高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精).doc
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数列通项公式的四大题型
类型一:
观察分析法(已知前几项,写通项公式)
具体方法有:
(1)联想比较法。
如由-1,2,-3,4,-5,······联想到数列-1,1,-1,1,······和1,2,3,4,5,······,可得;
由3,6,11,18,27,······联想到数列1,4,9,16,25,······,可得;
由······可知该数列中各项分式的分子为2n-1,而分母比分子多4,故.
(2)逐差法。
如1,3,5,7,9,······,可发现:
3-1=5-3=7-5=9-7=2,于是归纳得.
(3)逐商法.如1,3,9,27,81,······可发现于是归纳可得.
(4)待定系数法.如:
3,6,11,18,27,38,······,一次逐差得数列3,5,7,9,11,······,二次逐差得数列2,2,2,2,······,一般地,逐差k次后可得常数列,则通项公式可设为k次多项式.可以猜想通项公式为.令n=1,2,3,得
a+b+c=34a+2b+c=69a+3b+c=11联立可得a=1,b=0,c=2.
经检验适合,故.
类型二:
定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式.
解:
设数列公差为
∵成等比数列,∴,即
∵,∴………………………………①
∵∴…………②
由①②得:
,∴
点评:
利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
类型三:
前n项和法(已知前n项和,求通项公式)
若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。
例2.已知数列的前项和满足.求数列的通项公式。
解:
由
当时,有
……,
经验证也满足上式,所以
点评:
利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并.
类型四:
由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
题型1:
递推公式为
解法:
把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例3.已知数列满足,,求。
解:
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以,()
=满足上式故
题型2:
递推公式为
解法:
把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4.已知数列满足,,求。
解:
由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,()
满足上式故
注:
由和确定的递推数列的通项还可以如下求得:
所以,,,依次向前代入,得
,
题型三、形如的递推式
解法:
取倒法构造辅助数列
例5:
题型4、递推式:
解法:
只需构造数列,消去带来的差异.其中有多种不同形式
①为常数,即递推公式为(其中p,q均为常数,)。
解法:
转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例6.已知数列中,,,求.
解:
设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
②为一次多项式,即递推公式为
解法:
转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例7.设数列:
,求.
解:
设,将代入递推式,得
…(1)则,又,故代入(1)得
备注:
本题也可由,()两式相减得转化为求之.
③为的二次式,则可设;
题型5:
递推公式为(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)
解法:
该类型较题型3要复杂一些。
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再应用类型3的方法解决。
例8.已知数列中,,,求。
解:
在两边乘以得:
令,则,应用例7解法得:
所以
题型5:
递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法:
先把原递推公式转化为其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解。
例9.已知数列中,,,,求。
解:
由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即
又,所以。
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