版《5年高考3年模拟》A版理科数学112 离散型随机变量及其分布列均值与方差.docx
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版《5年高考3年模拟》A版理科数学112离散型随机变量及其分布列均值与方差
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
探考情悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.离散型随机变量的分布列
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题
2019课标Ⅱ,13,5分
离散型随机变量的
均值计算
利用频率估计概率
★★★
2019课标Ⅰ,21,12分
求离散型随机
变量的分布列
数列
2018课标Ⅰ,20,12分
利用期望进行决策
二项分布的均值、导数
2017课标Ⅲ,18,12分
离散型随机变量的
分布列、期望
利用频率估计概率
2.离散型随机变量的均值与方差
2016课标Ⅰ,19,12分
求离散型随机变量
的分布列,利用
期望进行决策
利用相互独立事件的概率公式求概率
分析解读 本节内容常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,解题时要熟悉相关公式的应用.考查学生的数据分析能力和数学运算能力.多以解答题的形式呈现,分值约为12分.
破考点练考向
【考点集训】
考点一 离散型随机变量的分布列
(2019广东汕头一模,5)已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
m
则X的数学期望E(X)=( )
A.B.1C.D.2
答案 B
考点二 离散型随机变量的均值与方差
1.(2018浙江重点中学模拟,8)已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=-x,若0 A.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而增大 B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大 C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小 D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小 答案 C 2.(2018河南南阳一中第七次考试,14)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)= . 答案 炼技法提能力 【方法集训】 方法1 离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法 (2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以,事件A发生的概率为. 导师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. 方法2 利用期望与方差进行决策的方法 (2020届四川成都双流中学10月月考,19)甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销5天.两品牌提供的返利方案如下: 甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下: 甲 乙 6 6 7 0 6 9 2 0 1 3 2 2 (1)现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率; (2)若将频率视作概率,回答以下问题: ①记甲品牌的日返利额为X(单位: 元),求X的分布列和数学期望; ②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场做出选择,并说明理由. 解析 本题考查古典概型概率的计算,随机变量的分布列和数学期望的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题. (1)解法一: 设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则 P(A)==. 解法二: 设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事件为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P(A)=1-P()=1-=1-=. (2)①设甲品牌的日销售量为随机变量ξ,则甲品牌的日返利额X(单位: 元)与ξ的关系为 X=当ξ=6时,X=30;当ξ=7时,X=35;当ξ=10时,X=50;当ξ=12时,X=64. 故X的分布列为 X 30 35 50 64 P 所以E(X)=30×+35×+50×+64×=41.8(元). ②解法一: 设乙品牌的日销售量为随机变量η,乙品牌的日返利额Y(单位: 元)与η的关系为Y=20+3η,且η的分布列为 η 6 9 12 13 P 所以E(η)=6×+9×+12×+13×=10.4, 则E(Y)=E(3η+20)=3E(η)+20=3×10.4+20=51.2. 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售. 解法二: 乙品牌的日返利额Y(单位: 元)的取值集合为{38,47,56,59},分布列为 Y 38 47 56 59 P 则E(Y)=38×+47×+56×+59×=51.2. 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售. 【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 考点一 离散型随机变量的分布列 1.(2019课标Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定: 对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. (i)证明: {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β). 所以X的分布列为 X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β) α(1-β) (2)(i)证明: 由 (1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列. (ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=p1. 由于p8=1,故p1=, 所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=. p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理. 试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示. 2.(2017课标Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位: ℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位: 瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位: 元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500, 由表格数据知 P(X=200)==0.2,P(X=300)==
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