最新八年级数学《三角形》拔高讲义Word格式文档下载.docx
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6.在△ABC所在的平面内存在一点P,它到A、B、C三点的距离都相等,那么点
P一定是( )
A.△ABC三边中垂线的交点B.△ABC三边上高线的交点
C.△ABC三内角平分线的交点D.△ABC一条中位线的中点
7.若三角形中的一条边是另一条边的2倍,且有一个角为30°
,则这个三角形
是( )
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都不对
8.如图,有一△ABC,今以B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于D点,以C为
圆心,AC长为半径画弧,交BC于E点.若∠B=40°
,∠C=36°
,则关于AD、
AE、BE、CD的大小关系,下列何者正确?
( )
A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD
9.下列说法中正确的是( )
A.三角形的内角中至少有两个锐角B.三角形的内角中至少有两个钝角
C.三角形的内角中至少有一个直角D.三角形的内角中至少有一个钝角
10.现有两根木棒,它们的长分别是10cm和15cm,若要钉成一个三角形木架,
则在下列四根木棒中应选取( )
A.20cm的木棒B.30cm的木棒C.5cm的木棒D.25cm的木棒
11.下列说法正确的是( )
A.三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B.等边三角形不是等腰三角形
C.等腰三角形是等边三角形
D.三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
12.下列说法中正确的是( )
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等;
②角是轴对称图形对称轴就是角平分线
③线段不是轴对称图形
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A.①②③④B.①②④C.①④D.②③④
13.在三角形中,交点一定在三角形内部的有( )
①三角形三条高的交点;
②三角形三条中线的交点;
③三角形的三条内角平分线的交点.
A.①②③B.②③C.①③D.①②
二.填空题(共9小题)
14.一个三角形的两边长分别是2和7,另一边长a为偶数,且2<a<8,则这
个三角形的周长为 .
15.如图,在△ABC中,∠BAC=50°
,BD、CE分别是边AC,AB上的高,BD、CE
相交于点O,则∠BOC的度数是 .
第15题图第17题图
16.△ABC的边长均为整数,且最大边的边长为7,那么这样的三角形共有 个.
17.如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得
∠A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2015BC的
平分线与∠A2016CD的平分线交于点A2016,得∠A2016,则∠A2016= .
18.三条整数长度的线段不能构成三角形的总长度和的最小值为1+2+3=6,四条
整数长度的线段任意三条均不能构成三角形的总长度和的最小值为
1+2+3+5=11,由此请探究:
一根钢管长2016cm,现把此钢管截成整数长的
小钢管,使任意三根钢管均不能围成三角形,这根钢管最多可以截成
求出其值;
若变化,说明理由.
25.已知△ABC中,∠A=60°
.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC= °
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C= °
(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1(内部有
n﹣1个点),求∠BOn﹣1C(用n的代数式表示).
(2)如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1,
若∠BOn﹣1C=90°
,求n的值.
26.如图,平面内,四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接,∠ABC=20°
,
∠ADC=40°
(1)如图1,∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M,求∠AMC的大小;
(2)如图2,点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N,
求∠ANC度数;
(3)如图3,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,∠DAE的平分线和
∠DCF的平分线交于点P,请直接写出∠APC的度数.
27.已知:
△ABC中,记∠BAC=α,∠ACB=β.
(1)如图1,若AP平分∠BAC,BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,
BD⊥AP于点D,用α的代数式表示∠BPC的度数,用β的代数式表示∠PBD
的度数
(2)如图2,若点P为△ABC的三条内角平分线的交点,BD⊥AP于点D,猜想
(1)
中的两个结论是否发生变化,补全图形并直接写出你的结论.
28.如图,y轴的负半轴平分∠AOB,P为y轴负半轴上的一动点,过点P作x
轴的平行线分别交OA、OB于点M、N.
(1)如图1,MN⊥y轴吗?
为什么?
(2)如图2,当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处,其他条件都
不变时,等式∠APM=
(∠OBA﹣∠A)是否成立?
(3)当点P在y轴的负半轴上运动到图3处(Q为BA、NM的延长线的交点),
其他条件都不变时,试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系?
若存在,请写出其关系式,并加以证明;
若不存在,请说明理由.
29.探究发现
探究一:
我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?
如图甲,∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角,则∠A与∠FDC+∠ECD的数量
关系 .
