两车在出发后4小时相距90千米,在出发后6再一次相距90千米。
1.一个圆形操场跑道的周长是500米,两个学生同时同地相背而行。
甲
每分钟走66米,乙每分钟走59米。
经过几分钟才能相遇?
2、两地相距1200千米,甲乙两辆火车从两地相向而行,同时出发,甲每小时行120千米,乙每小时行180千米,多少小时后,两车相差300千米?
【例2】甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时行41千米,乙车先出发2小时后,甲车才出发。
甲车行几小时后与乙车相遇?
【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发2小树,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行的路程:
41X2=82(千米),甲乙两车同时相对而行路程:
770-82=688(千米),甲车行的时间:
688+(45+41)=8(小时)答:
甲车行8小时后与乙车相遇。
解题技巧:
关键抓住先走的车,它所行的路程,把它所走的路程先刨除在外,然后计算两车(人)真正相距的路程,是解答此类问题的关键。
①小丽家距学校有1500米,中午11:
40分放学回家时,小丽从学校以每分钟50米的速度回家,走了4分钟后,爸爸骑自行车从家出发去接小丽,爸爸的速度是每分钟150米,爸爸出发多长时间会接到小丽?
②某送货员从A乡镇往B乡镇去送货,他以每小时40千米的速度开摩托车前往,走了0.5小时后,接货人开汽车去接他,结果接货人在出发2小时后接到了送货员,已知接货人的速度是每小时60千米。
问:
A、B两个乡镇相距多少千米?
【例3】两地相距900米,甲乙二人同时同地向同一方向行走,甲每分钟
走80米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲车相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?
【分析与解】甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目的地后,然后返回,途中与甲相遇,这又变成了相遇问题,把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。
已到达目的地时间:
900-100=9(分钟),甲9分钟走的路程:
80X9=720(米),
甲距目标还有:
900-720=180(米),相遇时间:
180-(100+80)=1(分钟),共用的时间为:
9+1=10(分钟)。
1、兄妹二人同时离家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行至离学校180米处与妹妹相遇,他们家离校多远?
2、甲、乙二人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。
到达B地后立即返回A地,在离B地3.2千米处与乙相遇,AB两地间的距离
是多少千米?
【例4】:
甲乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带着一只狗,狗每小时走10千米,这只狗同甲一道出发,碰到乙的时候,它又掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇,问这只狗一共走了多少千米?
【分析与解】要求狗一共走了多少千米,如果你认为求出狗与甲和乙相遇了多少次,每次用多长时间,那么你是求不出来的,因为这些都是无法知的量。
问题可以这样看,我们可以求出狗一共行了多长时间,狗行的时间其实就是甲乙二人相遇的时间,因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的,它中途并没有停下来,所以,问题的关键又转回了人身上。
甲乙二人相遇时间:
100+(6+4)=10(小时)
狗走的路程为:
10X10=100(千米)。
①甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发,相向而行,一名学生骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不停地往返联络,甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米,两队相遇时,骑自行车的学生共行多少千米?
②A、B两地相距400千米,甲乙两车同时从两地相对开出,甲车每小时行35千米,乙车每小时行45千米。
一只鸽子以每小时50千米的速度和甲同时出发,向乙飞去,遇到乙车又折回向甲车飞来,遇到甲车又往回飞向乙车,这样一直飞下去。
鸽子飞多少千米时,两车正好相遇?
1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860米的两地出发,相向而行,汽车每小时行45千米,摩托车每小时行70千米,6小时后两车相距多少千米?
2、小强和小明家相距2400米,两人同时从家中出发相向而行,小强每分钟走
50米,小明每分钟走70米。
求:
(1)他们经过多长时间相遇?
(2)3分钟时,他们还相距多少米?
(3)15分钟时,他们相距多少米?
3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲车每小时56千米,乙车每小时
48千米,两辆车在离中点32千米处相遇,求东西两地间相距多少千米?
400米
※4、小明从甲地向乙地走,小强同时从乙地向甲地走,当各自到达终点后,又迅速返回,行走过程中,各自速度不变,两人第一次相遇在距甲地处,第二次相遇在距乙地150米处。
问,甲、乙两地之间相距多少米?
第六讲公因数和公倍数
【知识概述】我们知道:
几个数共有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数,一般地,把自然数a和b的最大公因数记为(a,b)。
几个数共有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数,一般地,把自然数a和b的最小公倍数记为[a,b]。
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即:
(a,b)x[a,b]=a•b
【例题1】有两根彩带,分别长45厘米和30厘米。
现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余,每段短彩带最长是多少厘米?
【点拨与解】这两根彩带要剪成长度一样的小段,且无剩余,每段长度必是45厘米和30厘米的公因数。
又要求每段尽可能的长,所求的每段长度就是45和30的最大公因数。
(45,30)=15
每段短彩带最长是15厘米。
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