高二圆锥曲线、导数、复数综合卷.doc
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高二圆锥曲线、导数、复数综合卷.doc
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圆锥曲线、导数、复数综合卷
班级________________姓名________________
一、选择题
1.(2016·北京卷)复数=( )
A.iB.1+IC.-iD.1-i
解析:
====i.
答案:
A
2.已知圆(x+2)2+y2=36圆心为M,A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
B
3.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,则椭圆的标准方程为()
A.+y2=1 B.x2+=1C.+=1D.+=1
C
4.函数y=(2+x3)2的导数为( )
A.6x5+12x2 B.4+2x3C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)·3x
A
5.函数f(x)=的最大值为( )
A.B.C.D.
D
6.过点M(1,2)的直线l与圆C:
(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是( )
A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+1=0D.x+y-3=0
答案:
D
7.已知F1、F2为双曲线C:
x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|
的值为()
A.2B.4C.6D.8
B
8.设,若函数,有大于零的极值点,则()
A. B.C. D.
B
9.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,2]C.(1,) D.(1,]
B
10.已知抛物线C:
的焦点为F,准线为,P是上一点,Q是直线PF与C得一个交点,若,则()
A.B.C.D.
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)
11.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为.
12.过点P(-2,0)的双曲线C与椭圆+=1的焦点相同,则双曲线C的渐近线方程是.
x±y=0
13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=__________.
解析:
易得双曲线y2-x2=1过点,从而-=1,所以p=2.
14.已知圆C:
(x+1)2+y2=r2与抛物线D:
y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=8,则圆C的面积为_____________
25π
15.如图Rt△ABC,AB=AC=1,以点C为一个焦点作一个椭圆,使它的另一个焦点在AB边上,且该椭圆过A、B两点,则该椭圆的焦距长为.
16.若函数在定义域内是增函数,则实数的取值范围为_____.
[1,+∞)
17.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为________.
-2
三、解答题
18.
(1)双曲线与椭圆有共同的焦点,点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。
(2)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为(,),求抛物线与双曲线方程.
18.
(1)解:
由共同的焦点,可设椭圆方程为;
双曲线方程为,点在椭圆上,
双曲线的过点的渐近线为,即
所以椭圆方程为;双曲线方程为
或用定义
(2)解:
由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p=2c,
设抛物线方程y2=4c·x.∵抛物线过点(,),
∴6=4c·.∴c=1,故抛物线方程为y2=4x.……………………6分
又双曲线-=1过点(,),∴-=1.
又a2+b2=c2=1,∴-=1.∴a2=或a2=9(舍).
∴b2=,故双曲线方程为:
4x2-=1.……………………6分
19.已知点P(0,5)及圆C:
x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解]
(1)如图所示,
|AB|=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,2分
所以圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,
所以|AD|=2,|AC|=4,C点坐标为(-2,6).
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式:
=2,得k=.
故直线l的方程为3x-4y+20=0.4分
直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.6分
所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.7分
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即·=0,
所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,10分
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.12分
20.已知函数有极值.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若在处取得极值,且当,恒成立,求取值范围.
20.解:
.解:
(Ⅰ)∵∴,…2分
因为有极值,则方程有两个相异实数解,
从而,∴……………………………………4分
(Ⅱ)∵在处取得极值,
,∴.……………………6分
∴,
∵
∴当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减.…………8分
∴当x<0时,在x=-1处取得最大值,
∵x<0时,恒成立,
∴,即,…………………12分
21.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若a<0,求f(x)的单调区间;
(3)若a=-1,函数f(x)的图象与函数g(x)=x3+x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围.
21.【解】
(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,
所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,
所以曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为k=f′
(1)=4e.
又因为f
(1)=e,
所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),
即4ex-y-3e=0.
(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex,
①若-<a<0,当x<0或x>-时,f′(x)<0;
当0<x<-时,f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0],;
单调递增区间为
②若a=-,f′(x)=-x2ex≤0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞).
③若a<-,当x<-或x>0时,f′(x)<0;
当-<x<0时,f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为,[0,+∞);
单调递增区间为
(3)由
(2)知,f(x)=(-x2+x-1)ex在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0]单调递增,在[0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-,在x=0处取得极大值f(0)=-1.
由g(x)=x3+x2+m,得g′(x)=x2+x.
当x<-1或x>0时,g′(x)>0;
当-1<x<0时,g′(x)<0.
所以g(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
故g(x)在x=-1处取得极大值g(-1)=+m,在x=0处取得极小值g(0)=m.
因为函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点.
所以即所以--<m<-1
22.已知椭圆()的离心率为,且短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,,求直线的方程.
22.解:
(1)短轴长,…………………………1分
又,所以,所以椭圆的方程为…………………………4分
(2)设直线的方程为,
,消去得,
,…………………………6分
即即…………………………8分
即…………………………10分
,解得,所以……………12分
《圆锥曲线》参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分,共12小题,共60分)
1.选B.解析:
点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
2.选C.解析:
由题意,c=1,e==,∴a=2,∴b==,又椭圆的焦点在x轴上
∴椭圆的方程为+=1.
3.选A【解析】
4.选A.
5.D函数f(x)的定义域为(0,+∞),
又f′(x)==.
令f′(x)=0得x=,且当0
当x>时,f′(x)<0,
所以f(x)在x=处取得极大值,也就是函数在定义域上的最大值f()=.
6.选B.解析:
2x2+3y2=m(m>0)⇒+=1,∴c2=-=,∴e2=,∴e=.
7.选B.解析:
如图,设|PF1|=m,|PF2|=n.则
∴∴mn=4.∴|PF1|·|PF2|=4.
8.选B.【解析】由,得,令,得,所以.
9.选B.因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,
∴c2-a2≤3a2,则c2≤4a2,1<e≤2.
10.
二、填空题(每小题4分,共4小题,共16分)
11.
12.答案:
x±y=0.解析:
由题意,双曲线C的焦点在x轴上且为F1(-4,0),F2(4,0),∴c=4.又
双曲线过点P(-2,0),∴a=2.∴b==2,∴其渐近线方程为y=±x=±x.
13.
14.答案:
解析:
设另一焦点为D,则由定义知AC+AD=2a,AC+AB+BC=4a又易知BC=∴a=+∴AD=在Rt△ACD中焦距CD=.
15【解析】f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,
m≥-()2+,令g(x)=-()2+,
则当=1时,函数g(x)取得最大值1,故m≥1.
答案:
[1,+∞)
16.答
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- 圆锥曲线 导数 复数 综合