探究二:
如图,四边形ABCD中,∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角,若设∠A=α,∠D=β;
(1)如图①,α+β>180°
,则∠F= ;
(用α,β表示)
(2)如图②,α+β<180°
,请在图中画出∠F,且∠F= ;
(3)一定存在∠F吗?
如有,直接写出∠F的值,如不一定,直接指出α,β满足什么条件时,不存在∠F.
30.两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下的规则连接线段;
①平行线之间的点在连线段时,可以有共同的端点,但不能有其它交点;
②符合①要求的线段必须全部画出;
图1展示了当n=1时的情况,此时图中三角形的个数为0;
图2展示了当n=2时的一种情况,此时图中三角形的个数为2;
(1)当n=3时,请在图3中画出使三角形个数最少的图形,此时图中三角形的个数为 个;
(2)试猜想当n对点时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
(3)当n=2016时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
参考答案与试题解析
1.(2015•东平县模拟)下列说法正确的是( )
A.对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D.对角线相等且相互平分的四边形是矩形
【分析】根据菱形,正方形,平行四边形,矩形的判定定理,进行判定,即可解答
【解答】解:
A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故错误;
B、四条边相等的四边形是菱形,故错误;
C、对角线相互平分的四边形是平行四边形,故错误;
D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形,正确;
故选:
D.
【点评】本题考查了菱形,正方形,平行四边形,矩形的判定定理,解决本题的关键是熟记四边形的判定定理.
2.(2010春•佛山期末)下列说法:
②同角或等角的余角相等;
④三角形的三条高交于一点.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据内错角的定义、余角的性质、对顶角的定义、三角形的高的性质解答.
①两条直线被第三条直线所截,内错角不一定相等,故错误;
②正确;
③相等的角不一定是对顶角,故错误;
④三角形的三条高所在的直线交于一点,故错误.
正确的有1个.
故选A.
【点评】此题综合考查内错角的定义、余角的性质、对顶角的定义、三角形的高的性质,属于基础题.
3.(2009秋•汉阳区期中)如图,△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D,过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点.下列结论:
②∠EFD=∠CFD;
A.只有①②③B.只有①②④C.只有③④D.①②③④
【分析】①根据三角形的面积公式S=
ab•sinC可直接得出答案;
②根据角平分线的性质解答即可;
③根据平行线的性质和角平分线的性质,判断出∠HBD=∠HDB,根据等角对等边即可证出HB=HD,但根据现有条件不能的出HF与HB必然相等的结论;
④根据三角形角分线的性质,判断D为旁心,进而得出∠CFD=∠EFD,再根据平行线的性质,得出∠HDF=∠CFD,从而判断出∠GDF=∠DFE,于是可得,HB=HD,再通过等量代换和线段的加减法则即可得出结论.
①正确.
因为S△EBD=
BD•BE•sin∠EBD,S△FBD=
BD•BF•sin∠DBF,
所以S△EBD:
S△FBD=
BD•BE•sin∠EBD:
因为BD是∠EBC的平分线,
所以sin∠EBD=sin∠DBF,
②正确.
过D作DM⊥AB,DN⊥CB,DO⊥EF,
∵DE是∠AEF的平分线,
∴AD﹣DO,
∵DB是∠ABC的平分线,
∴DA=DN,
∴DO=DN,
∴DF是∠EFC的平分线,
∴∠EFD=∠CFD;
③错误.
因为HD∥BF,
所以∠HDB=∠FBD,
又因为BD平分∠ABC,
所以∠HBD=∠CBD,
于是∠HBD=∠HDB,
故HB=HD.
但没有条件说明HF与HB必然相等;
④正确.
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点,
故D为△BEF的旁心,
于是FD为∠EFC的平分线,
故∠CFD=∠EFD,
又因为DH∥BC,
所以∠HDF=∠CFD,
故∠GDF=∠DFE,
于是GF=GD,
又因为HB=HD,
所以HD﹣GD=HG,
即BH﹣GF=HG.
故①②④正确.
故选B.
【点评】本题比较复杂,涉及到三角形的内角、外角平分线,三角形的面积公式,涉及面较广,难度较大.
4.(2015春•厦门校级期末)下列说法中正确的是( )
A.两条对角线垂直的四边形的菱形
B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据菱形,正方形,矩形的判定定理,进行判定,即可解答.
A.两条对角线垂直的平行四边形是菱形,故错误;
B.对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形,故错误;
C.两条对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形,正确;
【点评】本题考查了菱形,正方形,矩形的判定定理,解决本题的关键是熟记四边形的判定定理.
5.(2014•达州)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P=( )
A.90°
αC.
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数,然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数.
∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°
﹣(∠A+∠D)=360°
﹣α,
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠BCD)=
(360°
﹣α)=180°
α,
则∠P=180°
﹣(∠PBC+∠PCB)=180°
﹣(180°
α)=
α.
C.
【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理,属于基础题.
6.(2006•成都二模)在△ABC所在的平面内存在一点P,它到A、B、C三点的距离都相等,那么点P一定是( )
A.△ABC三边中垂线的交点B.△ABC三边上高线的交点
C.△ABC三内角平分线的交点D.△ABC一条中位线的中点
【分析】根据已知,作出图形,已知△ABC内一点P,PA=PB=PC,如图所示,作辅助线PM、PN、PK分别垂直三角形的三边AC、BC、AB,可证得点P是三角形的外心.问题可求.
如图所示,PA=PB=PC,作PM⊥AC于点M,
则∠PMA=∠PMC=90°
,在两直角三角形中,
∵PM=PM,PA=PC,∴△APM≌△CPM,
∴AM=MC;
同理可证得:
AK=BK,BN=CN,
∴点P是△ABC三边中垂线的交点.故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握三角形的内心(三边垂直平分线的交点)和外心(三条角平分线的交点);
垂心是三条高的交点.
,则这个三角形是( )
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都不对
【分析】如图,分AB是30°
角所对的边AC的2倍和AB是30°
角相邻的边AC的2倍两种情况求解.
如图:
(1)当AB是30°
角所对的边AC的2倍时,△ABC是直角三角形;
(2)当AB是30°
角相邻的边AC的2倍时,△ABC是钝角三角形.
所以三角形的形状不能确定.
故选D.
【点评】解答本题关键在于已知30°
的角与边的关系不明确,需要讨论求解,所以三角形的形状不能确定.
8.(2014•台湾)如图,有一△ABC,今以B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于D点,以C为圆心,AC长为半径画弧,交BC于E点.若∠B=40°
,则关于AD、AE、BE、CD的大小关系,下列何者正确?
A.AD=AEB.AD<AEC.BE=CDD.BE<CD
【分析】由∠C<∠B利用大角对大边得到AB<AC,进一步得到BE+ED<ED+CD,从而得到BE<CD.
∵∠C<∠B,
∴AB<AC,
∵AB=BDAC=EC
∴BE+ED<ED+CD,
∴BE<CD.
【点评】考查了三角形的三边关系,解题的关键是正确的理解题意,了解大边对大角.
9.(2014秋•惠城区校级月考)下列说法中正确的是( )
A.三角形的内角中至少有两个锐角
B.三角形的内角中至少有两个钝角
C.三角形的内角中至少有一个直角
D.三角形的内角中至少有一个钝角
【分析】利用三角形的特征分析.
根据三角形的内角和是180度可知:
A、三角形的内角中至少有两个锐角,正确;
B、三角形的内角中最多有1个钝角,故不对;
C、三角形的内角中最多有一个直角,故不对;
D、三角形的内角中最多有1个钝角.故不对;
【点评】主要考查了三角形的定义和分类.
10.(2014秋•鼓楼区校级期中)现有两根木棒,它们的长分别是10cm和15cm,若要钉成一个三角形木架,则在下列四根木棒中应选取( )
A.20cm的木棒B.30cm的木棒C.5cm的木棒D.25cm的木棒
【分析】根据三角形的三边关系:
第三边大于两边的差,而小于两边的和.看选项中哪个在范围内即可.
∵15﹣10=5,10+15=25,
∴5<第三根木棒<25,
符合的只有A中的20cm.
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是熟练掌握三边关系定理,并能灵活运用.
11.(2013秋•阿拉尔校级期中)下列说法正确的是( )
A.三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B.等边三角形不是等腰三角形
C.等腰三角形是等边三角形
D.三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
【分析】根据三角形的分类,等腰三角形与等边三角形之间的关系分别对每一项进行分析即可.
A.三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形,故本选项错误,
B.等边三角形是等腰三角形,故本选项错误,
C.等腰三角形不一定是等边三角形,故本选项错误,
D.三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,故本选项正确,
【点评】此题考查了三角形,用到的知识点是三角形的分类,关键是掌握等腰三角形与等边三角形之间的关系.
12.(2013秋•邗江区期中)下列说法中正确的是( )
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等;
②角是轴对称图形对称轴就是角平分线
③线段不是轴对称图形
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A.①②③④B.①②④C.①④D.②③④
【分析】根据角平分线的性质判断①;
根据轴对称图形的定义判断②③;
根据线段垂直平分线的性质判断④.
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等,说法正确;
②角是轴对称图形,对称轴就是角平分线所在的直线,说法错误;
③线段是轴对称图形,其中垂线是它的一条对称轴,说法错误;
④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,说法正确.
故选C.
【点评】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质,轴对称图形的定义,是基础知识,需熟练掌握.
13.(2010春•巢湖校级期中)在三角形中,交点一定在三角形内部的有( )
①三角形三条高的交点;
②三角形三条中线的交点;
③三角形的三条内角平分线的交点.
A.①②③B.②③C.①③D.①②
【分析】三角形的中线、角平分线一定在三角形的内部,而直角三角形的高线的交点是直角顶点,锐角三角形的高线交点在三角形内部,钝角三角形的高线的交点在三角形的外部.
①三角形三条高的交点可能在内部,可能在外部,还可能是直角顶点,个①错误;
②三角形三条中线的交点在三角形内部,故②正确;
③三角形的三条内角平分线的交点在三角形内部,故③正确.
【点评】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线,是基础知识要熟练掌握.
14.(2013春•盱眙县期中)一个三角形的两边长分别是2和7,另一边长a为偶数,且2<a<8,则这个三角形的周长为 15 .
【分析】根据三角形的三边关系,第三边的长一定大于已知的两边的差,而小于两边的和.求得相应范围后,根据另一边长是偶数舍去不合题意的值即可.
∵7﹣2=5,7+2=9,
∴5<a<9.
又∵2<a<8,
∴5<a<8.
∵a为偶数,
∴a=6.
∴周长为9+6=15.
故答案是:
15.
【点评】本题考查了三角形三边关系.此题属于易错题,解题时,往往根据2<a<8取a的值为4或6,而忽略了三角形的三边关系,致使解答错误.
15.(2014春•常熟市期中)如图,在△ABC中,∠BAC=50°
,BD、CE分别是边AC,AB上的高,BD、CE相交于点O,则∠BOC的度数是 130°
.
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90°
,再根据三角形内角和定理得∠ABD=180°
﹣∠ADB﹣∠A=180°
﹣90°
﹣60°
=30°
,然后根据三角形的外角性质有∠BOC=∠EBD+∠BEO,计算即可得到∠BOC的度数.
∵BD、CE分别是边AC,AB上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°
又∵∠BAC=50°
∴∠ABD=180°
﹣50°
=40°
∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°
+40°
=130°
故答案为:
130°
【点评】本题考查了三角形的外角性质,解决本题的关键是明确三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和,也考查了垂直的定义以及三角形内角和定理.
16.(2006•梧州)△ABC的边长均为整数,且最大边的边长为7,那么这样的三角形共有 16 个.
【分析】其余两边都小于7,之和应大于7,按规律找到适合的三边即可.
设另两边是x,y,那么x≤7,y≤7,且x+y>7,并且x,y都是整数.
不妨设x≤y,满足以上几个条件的x,y的值有:
1,7;
2,6;
3,5;
4,4;
6,3;
2,7;
4,5;
4,6;
5,5;
7,3;
4,7;
5,6;
5,7;
6,6;
6,7;
7,7共有16种情况.
【点评】正确确定三角形的两边应满足的条件是解决本题的关键,难点是准确有序的得到其余两边的长度.
17.(2009•桂林)如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2008BC的平分线与∠A2008CD的平分线交于点A2009,得∠A2009,则∠A2009=
【分析】读懂题意,根据角平分线的定义找规律,按规律作答.利用外角的平分线表示∠ACA1,再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A1等于∠A的一半,同理,可以此类推,后一个是前一个的一半,而2的次数与脚码相同.
∵∠ACA1=∠A1CD=
∠ACD=
(∠A+∠ABC),
又∵∠ABA1=∠A1BD=
∠ABD,
∠A1CD=∠A1BD+∠A1,
∴∠A1=
∠A=
同理∠A2=
∠A1,…
即每次作图后,角度变为原来的
故∠A2009=
【点评】本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
18.(2013•宁波模拟)三条整数长度的线段不能构成三
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- 三角形 最新 八年 级数 拔高 讲义